CM' CM

Si M décrit une ligne donnée^ le point M' décrit une ligne qui est dite Thomothétique de la première. Suivant que k est positif ou négatif, Thomothétie est appelée directe ou inverse.

Ëtant donnée Téquation d'une ligne S en coordonnées cartésiennes, nous allons former Féquatîon de la ligne S' homothétique de S, connaissant le rapport k et les coordonnées (xo, j/o) du centre C; si (^,2^) et (x\y^ sont les coordonnées de deux points M et M' correspondants ou, comme on dit, homologues, nous avons

a?' — a?o^.V' — .Vo^CM'^^.

X— Xft y— yo CM *

438 APPUCATIONS GÉOMÉTRIQUES

nous en déduisonsles formules de transfonnationî

(29) x=^-^(*-*K y^y-LtH^r

II suffit de Remplacer x et y par les valeurs précédentes dans réquation de la ligne S pour obtenir Féquation de la ligne homothétique S' ; comme les formules (29) sont du premier degré, les deux lignes S et S' ont le même ordre lorsqu'elles sont algébriques.

On vérifie en particulier que Thomothétique d'une droite est une droite parallèle à la première.

Supposons que S soit une conique représentée par Téquation (1) ; Téquation de la conique homothétique S" a, à un facteur près, le^ mêmes termes du second degré que celle de la première.

Réciproquement, si deux coniques rapportées aux mêmes axes sent telles que les termes du second degré dans leurs équations aient leurs coefficients respectivement proportionnels, ces deux courbes sont homothétiques.

On le démontre^en remarquant qu'on peut toujours calculer os^, yo et k de façon que Féquation de Tune des coniques, transformée parles formules (29), soitlidentique à celle de Tautre; en prenant a^, yo et k comme coordonnées du centre et comme rapport d'homothétie. Tune des coniques se confond avec Thomothétique de l'autre. Nous avons donc le théorème suivant :

La condition nécessaire et suffisante pour que deux coniques soient homothétiques est que les termes du second degré dans leurs équations soient proportionnels .

Par exemple, deux circonférences sont toujours homothétiques, et cela de deux manières ; on démontre que les rapports d'homothétie sont égaux, l'un au rapport des rayons et l'autre à ce rapport changé de signe.