CHAPITRE V ENVELOPPES DE U0NE8 PLANES

28*7. Enveloppa (Fane famille de lignes. — Considérons une ligne dont l'équation

renferme un paramètre a; en donnant à a toutes les valeurs possibles,

nous obtenons une infinité de lignes dont rensemble constitue ce qu'on appelle une famille de lignes.

»N Figurons les positions C,

C^ i^**N,te C% G", ... de la ligne corres-

pondant aux valeurs a, cT', ^ ^ Ns^ ^ a\ ... du paramètre (/îgr. 99);

pjg^ 99 on constate généralement que

Tensemble de toutes ces lignes recouvre une partie du plan et n'empiète jamais sur une autre partie, et de plus, que ces deux parties sont séparées par une ligne E à laquelle les lignes G, C, C", ... restent tangentes. Gette ligne E est appelée Venveloppe de la famille de lignes considérées.

Si les choses se passent comme nous venons de le dire, on constate graphiquement sur la figure qu'une ligne C est coupée par une ligne voisine G' en un point M voisin de Tenveloppe E, et que la limite de ce point M, quand G' tend vers G, est le point N où la ligne G touche cette enveloppe.

Nous allons préciser ces notions purement expérimentales et leur donner une forme analytique.

Une ligne G de la famille correspondant à la valeur a du paramètre est coupée par une ligne voisine G correspondant à la valeur a + Aa en un ou plusieurs points ; lorsque Aa tend vers zéro, G' tend vers G, et les points communs à ces deux lignes ont des positions limites que nous appellerons points caractéristiques de G ; le lieu des points caractéristiques de toutes les lignes G sera par définition l'enveloppe de ces lignes ; nous allons déterminer ce lieu par le calcul.

Soient

f(pt^^ y , fl) = 0, f(x,y, a -f- Aa) = 0

les équations des lignes G et G', déterminant les coordonnées des points communs à ces deux lignes ; nous pouvons remplacer ce système d'équations par le système équivalent

Lorsque Aa tend vers zéro, le premier membre de la deuxième des relations précédentes a pour limite la dérivée f^x, y, a) de f par rapport à a ; nous en concluons que les limites des points communs à G et G', c'est-à-dire les points caractéristiques de G, sont fournis par les deux équations

(2) f(x,y,a) = 0, fiJ^x, y,a) = (i.

D'après ce que nous avons dit au b? 8i, ces équations définissent le lieu de ces points, c'est-à-dire l'enveloppe ; si nous les résolvons par rapport k x eik y , nous obtenons les coordonnées des points de l'enveloppe en fonction du paramètre a ; si nous éliminons a entre les équations (2), nous formons l'équation de cette enveloppe.

Dans le cas particulier où l'équation (1) renferme a au premier degré et a la forme

le système des équations (2) est équivalent à