ENVELOPPES DE LIGNES PLANES

les points caractéristiques sont fixes et sont les points communs aux courbes représentées par les équations précédentes ; les courbes de la famille passent toutes par ces points qui constituent Tenveloppe.

288. Nous allons vérifier dans le cas général que le lieu des points caractéristiques, que nous appellerons E, est bien tangent à toutes les lignes C, et touche chacune d'elles en ses points caractéristiques; cette propriété sera la justification du mot enveloppe appliqué à la courbe E. .

Soit N un point de coordonnées (x, y) qui est le caractéristique de la courbe C correspondant à la valeur fixe a du paramètre ; Téquation de la tangente en ce point à C est, comme nous Tavons vu au n® 249,

(x xy;+(Y-y)/-;=o,

a étant traité comme une constante.

Cherchons maintenant la tangente à la courbe E au point N ; il faut supposer cette fois que Ton tire de la seconde des équations (2) la valeur de a en fonction de a; et de y , et qu'on la porte dans la première ; on calculera alors les dérivées du premier membre de cette équation en considérant a comme fonction des variables x et y; on obtiendra ainsi, pour représenter la tangente à E au point N, Téquation

mais fa est nul par suite de la seconde équation (2); il reste donc la même relation que précédemment. Nous concluons de là que les tangentes en N aux lignes G et E sont confondues.

289. Remarque. — Considérons pour un instant la première des relations (2) comme une équation par rapport à Tinconnue a ; nous devons, pour trouver Téq nation de Tenveloppe, éliminer a entre cette équation et sa dérivée ; mais cela revient à exprimer que Téquation a une racine double (n° 226) ; nous en concluons que Ton obtient Téquation de Icnveloppe d'une ligne C en exprimant que l'équation de cette ligne a une racine double par rapport au paramètre. Cette remarque est surtout applicable lorsque l'équation renferme le paramètre d'une manière algébrique au second degré.

Exemple, — Cherchons Tenvéloppé de la droite représentée par l'équation

où m est un paramètre variable ; en rendant Téquation entière, elle s'écrit

2m^x — 2my h- /> = 0 ;

en écrivant qu'elle a une racine double, nous obtenons réqUafion de Tenveloppe ; elle est

Tenveloppe est une parabole ; Téquation donnée représente, lorsque m varie, les tangentes successives à cette courbe.

290. Caustique par réflexion. — Comme autre exemple, cherchons la caustique par réflexion des rayons lumineux parallèles entre

eux tombant sur un miroir sphérique concave. Si nous considérons seulement un plan de section passant par un diamètre du miroir parallèle aux rayons lumineux, et les rayons situés dans ce plan, nous sommes ramenés au problèiiie suivant :

Ëtant donnée une demi-circonférence de rayon r ayant pour centre l'origine (fig. 100), à chaque droite AB parallèle à Ox et rencontrant la demi-circonférence en B, on fait correspondre une droite BC telle que le rayon OB soit la bissectrice de l'angle ABC : trouver l'enveloppe de BC.

Soit i l'angle d'incidence ; la droite BC fait avec Ox l'angle 2i, et passe par le point B de coordonnées (rcos i, rsin i); son équation est

y — rsini = tg2i(«-^rcosi),

Fig. iOO.