ENVELOPPES DE LIGNÉS PLANES

OU bien, en multipliant toiis les terâies par c6s 2i ,

(3) a;siQ2i~-y eos2{ = rsinî.

Formons Féquation dérivée de la précédente ; c'est

(4) 2xcos2i + 2y sin2î=:rcosi;

les équatioDS (3) et (4) définissent Tenveloppe; en les résolvant, nous avons

2a? = r(2 sin i sin 2i -4- cos i cos 2») = ^ cos ^1 -4- 2 sin^ i),

2y ==s r(si» 2i eos i — 2 cos 2i sin i) = 2r sin' i ;

nous pourrions éliminer i entre ces relations pour former Téquation du lieu, mais il est préférable de laisser x et y exprimés au moyen de K, et de construire la courbe au moyen des expressions précédentes.

Lorsque ï=0, on trouve a; = ~T y = 0, c'est-à-dire le foyer F

du miroir ; Tenveloppe a la forme indiquée figure 100.

291. CUis de deux paramètres. — Supposons qu'une ligne G dépende de deux paramètres a et 6 liés par une relation donnée ; soient

Féquation de la Courbe, et

la relation entre les paramètres. En tirant b de la seconde en fonetioh de a et portant la valeur trouvée dans la première, il ne restera plus dans celle-ci que le paramètre a, et Ton sera ramené au cas précédent ; on peut cependant se dispenser de résoudre la deuxième équation par rapport à 6, et conduire les calculs d'une manière plus symétrique, que nous allons indiquer :

En supposant pour un moment b remplacé dans Téquation (5) par sa valeur en fonction de a, nous devons joindre à cette équation sa dérivée par rapport à a ; nous avons de cette façon

444 APPLICATIONS GÉOMÉTKlQtES

mais b est lié à a par Téquation (6), et celle-ci donne par dérivation

si nous éliminons -7— entre ces relations, nous obtenons da

Il suffît d'éliminer a et 6 entre les équations (5), (6) et (7) pour avoir Téquation de l'enveloppe.

Exemple» — Enveloppe d'une droite qui détermine avec les axes de coordonnées rectangulaires un triangle de surface constante égale à S.

Si a et 6 sont les segments déterminés par la droite considérée sur les axes, cette droite a pour équation (n« 82)

la condition imposée à la droite s'exprime par la relation (p(a, 6) = a6 — 2S = 0.

La relation (7) devient ici

- » ou — = 4- »

ï vu = -Y- >

l'élimination de a et de 6 entre les trois relations est immédiate ;

d'après la première, — et ^, qui doivent être égaux, ont pour valeur I • a b

~» d'où l'on a a = 2x, 6 = 2y, et en portant ces valeurs dans

la seconde, on obtient Téquation de l'enveloppe, qui est

elle représente une hyperbole équilatère rapportée k ses asymptotes (n'» 95).