COURBURE DES COURBES PLANES

292. Centre et rayon de courbure. — Considérons d'abord un cercle de centra C et de rayon R et sur ce cercle un arc quelconque MM' ; les normales aux extrémités de cet arc se coupent au point C ;

de plus, si Aa estTangle formé par ces normales, nous avons

„ arc MM'.

nous allons généraliser ces notions dans le cas d'une courbe quelconque.

Soit (fig. 101) M un point d'une courbe et MN la normale en ce point ; considérons un point M' voisin du premier et la normale en ce point M'; elle coupe la première en un point N, Si Ton fait tendre M' vers M, le point N tend vers une position limite G que l'on appelle centre de courbure de la courbe au point M, et MC est appelé rayon de courbure. Nous allons déterminer la position du point C, et nous démontrerons ensuite que le rayon de courbure est égal à la limite du rapport de Tare MM' à l'angle MNM' des deux normales.

Le problème de la détermination du point C est identique à celui

Fig. 101.

446 appucâtions géouétriques

que Ton a à résoudre lorsque l'on cherche Fenveloppe des normales successives à la courbe donnée ; le point C est en effet la limite du point de rencontre de MN avec la normale infiniment voisine, et c'est le point de contact de MN avec son enveloppe.

D'après ce que nous avons vu dans le chapitre précédent, il est donné par Téquation de la normale et par la dérivée de cette équation par rapport au paramètre variable qu'elle renferme; ce paramètre est ici la variable au moyen de laquelle s'expriment les coordonnées z et y des points successifs de la courbe donnée.

L'équation de la normale (n^ 250) est

(1) (X«x)rfa:^.(Y-y)dy = 0;

annulons la dérivée ou, ce qui revient au même, la différeiiUelle du premier membre en considérant x ei y comme fonctions d'un même paramètre ; nous obtenons de cette façon

(2) (X~a:)</*a:-f-(Y — y>/*y— rfx« — c/y» = 0.

11 suffit de résoudre ces deux équations par rapport à X et Y pour trouver les coordonnées de C ; nous obtenons ainsi les formules

(K\ X ^- dy{dx^-hdy^) ^ dxjdx^ -h dy^)

Le rayon de eourbure est égal à/(X — a?)* -h (Y — y)*, et sa mesure est égale à la valeur absolue de l'eirpression

W tt— dxd^y-^dyd^x

dont le numérateur est supposé pris avec sa valeur arithmétique.

Si l'on veut mettre en évidence le paramètre au moyen duquel s'expriment x et j^, et si on le désigne par f, on doit remplacer dans les formules précédentes dx^dy^d^x et dhf par ddl^tfit^ afdt^ et y'di^^ et elles deviennent

Si X e&t la variable indépendante et y une fonction donnée de x, nous pouvons introduire dans les équations (3) et (4) Içs dérivées dç y , enpos^t dy=y*dXf d^yss^y^dx^ et (f^^==0; nçus obtenons ainsi les formules simples

Dans certaines recherches, on considère le rayon de courbure non comme une longueur mais comme un vecteur porté par la normale à la courbe à partir du point M ; on choisit alors sur la tangente et sur la normale des sens positifs de la manière suivante :

Sur la tangente, on prend comme sens positif MT celui du déplacement du point M lorsque le paramètre t va en croissant ; en mécanique, c'est le sens du mouvement si l représente le temps. On adopte de plus en géoméiiie le sens ainsi choisi pour sens des arcs croissants, de telle sorte que la dérivée ^ de Tare est toijgours égale à la valeur arithmétique de v^a;'*H-y'* (n* 198). On adopte ensuite sur la normale

un sens positif MN tel que Tangle (MT, MN) soit égal à -h ^ ; le

système MT, MN a alors la même orientation que le système des axes de coordonnées.

Nous allons vérifier que MN est précisément la direction positive qu'il faut adopter sur la normale pour que le vecteur MC ait R pour valeur relative ; si nous désignons par a' Tangle de cette direction positive avec Taxe Ox, et par a Tangle de la direction MT avec le

même axe, il nous suffira de vérifier que af est égal à a + -^ ^ ou bien

que sin (a' — a) est égal à -4- 1 .

Or a' et a sont tels que Ton a

cosa' = — ~ — , sma' = — — ^r R R

cos a = r ' sin a = "

si nous calculons l'expression

sin (a' — a) = sin a' cos a — cos a' sin a = ^ ^ ^ — j — ^^

448 APPUCAT105S GÉOMÉTRIQUES

en nous servant des formules (5) et (6), nous constatons qa'eOe est égale à + 1 comme nous l'avions annoncé ; nous pouvons donc affirmer que R est, dans tous les cas de figure, la valeur relative de M C porté par la direction MN choisie sur la normale comme nous Tavons dit.

298. Nous allons démontrer que R est égal à la limite du rapport de Tare MM' à Tangle MNM' des deux normales ; remarquons que cet angle est égal à Tangle des deux tangentes en M et M'. Si a est comme précédemment Tangle de la tangente en M avec Ox, et a -h Aa Tangle de la tangente en M' avec le même axe, Tangle MNM' est égal à Aa. En désignant par A« Tare MM' nous avons à démontrer que R est la limite du rapport -— i c*est-à-dire est égal au

quotient -r— des différentielles de s et de a. aa

Or nous avons déjà (n* 198) dsz=^da^-{-dy*; il nous reste à évaluer dd. Nous savons que le coefficient angulaire de la tangente MT est égal à --^ « et a pour valeur tg a ; nous avons donc

a = arctg^,

d'où, en dilTérentiant,

, 1 dxd^y — dyd^x dxd^y — dyd}x,

\ (^y\ "^^^ ~ rfx* -+- dy^ '

nous avons par suite

ds^ {dx^-hdyY dct dx d^y — dyd^x '

et ce quotient est bien identique à R, ce que nous voulions établir.

Il résulte de ce qui précède qu'un petit arc d'une courbe pris dans le voisinage d'un de ses points M diffère peu d'un petit arc de cercle ayant pour centre le centre de courbure et pour rayon le rayon de courbure en ce point. Ce cercle s'appelle cercle de courbure et aussi cercle osculaleur au point M. On appelle courbure en un point Tinverse du

rayon de courbure, c'est-à-dire la valeur de -p •

294. Développée. — Le lieu des centres de courbure d'une courbe