COURBURE DES COURBES PLANES

plane s appelle la développée de cette courbe; cette ligne n'est autre

que l'enveloppe des normales, et chaque normale est tangente à la développée précisément au centre de courbure.

La développée est définie par les équations (i) et (2), ou encore par les équations (3) qui déter- - minent les coordonnées (X, Y) de ses points successifs. Toute courbe qui a pour développée une courbe donnée s'appelle une développante de cette courbe.

'^' Exemple. — Développée de

, „ i'e//i/i*e. — Nous savons que les

coordonnées d un point M de TeUipse sont exprimées au moyen du paramètre angulaire (p par les formules

a? = acos<p, y=:6sin<p.

L'équation de la normale est, d'après la formule (1),

— (X — acos(p)asin<pH-(Y — 6sin(p)6cos<p = 0, ou bien, en représentant par c« la quantité a« — 6^,

aX sin © — 6Y cos ^p = c« sin <p cos <p ; sa dérivée par rapport à <p est

aX cos (p + 6Y sin (p = c«(cos« <p — sin« <p) ;

nous déduisons de là, en résolvant les deux dernières équations, les coordonnées du centre de courbure ; elles sont

X = -^ cos» ^ , Y = — ^ sin» <f .

Bn faisant varier ^ de 0 à 27c, nous obtiendrons tous les points de la développée de l'ellipse; l'équation de cette courbe résulte de VoGT. — Math. sup. 29

450 APFUCATIONS GÉOMÉTRIQUES

l'élimination de 9 entre les formules précédentes ; en écrivant que cos' f + sin' ? = ^9 nous avons

La courbe a la forme indiquée dans la figure 102 ; eUe a quatre points de rebroussement situés sur les axes, et ces points sont les centres de courbure relatifs aux quatre sommets.

Les tangentes à la développée menées par un point du plan sont les normales à Tellipse issues de ce point ; si celui-ci est intérieur à la développée, on peut tracer quatre normales réelles, et s'il est extérieur, on ne peut en tracer que deux.