p(jp

m(w — 1) (tti — 2) . .

a^jf^-^

32 COMPLÉMENTS d' ALGÈBRE

OU bien, en réduisant les coefficients,

(x -h ar^» = x"-*-« H j— ax"-+- — j-^Y"** *^ "" TrfTS « ^«^ H

"^ 1.2.3... p(p + l) a^ar--/'-+-...+a ,

ce dernier résultat est identique à celui que donnerait l'application de la règle énoncée au développement de (x+a)"**; cette règle est donc encore vérifiée dans ce cas, ce que nous voulions démontrer.

17. Propriétés des coefficients du binôme. — On appelle coefficients du binôme les coefficients de x", ax^-^ , . . . , a^sf"-^^ . . . , a" dans le développement de (x-i-a)"*; ils se déduisent du premier, qui est Tunité, par la règle que nous avons énoncée. Cette règle nous indique que les coefficients vont en augmentant tant que Texposant de x reste supérieur à celui de a, puis vont en diminuant jusqu'au dernier, qui est égal à Tunité.

Les coefficients de deux termes équidistants des extrêmes sont les mêmes ; en effet, si Ton échange les deux lettres x et a dans la formule (1), elle devient

(2) (a -h x)*" = a'" + ^ xa^-' + ^ '"j^ ~ ^ ^ x^a"-^ + ... -f-x";

comme les premiers membres sont identiques, les seconds doivent Têtre et avoir les mêmes coefficients ; lorsqu'on les ordonne suivant les puissances décroissantes de la même lettre x, ceux de Tune des formules sont égaux à ceux de l'autre pris en ordre inverse; il en résulte que les coefficients équidiàtants des extrêmes sont respectivement égaux.

Lorsque Ton veut trouver le développement de (x — a)"», il suffit de changer a en — a dans la formule (1).

Si Ton veut développer la puissance m« d'une somme ou d'une différence de plus de deux quantités, par exemple de x-f- y -4- z, on considère cette somme comme composée de deux termes, l'un x et l'autre a = y -+- s ; on applique la formule (4) au binôme x -h a, et l'on remplace ensuite les différentes puissances de i/ + 2 au second membre par leurs développements calculés d'après la même formule (i).