FORMULE DU BINOME

proposons de calculer la somme

que nous représenterons par 2/)'.

Le symbole 2 indique en général une somme de termes semblables à celui qui est écrit à la suite de ce symbole : on écrit au-dessous et au-dessus de la lettre 2 les valeurs du premier et du dernier des nombres auxquels s*étend la sommation considérée.

Nous nous servirons de la formule donnant (a; + a)', et nous écrirons les égalités suivantes :

n^==^n — \-hiy = {n — \y-h3{n — l)^-^3{n—i)^i, (ii4-ii»= (/i-f-l)»= ïi»4- 3a>-4- 3n+i.

Faisons la somme de ces égalités membre à membre, et remarquons que les mêmes cubes se présentent dans Tun et l'autre membres, à Texception de (n + i)'; nous aurons après réductions,

en remplaçant la somme des n premiers nombres par sa valeur -^ — ^ — ^^ nous aurons

(n + l)« = 3(i/,*) + ?iiii^+»+!,

d'où, après réductions,

. n(n-M)(2n + l) fP 6

VoCT. — Math. sup.

19. Radicaux. — Étant donné un nombre positif a^ on sait qu'il existe un nombre positif a et un seul, rationnel ou irrationnel, dont la puissance m* est égale à a ; on appelle a la racine m* arithmétique de a, et on la représente par le symbole v^ que Ton appelle un radical. Le nombre m est dit Tindice du radical ; lorsque Tindice est égal à 2, on se^ dispense de récrire. Il n'est question dans ce chapitre que de nombres et de radicaux arithmétiques ou positifs.

Le calcul des radicaux est l'ensemble des règles qui permettent d^elTectuer les produits, les quotients, les puissances ou les racines de nombres représentés par des radicaux donnés, en ramenant ces opérations à d'autres analogues effectuées sur les nombres placés sous les radicaux. Ces règles sont les conséquences des lemmes suivants que nous supposons démontrés :

i* La puissance m* d'un produit de plusieurs nombres est égale au produit des puissances mf* de ces nombres.

2"* La puissance m' du quotient de deux nombres est égale au quotient des puissances m** de ces nombres.

S"" La puissance m" de la puissance p* d'un nombre est égale à la puissance mp* de ce nombre.

De ces lemmes résultent les théorèmes suivants :

1^ Le produit des racines m** de plusieurs nombres est égal à la racine m' du produit de ces nombres.

2"^ La p* puissance de la racine m* d'un nombre est égale à la racine m' de la p* puissance de ce nombre.

3^ Le quotient des racines m^ de deux nombres est égal à la racine m' du quotient de ces nombres.

4<* La racine p* de la racine m' d'un nombre est égale à la racine mp* de ce nombre.

Ces théorèmes sont exprimés par les égalités suivantes :

(0 y/a 'y/î y/c = y/ôïc '

(*) Vv/^=7^.

Pour démontrer la première, il suffit d'élever les deux membres à

la puissance m ; d'après le premier lemme, la puissance m* du premier

membre est égale au produit des puissances m** des trois radicaux, et

est égale à abc ; elle est bien égale à la puissance m* du second

membre ; comme les puissances m** des deux membres sont égales, ces

deux membres sont également égaux.

La deuxième égalité est Tapplication de la première à p facteurs égaux à y/a ; on démontre la troisième égalité en élevant les deux membres à la puissance m et appliquant le deuxième lemme. Enfin on démontre la quatrième en élevant les deux membres à la puissance mp, et appliquant le troisième lemme ; on forme la puissance mp* du premier membre en l'élevant d'abord à la puissance/?^ puis le résultat à la puissance m, et l'on obtient finalement le nombre a ; comme la puissance mp* du second membre est aussi égale à a, Tégalité est vérifiée.

20. Corollaires. — Les théorèmes précédents fournissent en particulier les règles de calcul propres à des radicaux de même indice ; nous mentionnerons encore les conséquences suivantes de ces théorèmes :

1* On peut faire sortir d'un radical un nombre dont l'exposant est un multiple de l'indice.

On a par exemple

comme cela résulte de la première égalité ;

36 COMPLÉMENTS d'âLGÈBRE

2<^ On peut multiplier ou diviser par un même nombre Tindice d'un radical et l'exposant du nombre placé sous ce radical. On a

car on a, d'après la quatrième égalité,

3» On peut simplifier un radical en divisant par un même nombre rindice et l'exposant ; cela résulte de l'égalité précédente. On a par exemple

4<^ On peut réduire plusieurs radicaux au même indice, Tindice commun étant le plus petit commun multiple des indices donnés. On peut remplacer par exemple

Va, V^, V^

par des radicaux ayant pour indice commun 12 ; il suffit d'appliquer le deuxième corollaire ; les radicaux seront égaux à

5° Comme application, on peut effectuer le produit ou le quotient de radicaux d'indices différents en les ramenant d'abord au même indice ; on a par exemple

21. Exposants fractionnaires. — Lorsque m est divisible par n,

le nombre j/a" est égal à a ** , l'exposant — étant entier ; lorsque m n'est plus divisible par n, on représente par définition le radical ya**

par le symbole a " , dont l'exposant est appelé exposant fractionnaire ; par exemple, V^ ®st représenté par a * .

Pour que rintroduction de ces exposants soit d'une utilité pratique en algèbre, il faut d'abord qu'à un symbole a " corresponde une seule valeur numérique; or on peut substituer à la fï*action — « sans en changer la valeur, toute autre fraction équivalente; il faut donc

m ai' /

s'assurer que a " est égal à a "' lorsque — == -y .

C'est ce qui a lieu en effet ; pour le voir, il suffit de vérifier par

exemple que a " et a"'' représentent la même valeur numérique ; or ces deux symboles représentent les nombres v/ô* et ^â^ et ces nombres sont égaux d'après le numéro précédent.

Après avoir justifié l'introduction des exposants fractionnaires, nous allons montrer que les règles de multiplication, de division et d'élévation aux puissances données dans le cas des exposants entiers s'appliquent encore aux exposants fractionnaires ; nous allons vérifier que l'on a

Dans la première égalité, le premier membre a pour valeur numérique v^ X /a'* ; d'après le numéro précédent (5**), ce produit peut être remplacé par ya'^x ya'*''= y'a'"^-*'"'*, et cest la valeur numérique

du symbole a "^ ou a " ' , c'est-à-dire du second membre ; Tégalité est donc vérifiée ; on ferait de même pour la seconde, dans laquelle

— est supposé supérieur à ~ •

Le premier membre de la troisième est égal à

et il est bien égal au second membre, ce qui vérifie l'égalité.

Exemple : a* xa^ =a* *=a*;

c'est la traduction de Tégalité j/a V^a = V^.

22. Exposants négatifs. — Nous venons de voir que le quotient

de a * par a ^ , lorsque — est supérieur à ^ , est égal à a " ^ . Lorsque

les deux exposants sont égaux, le quotient est égal à l'unité, et Texpo-

^ant — — ^ devient nul ; on est amené, dans un but de généralisation,

à conserver encore dans ce cas l'égalité (6), et à dire par définition que le symbole a® est égal au quotient de deux puissances égales de a, c*està-dire égal à Tunité.

De même, lorsque — est inférieur à ^ , le quotient de a " par a ^

peut être remplacé, en divisant les deux termes par a " , par— — ^-^

le symbole a " ' a un exposant négatif, égal * — (^ );on conserve encore, dans un but de généralisation, l'égalité (6), et l'on dit, par

définition, que le symbole a ^* "^est égal à j^m^ ou plus sim-

a* • iplement, que a""* représente—» s étant un nombre positif entier ou

fractionnaire. On dit que l'exposant de a dans le symbole a'* est un «exposant négatif.

Nous allons montrer que les règles de calcul des exposants positifs •entiers ou fractionnaires démontrées précédemment s'étendent encore aux exposants nuls ou négatifs, c'est-à-dire que l'on a

quelles que soient les valeurs entières ou fractionnaires, positives, nulles ou négatives des exposants.

Vérifions par exemple la première pour m positif et /> négatif;

soit p == — />',p' étant positif: le premier membre est égal à —7 et

peut être représenté dans tous les cas par a"*"^' ; c'est bien la même valeur que celle du symbole a"*''. On vérifierait de même les autres dans les différents cas qui peuvent se présenter.

Exemples, a^ a '=a' '=0*; \a^l ^ = a '; c*est la traduction des égalités

y^ ym ^