CHAPITRE VII TANGENTES ET NORMALES AUX FIGURES DE L'ESPACE
295. Tangente en un point d'une courbe de l'espace. — Comme nous Tavons déjà dit, la tangente en un point M d'une courbe est la limite des positions d'une sécante passant par ce point et par un point voisin M' situé sur la courbe, lorsque ce point M' se rapproche indéfiniment du premier. Si, en coordonnées cartésiennes, les coordonnées x^y^z d'un point M de la courbe sont des fonctions d*un même paramètre t et ont des dérivées Xt , y't , %[ « il existe une tangente en ce point M, et nous avons vu au n** 133 que les équations de cette tangente sont
ou bien, en multipliant les dénominateurs par dt,
X — a: Y — y Z — jg
dx dy ~ dz
Si Ton égale ces rapports deux à deux, on obtient les équations des projections de la tangente sur les plans de coordonnées ; mais ces équations sont précisément celles que Ton obtiendrait en cherchant les tangentes aux projections de la courbe sur ces plans [n9 248, équation (3) ] ; nous concluons de là que la projection sur un plan de coordonnées de la tangente à une courbe de l'espace est tangente à la projection de cette courbe.
Cette propriété s'étend à la projection sur un plan quelconque ; il est facile du reste de la démontrer géométriquement.
Comme exemple, considérons la courbe définie par les équations
x = Rcos^, y = Rsin<, z = AR<,
où t est un paramètre yariable ; pour construire le point de cette
courbe correspondant à une valeur de ce paramètre, on prend sur le cercle de centre 0 et de rayon R tracé dans le plan des xy un point P tel que (Ou, 0P)= / (fig. 103), et sur la parallèle à Oz tracée par P une cote (PM) = kKL On voit que (PM) est proportionnelle à Tare AP du cercle; la courbe lieu du point M est une Iiélice tracée sur le cylindre de révolution de rayon R ayant pour axe Oz.
Les dérivées de x, y, z sont
^^ a^ = — Rsin<, yî = Rcos/, z{ = AR;
Fig. 103.
en les portant dans les équations (1),
nous obtenons les équations de la tangente
X — Rcos< Y — Rsin< Z — kRt
— sin^
cost
Les paramètres directeurs de cette tangente étant — sin i, cos t, kf Tangle V de la tangente et de Taxe des z est donné [n* 110^ formule (4)] par
cosV=-
nous voyons que cet angle V est constant ; d'où ce théorème :
La tangente en an point d'une hélice circulaire fait un angle constant avec la génératrice du cylindre passant par ce point.
296. Plan normal. -— Le plan mené par un point d*une courbe perpendiculairement à la tangente s'appelle plan normal ; il a pour équation
(X — a:)c/aî-f-(Y — y)c/yH-(Z— z)rfz = 0.
297. Cas de rinterflecUon de deax surfaces. ^- Supposons que la courbe soit représentée par deux équations,
en les diiïérentiant, nous avons
<p4 Ja: -h (p^rfy -+-<pîrfz = 0;
si les trois différences f'yffi — ffyfj , /"ici — <^if^ , /"iç, — (pi/'y ne sont pas nuUes en même temps, ces équations donnent des valeurs proportionnelles à dxj dy et dzy et en les portant dans les relations (2), nous aurons les équations de la tangente ; mais il est plus simple de remplacer dans les équations (3) dxy dy et dz par les valeurs proportionnelles tirées des relations (2) ; nous trouvons ainsi pour représenter la tangente les deux équations
298. Plan tangent à une surface. — Théorème. — En un point M d'une surface, les tangentes à toutes les courbes passant par ce point et tracées sur la surface sont situées dans un même plan, que Von appelle plan tangent à la surface au point M .
Soit f(x, y, 2) = 0 Téquation de la surface donnée; une quelconque des courbes passant par le point M et tracée sur la surface (/îgr. 104), peut être considérée comme Tintersection de cette surface et d'une autre, représentée par exemple par l'équation <p(x, y, a) = 0. La tangente BIT à cette courbe est donnée par les équations (4), et elle est la droite d'intersection des deux plans représentés par ces équations ; le premier de ces plans ne dépend que de la surface donnée et est fixe quelle que soit la courbe considérée passant par M ; il contient
dès lors les tangentes à toutes les courbes pas&ant par M , et c'est le plan tangent en ce point à la surface.
Il résulte de là que Téquation du plan tangent en un point d'une surface f(xy y^ z) = 0 est
Le raisonnement serait en défaut si /*4, fy^ f's étaient tous les trois nuls ; on dit dans ce cas que le point M est un point multiple ou singulier de la surface. Des considérations analogues à celles du n^ 252 s'appliqueraient à Tétude d une surface aux environs d'un point singulier; nous mentionnerons seulement ce fait que les tangentes aui courbes qui passent en un tel point forment en général un cône ; par exemple le sommet d'une surface conique est un point singulier, et les tangentes sont les génératrices de cette surface.
Si une ligne est l'intersection de deux surfaces, la tangente en un point de cette ligne est contenue à la fois dans les plans tangents en ce point aux deux surfaces, elle est par suite l'intersection de ces plans tangents. C'est ce que montrent du reste les équations (4) du numéro précédent ; elles représentent en effet les plans tangents aux deux surfaces /■(x, y, z) = 0, cp(x, y, z) = 0, dont la ligne considérée est l'intersection.
Si dans l'équation d'une surface /*(x, y, z) = 0 on remplace x, y, z
par y, 2q^ -1 et qu'on chasse s'il y a lieu les dénominateurs, on z t t
obtient une équation /"(xi, yi, Zi, <) = 0 qui est homogène ; un raisonnement analogue à celui du n^ 249 montre que l'on peut remplacer dans l'équation (5) la quantité x/'i -f- y/"^ -f- «/"i par — fi, f[ étant la dérivée par rapport à t dans laquelle on fait ensuite ^=1. L'équation du plan tangent se met alors sous la forme
(6) x/-iH.Y/-;-+-z/-i-f-/-f = o.
Considérons par exemple l'ellipsoïde représenté par l'équation
a* 6' c' . cette équation rendue homogène devient
TANGENTES ET NORMALES AUX FIGURES DE l'eSPAGE 455
nous avons
en faisant dans ces dérivées ^= f, portant les valeurs trouvées dans Téquation (6) et divisant par 2, nous obtenons pour Téquation du plan tangent
2MH^. Plan tangent en un point d'une aurfaee réglée. — Snrfaee développable. — Un plan est déterminé par deux droites qoi se coupent ; nous en concluons que le plan tangent en un point M d'une surface est déterminé par les tangentes à deux lignes tracées par le point sur la surrace, pourvu que ces tangentes soient distinctes. Par exemple si les coordonnées des points d'une surface sont représentées en fonction de deux paramètres u et v (n° 106) par les équations
x = /"(a,r), y = (p(ii,»), z = 4<n,t;),
les tangentes en un point aux lignes v = c^ et iz = c^ ont respectivement pour équations
X— x^Y~.v Z — z fi ?i +i '
et le plan tangent a pour équation
fi
S'il existe sur la surface une droite passant par le point M, elle est à elle-même sa propre tangente et est contenue dans le plan tangent en ce point.
Nous concluons de là que le plan tangent en un point d'une surface réglée renferme les génératrices rectilignes qui passent par ce point ; par exemple le plan tangent en un point d'un hyperboloîde à une nappe (n*» 126) ou d'un paraboloîde hyperbolique (n"» 128) est déterminé par les deux génératrices qui passent par ce point.
456 APPUCATIONS GÉOMÉTRIQUES
Soient, en général,
(7) x^az-^p, y = 6x4- 7
les équations d'une génératrice d'une surface réglée, a^b.p^q étant fonctions d'un paramètre t ; le plan tangent en un point M, de coordonnées x^y^Zy contient d'abord la génératrice de ce point; si X, Y, Z sont les coordonnées courantes, son équation est de la forme
(8) (X — aZ — j5)-f-X(Y — 6Z — 7) = 0.
Nous achèverons de le déterminer en exprimant qu'il contient la tangente à là section de la surface par le plan passant par M et parallèle au plan xOy ; cette section est représentée dans son plan par les équations (7), où z est constant et l variable ; les paramètres directeurs de cette tangente sont
x[ = a'z +/>', y\ = Vz + q\ z\ = 0,
les accents indiquant les dérivées par rapport à L
En écrivant que le plan (8) est parallèle à cette droite, nous obtenons (n^ 113) la relation
(a'zH-/>')-hX(6'z-+-7') = 0»
qui détermine X ; en portant dans Téquation (8) la valeur ainsi trouvée, nous trouvons pour équation du plan tangent en M
