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^^ a'z-^p' "^ b'z-hq' '

Lorsque le point M varie sur la génératrice, t reste fixe et z varie ; le plan tangent change ordinairement de direction, tout en contenant la génératrice. Un cas particulier remarquable est celui où le plan tangent reste le même pour tous les points de la génératrice ; pour que cela ait lieu, il faut et il suffit que le rapport des dénominateurs de l'équation (9) garde la même valeur quel que soit z, et pour cela il faut et il suffît que l'on ait la relation

On dit qu'une surface réglée est développable si, pour une génératrice quelconque, le plan tangent est le même en tous les points de

cette génératrice ; pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que la relation (10) soit satisfaite identiquement, c'est-à-dire pour toutes les valeurs de t.

Un cône est une surface développable, car si Ton choisit le sommet à Torigine, les valeurs de p et q doivent être nulles dans les équations (7). Un cylindre est aussi une surface développable, caries génératrices restant parallèles à une droite fixe, a et 6 ont des valeurs indépendantes de l ; dans Tun et Tautre cas, la relation (10) est satisfaite identiquement.

800. Normale à une surface. — La normale en un point (x, y, z) d'une surface est la perpendiculaire au plan tangent en ce point ; ses équations sont

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par exemple, la normale en un point d'un ellipsoïde a pour équations

Nous allons démontrer géométriquement la propriété fondamentale du plan tangent et de la normale à une surface de révolution. Le plan tangent en un point M d une telle surface {fig. 105) est déterminé par la tangente MT au parallèle et par la tangente MS au méridien du point M; cette dernière rencontre Taxe de la surface en un certain point S.

La normale à la surface en M est perpendiculaire au plan tangent, en particulier à la droite MT ; elle est donc contenue dans le même plan que le rayon MO du parallèle et que Taxe de révolution, qui sont tous deux perpendiculaires à MT ; on en conclut que la normale va rencontrer Taxe ; soit N le point de rencontre. Faisons tourner autour de Taxe la figure formée par le méridien du point M, les tangentes MT et MS et la normale MM; dans ses différentes

Fig. 105.

458 APPLICATIONS GÉOMÉTRIOCES

positions, le plan SUT reste tangent à la surface et il passe toi^ours par S; de même, la droite MN reste normale à la surface et passe toujours par N ; on en conclut ce théorème :

Les plans tangents à une surface de révolution en tous les points d'un parallèle rencontrent Taxe en un même point, et il en est de même des normales.

801. Plana tangents à une surlace parallèles à un plan donné* —

Pour déterminer les plans tangents à la surface représentée par fÇx^ y , z) = 0 , parallèles à un plan d'équation