LX-*-MY^-NZ
nous prendrons comme inconnues les coordonnées (x, y , z) du point de contact de Fun de ces plans ; le plan tangent en ce point étant représenté par Féquation (5), la condition pour qu'il soit parallèle au plan précédent s'exprime par les relations
Ces équations représentent, lorsque x^y^z sont coordonnées courantes, une ligne que Ton appelle ligne diamétrale de la direction donnée de plan ; les points d'intersection de cette ligne et de la surface donnée sont les points de contact cherchés.
Lorsque la surface est du second ordre, toute ligne diamétrale est une droite que Ton appelle diamètre ; elle coupe généralement la surface en deux points ; on peut donc mener à la surface deux plans tangents parallèles à un plan donné.
802. Plana tangents à une surface parallèles à une droite donnée.
— Désignons par / , m , n les paramètres directeurs de la droite donnée ; si, comme précédemment, nous prenons comme inconnues les coordonnées 07, y, z du point de contact de Tun des plans tangents à la surface /'(a;,y,z) = 0 parallèles à cette droite, elles doivent satisfaire à la relation
(12) lf!.-¥-mfi^nf', = 0.
Cette équation représente, lorsque x^y,z sont coordonnées cou-
TANGENTES ET NORMALES AUX FIGUBES DE l'eSPACE 459
ranies, une surface que Ton appelle surface diamétrale de la direction donnée ; elle coupe la surface donnée suivant une ligne G, et le plan tangent en un point de cette ligne satisfait à la condition donnée.
Les parallèles à la droite donnée menées par chacun des points de cette ligne G forment une surface cylindrique ; la surface donnée et cette dernière surface ont même plan tangent en chacun des points de la ligne G qui leur est commune, car ce plan passe par la tangente à la ligne G et est parallèle à la droite donnée. Le cylindre ainsi formé est dit circonscrit à la surface le long de la ligne G.
Dans le cas où la surface donnée est du second ordre, la surface diamétrale est un plan appelé plan diamétral et la ligne G est une courbe plane.
I. Plans tangents passant par un point. -*- Les plans tangents à une surface /'(a;,y,2) = 0 issus d'un point Mo(«o»yo,2o) sont complètement déterminés des que Ton connaît leurs points de contact ; les coordonnées x^y^z d'un de ces points doivent satisfaire d'une part à Téquation de la surface, et d'autre part à la condition que le plan tangent passe par le point Mo ; si l'on prend l'équation de ce plan sous la forme (6), cette dernière condition s'écrit
(13) aroA -h yon-^zof. H- f, = 0 .
L'équation (13) représente, lorsqu'on y considère x,y,z comme coordonnées courantes, une surface que Ton appelle polaire du point M par rapport à la surface donnée ; les deux surfaces se coupent sui> vant une ligne G et tous les points de cette ligne sont les points de contact de plans tangents répondant à la question.
Les droites issues du point M et s'appuyant sur cette ligne forment un cône ; la surface donnée et ce cône ont même plan tangent en tous les points de la ligne G qui leur est commune ; le cône ainsi formé est dit circonscrit à la surface le long de cette ligne.
Lorsque la surface donnée est du second ordre, la surface polaire d'un point est un plan que l'on appelle plan polaire de ce point par rapport à la surface, et la ligne G est une courbe plane.
304. Classification des surfaces du second ordre. — L'équation générale du second degré à trois variables s'écrit
(*) /"(«» y» z) = Ax» -+- Ay -h A'z« -f- 2Byz -h 2B'zx -h 2B'a:y
H-2(it-f-2C'y-4-2(rz + D = 0;
nous représenterons par ^(x, y, z) Tensemble des termes du second degré.
La classification des surfaces représentées par cette équation se fait d'une manière analogue à celle que nous avons suivie pour les coniques au chapitre iv et repose sur la nature des points à Tinfini de ces surfaces. Si un point M d'une surface s'éloigne indéfiniment, la limite de la droite joignant l'origine 0 à ce point est une direction asymptotique ; comme au n^ 27!, nous démontrerions que l'ensemble des directions asymptotiques est le cône représenté par l'équation
(2) ^(x, y, z) = Ax* -f- A'y« H- A'z« -h 2Byz -f- 2B'zx H- 2B'xy = 0.
On se rend compte de la nature de ce cône, que l'on appelle cône des directions asymptotiques de la surface, encherchantcelledela conique suivant laquelle il est coupé par un plan parallèle à un plan de coordonnées, par exemple par le plan z = A , et en appliquant les méthodes du chapitre rv.
Si le cône est imaginaire, c'est-à-dire n'a d'autre point réel que son sommet, on dit que l'équation (!) représente une surface du genre ellipsoïde ; on démontre qu'elle peut être une sphère, un ellipsoïde réel ou un ellipsoïde imaginaire.
Si le cône est réel et non décomposable, on dit que Téquation (i) représente une sorface du genre hyperboloîde ; on démontre qu'elle peut être un hyperboloîde à une nappe, ou à deux nappes, ou un cône ordinaire.
Si le cône est décomposable en un système de deux plans, ce que Ton reconnaît à ce que sa section par le plan z = A est décomposable en deux droites, la surface est du genre paraboloîdeou du genre cylindre ; on démontre qu'elle peut être un paraboloîde elliptique, un paraboloîde hyperbolique, un cylindre elliptique, un cylindre hyperbolique ou un ensemble de deux plans qui se coupent.
Si le cône est un système de deux plans confondus, la surface est du genre cylindre parabolique, ou se compose de deux plans parallèles.
La section par le plan z = h du cône représenté par Téquation (2) a pour équation
Ax« -h 2B'xy -^ ky -4- 2B'Ax 4- 2Bhy + AW = 0 ;
pour que cette conique soit réductible à un système de deux droites, il faut et il suffit (n** 278) que le déterminant
A B* B'A W A' BA B'A BA AW
soit nul ; il est égal au produit de A*, qui est différent de zéro, par le déterminant
Nous en eoncluons que si A n'est pas nul, le cône des directions asymptotiques est indécomposable, et la surface est du genre ellipsoïde ou hyperboloîde ; si au contraire A est nul, le cône est décomposable, et la surface est du genre paraboloîde ou cylindre, ou bien se décompose en deux plans.
805. Traasformatlon de coordonnées dans l'espace. — La réduction de Téquation du second degré à une forme simple s'effectue à l'aide
de transformations de coordonnées ; le problème que nous avons d'abord à résoudre s'énonce de la façon suivante : Étant donnés demx systèmes d'axes Oxyz^O'xfy'it'^ exprimer les coordonnées x,y,z d'an poitd quelconque dans le premier système au moyen des coordonnées a/, y*» st' du même point dans le second. Nous examinerons successivement plusieurs cas.
1« Cas* — Les nouveaux axes sont parallèles aux premiers et dirigés dans le même sens.
Ces axes sont complètement définis dès que Ton donne les coordonnées Xq, y^y Zq de la nouvelle origine 0' dans le système Oxyz ; un raisonnement identique à celui que nous avons fait au n° 273 nous montre que les formules de transformation sont
(3) a: = a:o-+-x', y = .Vo-»-y', z=Zo-^z\
2* Cas. — Les nouveaux axes ont la même origine que les premiers.
Nous supposons les deux systèmes Oxyz , Ox'y'z' rectangulaires ;
comme au n^ 117, nous désignons par a, , pi , yi les cosinus des angles que fait Ox" respectivement avec Oa5 , Oy , Os ; de même, par aj, p», ya les cosinus des angles que fait Oy'^ et par ocs, Ps, fs 1®^ cosinus des angles que fait Oz' avec Ox, Oy,Oz.
Si M est un point quelconque de Tespace (Jig. 106), traçons le contour OP'Q'M de ses coordonnées dans le second système et projetons ce contour, ainsi que sa résultante OM , sur chacun des axes Oxy Oy, Oz; le théorème des projections nous donne
Fig. lOS.
pr. OM = pr. OP' -+- pr. P'Q'-h pr. Q'M ; si nous projetons sur Taxe des x , nous avons
x=:a:' cos(Oar, Ox')-t-y'eos(Oa;, Oy') -h z' coh (Ox , Oz');
nous pouvons projeter de même sur les autres axes, et nous avons, en introduisant les valeurs données des eosinus, les formules de transformation
3* Cas. — Cas général. — Étant donnés les deux systèmes Oxyz , OVy'z', prenons un système d'axes intermédiaire O'xij/iZi ayant même origine que le second et mêmes directions d'axes que le premier ; nous avons alors à effectuer successivement les transformations du premier et du deuxième cas. Les formules qui en résultent sont, comme les précédentes, toutes du premier degré par rapport aux coordonnées anciennes et nouvelles ; nous en concluons que le degré d'une équation algébrique ne change pas par une transformation de coordonnées ; Tordre d'une surface ou d'une courbe algébrique reste donc le même lorsqu'on passe d'un système d'axes à un autre.
a06. Centre d'une surface du second ordre. — Comme au n° 274, nous verrions que si les termes du premier degré manquent dans l'équation (1), l'origine des coordonnées est centre de la surface, et réciproquement; nous sommes amenés, pour simplifier l'équation, à faire disparaître les termes du premier degré, si c'est possible, en faisant une transformation de coordonnées et transportant les axes parallèlement à eux-mêmes.
Si «6» yo9 ^0 sont les coordonnées de la nouvelle origine, et si l'on utilise les formules (3), l'équation de la surface dans le nouveau système est
pour que les termes du premier degré disparaissent, il faut que l'on ait |A = Axo-+-B'yo-»-B'Zo-HC = 0,
|/5. = B'a:o+A'yo-hBz,-f-C' = 0,
|A = B'Xo-hByo4-A%4-C' = 0.
464 APPLICATIONS GéOMÉTRlQDES
Le déterminant des coefficients des inconnues est le déterminant A du n"* 304 ; s'il n'est pas nul, c'est-à-dire si ia surface est du genre ellipsoïde ou hyperboloîde, les équations précédentes ont une seule solution ; la surface a un seul centre.
S11 est nul, les équations n'ont aucune solution ou en ont uoe infinité ; dans le premier cas, la surface est du genre paraboloîde ou cylindre parabolique, dans le second cas, du genre cylindre elliptique ou hyperbolique, ou bien décomposable en deux plans.
S'il existe un centre, en y transportant l'origine, l'équation transformée prend la forme
^(x',t/',xO + D' = 0.
Nous pourrions, comme aux n^" 275 et 276, amener une nouvelle simplification de l'équation soit avant soit après la réduction précédente, en changeant la direction des axes sans changer l'origine, et en faisant en sorte que les termes du second degré ne renferment plus que les carrés des variables ; mais une telle marche est compliquée, et c'est plutôt après avoir déterminé les diamètres et plans diamétraux que l'on effectue la recherche de la direction des axes de la surface.
307. PlanB diamétraux et diamètres des qoadriques. — Par un raisonnement analogue à celui du n<» 279, nous verrions que le lieu des milieux des cordes de la quadrique représentée par l'équation (1), parallèles à la droite de paramètres /, m, n, est le plan représenté par l'équation
(5) ir.'hmfi^nfi = 0,
que nous avons déjà rencontrée au n^ 302. Ce plan est le plan diamétral de la direction considérée ; son équation est satisfaite par les coordonnées de tout centre de ia surface.
Proposons-nous de trouver le lieu des centres des sections faites dans la quadrique (1) par des plans parallèles au plan
Lar -h Ml/ -f- Nz = 0 ;
un tel centre P (fig, 107) est caractérisé par cette propriété qu'il
partage en deux parties égales toutes les cordes telles que MM' qui passent par lui dans le plan de la section correspondante ; il appartient par conséquent aux plans diamétraux de toutes les directions parallèles au plan donné.
pj ^Qy Si /, /n, n sont les coefficients direc-
teurs d'une direction de cordes MM', le plan diamétral de cette direction est représenté par Téquation (5) ; d'autre part, /,m, n doivent satisfaire, d'après la condition du parallélisme d'une droite et d'un plan (n"" 113),
à la condition
/L-^mM-f-nN = 0;
nous pouvons tirer de cette équation l'une des trois quantités /, /n, n en fonction des autres ; si par exemple L n'est pas nul, nous avons
l = ; en portant cette valeur dans l'équation (5) du plan
diamétral et en ordonnant le premier membre par rapport à m et n, nous avons
{r.-^r.yif'-lr.)=o.
Tous les plans représentés par cette équation, lorsque m et n varient, passent constamment par la ligne dont on obtient les équations en annulant séparément les coefficients de m et n ; elles peuvent s'écrire sous la forme suivante
et représentent une droite. Nous arrivons ainsi à ce résultat: le lieu des centres des sections d'une quadrique par des plans parallèles à un plan donné est une droite, qui est le diamètre de ce plan. Nous avons déjà rencontré ses équations au n^ 301 . Remarquons que tout centre d'une quadrique appartient à tous les diamètres de cette quadrique.
808. Application à l'ellipsoïde. — Nous allons appliquer ce qu précède à l'ellipsoïde représenté par l'équation x2 y* 2« , .
a* 6' c* VoGT. — Math. sup. 30
ce que nous dirons s'étendrait aux hyperboloîdes et au cône en changeant le signe de c' et en modifiant le terme constant, ce qui ne change pas les équations (5) et (6).
Le plan diamétral de la direction de cordes l, m, n est représenté par Téquation
nz
et le diamètre de la direction de plans L, M, N a pour équations
Supposons que Ton prenne comme direction de plan celle du plan diamétral (7); le diamètre de cette direction est représenté par les
équations (8), où Ton remplace L, M et N par -^»r5»iî ^^^s obtenons ainsi les équations
la direction de la droite qu'elles représentent est précisément celle des cordes dont le plan (7) est le plan diamétral ; nous avons par suite le théorème suivant, exprimant la réciprocité qui existe entre les diamètres et les plans diamétraux :
Le diamètre d^une direction de plan diamétral est parallèle aux cordes que ce plan partage en deux parties égales.
Cela posé, soit Q un plan diamétral quelconque (Jig. 108) et
MOMi son diamètre ; d'après ce que nous venons de voir, ce diamètre est parallèle aux cordes que ce plan partage en deux parties égales. Nous savons de plus, d'après la manière même dont nous avons obtenu les équations d'un diamètre (n« 307), que la droite MOMi est contenue dans le plan diamétral de tonte corde parallèle au plan Q.
Soit M'OMi' une corde tracée dans le plan Q par le centre 0, et soit M'OMÎ la trace de son plan
Fig. 408.
diamétral MH'Mi sur ce plan Q; M'OHÎ coupe en deux parties égales les cordes de ce plan parallèles à la direction M'OM( ; elle est donc le diamètre conjugué de cette direction dans la section de la surface par le plan Q.
D'après la réciprocité qui existe dans ce plan entre les diamètres M'OM( et M'OMÎ, le premier partage en deux parties égales les cordes parallèles au second, par suite le plan diamétral de WOMl est le plan déterminé par OM et OM'. Il résulte de ce qui précède que les trois droites OM, OM', OM'' jouissent de cette propriété que le plan diamétral de chacune d'elles est celui qui est déterminé par les deux autres ; on dit que ces droites forment un système de diamètres conjugués de Tellipsoîde.
D'après le n** 301, les plans tangents à Tellipsoîde aux extrémités d'un diamètre sont parallèles au plan diamétral conjugué de ce diamètre ; les plans tangents à la surface aux extrémités de trois diamètres conjugués forment par suite un parallélépipède qui lui est circonscrit et dont les faces sont parallèles aux plans diamétraux formés par ces diamètres pris deux à deux.
Soient (/, m, /i), (/', m', n'), (/*, m\ n') les paramètres directeurs de trois diamètres conjugués ; ils sont liés par les équations que Ton obtient en écrivant que chacun d'eux est contenu dans le plan diamétral de l'un des autres ; ces équations sont
mm' . nn'
ir mm" nn"
Si 2a\ 2b' et 2c' désignent les longueurs de trois diamètres conjugués de l'ellipsoïde, l'équation de la surface, lorsque ces diamètres sont pris comme axes de coordonnées, est
aî'« w'« 2'*
809. Axes d'une surface du second ordre. — Étant donnée une surface du second ordre représentée par l'équation générale (i), on
reconnaît qu^iine droite est un axe à ce qu'elle est le diamètre d'une direction de plan qui lui est perpendiculaire, et Ton reconnaît qu'un plan est un plan de symétrie ou, comme on dit, un plan principal, à ce qu'il est le plan diamétral d'une direction de cordes qui lui est perpendiculaire ; les droites d'intersection des plans principaux deux à deux sont du reste les axes de la surface.
Une surface du second ordre a en général trois plans principaux formant un trièdre trirectangle ; les arêtes de ce trièdre sont alors les axes de la surface ; pour déterminer les directions de ces axes, on opère de la façon suivante : Soient /, m, n les paramètres directeurs d'un axe de la surface ; le plan diamétral conjugué de cette droite est représenté par l'équation (5), qui s'écrit en développant les calculs,
(9) (Al -H B'm H- h'n)x -f- (h'I -+- A'm -f- B/i)y -h (B7 -+- Bm -4- A'/i>
-^(C/-+-Cin-hC'n) = 0;
pour qu'il soit perpendiculaire à la direction donnée, il faut et il suflSt que /, m, /i soient liés par les équations
Pour les résoudre, égalons à S la valeur commune des rapports précédents ; en chassant les dénominateurs et faisant passer tous les termes dans le premier membre, nous avons
' (A — S)/-hB'm-hB'/i = U,
(10) ] B'/ -h (A' — S)m -f- Bn = 0,
B/n-hCA"— S)n = 0;
ces équations linéaires et homogènes doivent être satisfaites par un système de Valeurs non toutes nulles de l, m, n\ il est donc nécessaire que le déterminant des coefficients de ces inconnues soit nul, c'est-à-dire que Ton ait
Le problème de la recherche des axes d'une quadrique est ramené
à la résolution de Téquation du troisième degré précédente, que Ton appelle équation en S ; nous démontrerons dans un instant qu'elle a ses racines réelles.
Lorsqu'on a calculé une de ses racines, les trois équations (10), où S est remplacé par cette racine, sont compatibles, et en résolvant deux d'entre elles par rapport à deux des inconnues après avoir donné à la troisième une valeur arbitraire, on obtient des valeurs proportionnelles à {, m, /i ; ces valeurs déterminent la direction d'un axe de la surface ; Téquation (9) représente alors le plan diamétral qui lui est conjugué, c'est-à-dire le plan principal perpendiculaire à cet axe. On trouve de cette façon, au moyen des trois racines de Téquation en S, les trois plans principaux de la surface ; leurs intersections deux à deux sont ses axes de symétrie.
Soient S et S' deux racines distinctes de Téquation en S ; les paramètres directeurs /, m, ji de l'axe correspondant à la première satisfont aux équations (10) et les paramètres /', m', n! de Taxe correspondant à la seconde satisfont à des équations que Ton déduirait des précédentes enrempiaçant S, / m et n par S', /', m', et n! ; soient (10'*^') ces équations.
Si nous faisons la somme des premiers membres des équations (10) mutipliés respectivement par l\ m\ n' et si nous en retranchons celle des premiers membres des équations (10^^*) multipliés par l^m ^n, nous obtenons la relation
(S' — S) (//' -h mm' H- nn') = 0 ;
comme le premier facteur S' — S n'est pas nul, nous voyous que Ton a //' 4- mm' -f- nn' = 0.
Cette relation montre que les deux directions définies par /, m, n et par /', m\ n! sont rectangulaires; elle permet en outre de démontrer que l'équation en S a ses racines réelles. Supposons en effet qu'elle ait deux racines imaginaires conjuguées S et S' ; les équations (10) et (10*»") donnent pour /, m, n et pour /', m', n' des valeurs respectivement conjuguées ; les produits ll\ mm' et nn! sont dès lors des sommes de carrés non tous nuls, et la somme //' H- mm' -\- nn! est positive et non nulle ; mais cette conclusion est en contradiction avec la relation précédemment démontrée, il est donc impossible que Téquationen S ait des racines imaginaires, ce qu'il fallait démontrer.
En choisissant des axes de coordonnées parallèles aux directions principales d'une quadrique, et passant par un centre si! en existe ou par un sommet, nous arriverions à réduire Téquation de la surface à une forme simple, et à démontrer que toute quadrique réelle est Tune des surfaces étudiées auxn^' 123 et suivants, ou bien est un cylindre dont la directrice est une conique, ou un système de deux plans.
810. Angles d'Euler. — Les formules de transformation (4) du n" 305 contiennent neuf cosinus si , Pi , yi , ... qui ne sont pas indépendants, et qui satisfont aux six relations
«î + Pî-^- YÎ= * » «,a,-hp,p3-f-TjY3 = 0 , «Î-I-PÎ+YÎ = ^ «8«i-+-p,Pi-l-Y,Yi = 0, «l+PÎ-+-YÎ=*» aia»H-PiP2-+-YiY2 = 0.
Dans certaines questions, il est utile d'avoir des formules de transformation renfermant seulement trois paramètres indépendants ; on y parvient en employant fes angles d'Euler qui sont définis de la façon
suivante :
Soient(/îj. 109) Oxyz et Ox'y'z' deux trièdres trirectangles de même sommet et de même sens ; désignons par sens positif le sens de rotation déterminé par le sens de ces trièdres.
Soit Oxi Tune des deux demi-droites opposées situées sur rintersection des plans aOy et x'Oy'; nous désignerons par ^ Tangle (Oa:, Oxi) évalué avec son signe dans le plan xOy par un observateur dirigé suivant 0::, puis par ô l'angle (Os , Oz') évahié par un observateur dirigé suivant Oxi , enfin par 9 Tangle (Oxx^Ox') évalué par un observateur dirigé suivant Oz'\ les trois angles 'j^, 6, (p sont les angles d'Euler.
Fig. 109.
La transformation de coordonnées permettant de passer des aies Oxyz aux axes Oa/y'z' peut être décomposée en trois transformations simples :
1^ Passage du système Oxyz au système Oxiyiz par une rotation autour de Oz, Taxe Oyi étant situé dans le plan a?Oi/ de telle sorte que (Oj^ , Oj^i) = ^ ; les formules de transformation résultent du 2* cas du n<> 273, et sont
x:=Xi cos ^ — y I sin t)/ ,
y =r aji sin + -h î^i cos t{/ ,
2® Passage du système Oxiytz au système Oxiyzz' par une rotation autour de Oxi^ Taxe Oyt étant situé dans le plan Oy t zz' perpendiculaire à Oxi , et tel que (O^i , Oy^) = 0 ; les formules de transformation sont
iCf = iPl 1
yi = yt cos 6 — z' sin 0 , z = ya sin 6 + z' cos 6 .
3^ Passage du système Oxiy2z' au système Ox'y'z' par une rotation autour de Oz', les axes 02;i, Oy%^ Ox*, Oy' étant dans un même plan perpendiculaire à Oz' , et tels que les angles (Oxi , Ox^ et {Oy^y Oy^ soient égaux à <p ; les formules de transformation sont
Xi = «' cos cp — y' sin cp , ^2 = a/ sin îp -h y' cos 3p ,
En éliminant Xi, yi et ya entre les formules précédentes, on obtient les formules de transformation cherchées.
31 i. Formules fondamentales de la trigonométrie sphérique. —
Gomme application des méthodes de transformation précédentes, nous allons établir les formules fondamentales reliant les trois angles A, B, G d'un triangle sphérique ABG aux trois c^tés opposés a^ bj c, ces angles et ces côtés étant évalués en radians sur la sphère de rayon 1.
Gomme un triangle sphérique est déterminé par trois de ses éléments, angles ou côtés, quatre éléments ne sont pas indépendants et doivent être reliés par une équation ; nous allons établir les relations les plus simples entre quatre éléments du triangle.
Soit, sur une sphère de rayon 1, ABC un triangle sphérique (Jig. iiO); formons un premier système d'axes rectangulaires pour lequel Torigine est au centre de la sphère, Taxe des z passe par B, le plan des xz est confondu avec le plan OAB , et le plan des yz est perpendiculaire au précédent ; Taxe des x est tel que le sens de Oz vers Oa; soit celui de OB vers OA, et Taxe des y tel que le sens de Ox vers Oy soit celui de BA vers BG.
Formons un deuxième système d'axes Ox'y'z' ayant même origine et même sens que le premier, pour lequel Taxe Oy' est identique à Oy , et Taxe Oz' passe cette fois par A ; le système des axes Ox's' se déduit du système Oxz par une rotation d'angle égal à c dans le sens de Oz vers Ox.
Nous établirons les formules de transformation d'un système de coordonnées dans Tautre, et nous les appliquerons aux coordonnées du point G; nous avons d'abord y'=y^ et en appliquant aux deux coordonnées z et x les formules (10) du n^ 273 où x et y sont remplacés par 2 et x, et a par c, nous aurons
Fig. 140.
z=z' cos c — x' sin c , X = z' sin c -f- x' cos c .
Les coordonnées du point G s'expriment au moyen des éléments du triangle parles formules du n*» 109 relatives aux coordonnées polaires dans l'espace ; dans le premier système, elles sont obtenues en faisant
p = l, 6 = fl, + = 3, et dans le second, en faisant p = 1 , 6 = 6, ^ = 7^ — A ; nous trouvons ainsi
x = sin a cos B , i/ = sin a sin B , z = cos a ,
x' = — sin6cosA, y' = sin6sinA, a' = cos 6.
En introduisant ces valeurs dans les formules (12), nous avons
sin a sin B = sin 6 sin A ,
(13) ^ cos a = cos 6 cos c H- sin b sin c cos A , sin a cos B = cos 6 sin c — sin b cos c cos A .
La première de ces formules indique que le rapport entre le sinus d'un côté et le sinus de Tangle opposé a une valeur constante; la deuxième permet d*évaluer un côté connaissant les deux autres et Tangle quils comprennent. La troisième contient cinq éléments ; nous la remplacerons par une autre renfermant quatre éléments en substituant à sin a sa valeur tirée de la première et divisant les deux membres par sin 6. Nous écrirons ainsi les formules fondamentales sous la forme suivante :
sin a sin 6 sin c
sin A sin B sin C '
(14) ^ * cos a = cos 6 cos c H- sin 6 sin c cos A ,
sin A cotg B = sin c cotg 6 — cos c cos A .
Nous obtiendrons d'autres formules en considérant le triangle polaire du triangle donné ; il a respectivement pour côtés et pour angles les suppléments des angles et des côtés de ce triangle ; de toute relation entre a, 6, c, A, B, C découle une autre relation que Ton obtient en remplaçant ces éléments par it — A, n — B, tc — C, « — a, 11 — 6, oc — c. La première des équations (14) ne change pas, la deuxième devient
(15) cos A = — cos B cos C H- sin B sin C cos a ,
et la troisième donne lieu à une relation qui ne diffère de cette troisième que par le changement de a et A en c et G. Les formules (14), (15) et toutes celles qui s'en déduisent par permutation quelconque des
éléments sont les seides formules à quatre éléments, et sont les relations nécessaires et suffisantes d'où se déduisent toutes les autres.
Dans le cas où le triangle ABC est rectangle en A, celles des formules générales qui renferment Tangle A se transforment en des formules ne contenant plus que trois éléments ; entre les trois côtés existe la relation
cos a s cos 6 cos c ;
entre deux c^tés et un angle existent les relations
sin 6 = sin a sin B , tg& = tgacosC, tg ft == sin <; tg B ,
et celles qu'on en déduit par permutation de 6 et c ainsi que de B et C; enfin, entre un côté et deux angles existent les relations
cos a sseotg B cotg C, cosB^cosftsinC,
et celle qu'on déduit de la dernière par permutation de 6 et c ainsi que de B et C .
