CHAPITRE IX ENVELOPPES DES nGURES DE L'ESPACE

912. Enveloppe d'âne famille de surfaces. — Considérons une famille de surfaces S représentées par une même équation

renfermant un paramètre variable a . Par analogie avec ce que hous avons dit dans le cas d'une courbe plane (n^ 287), nous définirons Tenveloppe de cette famille de surfaces de la façon suivante :

Prenons la surface correspondant à la valeur a du paramètre et la surface voisine correspondant à la valeur a + Aa du même paramètre ; lorsque Aa tend vers zéro, la ligne d'intersection de ces deux surfaces tend vers une position limite que Ton appelle ligne caractéristique de la première et qui est représentée par les équations

le lieu de cette ligne caractéristique, lorsque a varie, est appelé Tenveloppe de la famille de surfaces S et Ton obtient son équation en éliminant a entre les deux relations précédentes.

Dans le cas particulier où Téquation (1) est de la forme

les surfaces qu'elle représente passent toutes par la ligne représentée par les équations cp = 0 , tj/ = 0 , et cette ligne est leur enveloppe.

Nous allons vérifier, par un raisonnement analogue à celui du n^ 288, qu'une surface enveloppée S et Fenveloppe E ont même plan tangent en tous les points de la ligne caractéristique. En un point de

i76 APPUCATIO.Nb GÉOMÉTRIQUES

cette ligne, Téquation du plan tangent à la surface S correspoodant à la valeur fixe a du paramètre est

(3) (x-xyi + (Y-i,)/-;+(z-z)/.'=o.

L'équation de E peut être considérée comme étant la première des équations (2) où a a été remplacé par sa valeur tirée de la seconde en fonction de x, y , z ; les coefficients de l'équation du plan tangent sont alors

fL-^^aL. f'y-^f'aa'y. n-^f^al;

mais fa est nul, par suite ces coefficients sont les mêmes que dans Téquation (3), et les plans tangents sont identiques. Cette propriété justifie le nom d'enveloppe donné à la surface E.

Exemple. — Soit la famille de sphères représentées par Téquation

(4) x»-|-y2 -I- z« — 2az ^(a—pY = 0,

où a est variable et p constant ; la dérivée de cette équation par rapport à a est

on en conclut que la ligne caractéristique est le cercle d'intersection de la sphère et du plan z = a — p .

En éliminant a entre les deux relations, nous obtenons l'équation de Tenveloppe, qui est

elle représente un paraboloîde de révolution autour de 0:;; nous obtiendrions encore son équation en écrivant que l'équation (4) a une racine double par rapport à a , d'après la remarque faite au n** 289.

11 peut arriver, comme au n° 291 pour les courbes planes, que les surfaces d'une famille soient représentées par une équation renfermant deux paramètres, de la forme

(5) /•(x,y,z,«,fe) = 0,

b étant une fonction donnée de a ; la ligne caractéristique est alors représentée par l'équation (5) et sa dérivée par rapport à a , c'est-à-dire

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Si en particulier a et 6 sont liés par une équation telle que

la différentiation de cette équation conduit à la relation

et Télimination de -r- entre (6) et (8) donne Téquation

nous obtiendrons dans ce cas Téquation de Tenveloppe en éliminant a et 6 entre les équations (5) (7) et (9).

313. Cas de deux paramétres Indépendants. — Supposons que des surfaces soient représentées par Téquation (5) renfermant deux paramètres, et que ces paramètres soient indépendants Tun de Tautre. La ligne d'intersection d'une surface correspondant aux valeurs a , b des paramètres, et d'une surface voisine correspondant aux valeurs a + Aa , 6 + A6 de ces paramètres, ne tend vers une limite déterminée que si Afr et Aa tendent vers zéro d'après une loi donnée, c'est-à-dire

si -— a une limite déterminée ; cette ligne est alors représentée par Aa

les équations (5) et (6).

Si Ton vient à changer la loi de dépendance de a6 et Aa, la ligne caractéristique change, mais elle passe toi^jours par les points dont les coordonnées satisfont aux équations

ces points sont appelés points caractéristiques, et leur lieu, lorsque a et 6 varient, est une surface appelée l'enveloppe des surfaces données.

On obtient l'équation de cette enveloppe en éliminant a et 6 entre les équations (iO). Par un raisonnement analogue à celui du numéro précédent, nous verrions que la surface enveloppe est tangente à chaque surface enveloppée aux points caractéristiques de cette dernière.

Le cas le plus simple est celui de Tenveloppe des plans tangents à

une surface quelconque ; Téquation d'un tel plan renferme deux paramètres, par exemple, les coordonnées x et y du point de contact. L'enveloppe de ces plans est la surface elle-même, qui touche chaque plan au point caractéristique.

314. Enveloppe d'une famille de lignes. — Ëtant donnée dans Tespace une famille de lignes dépendant d'un paramètre, on ne peut définir leur enveloppe comme précédemment, car deux lignes voisines n'ont généralement aucun point commun ; on prend dans ce cas la propriété d'une enveloppe comme définition, et l'on appelle enveloppe d'une famille de lignes G une ligne L à laquelle sont tangentes toutes les premières.

En général, les lignes d'une famille n'ont pas d'enveloppe; pour qu'elles en possèdent une, il est nécessaire qu'elles satisfassent à une condition particulière.

Nous allons chercher cette condition dans le cas particulier où les lignes sont des droites; nous les supposerons représentées par des équations de la forme

(11) x = az-hp, y = bz-hq,

a, 6,/>, q étant fonctions d'un paramètre t, et chaque droite correspondant à une valeur de ce paramètre. S'il existe une ligne enveloppe L, chaque point P de cette ligne est situé sur une des droites, et sa cote est une certaine fonction f(C) du paramètre relatif à cette droite ; les coordonnées X, Y, Z des points de L sont donc de la forme

(12) Z = /-(0, X==a/(04-p, \ = bf{l)-hq,

La fonction encore inconnue f(C) doit satisfaire à la condition que la tangente en P à la ligne L soit la droite de paramètre i ; comme elles passent déjà Tune et l'autre par P, il faut et il suffit quelles soient parallèles, ce qui s'exprime par les conditions;

ou bien

a'f(t)-haf'(t) + p' b'f(0-i-bf'(t) + q' no. a " h- 1 '

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ces conditions se réduisent à

Pour qu'elles fournissent une valeur de f(t), il faut d'abord que Ton ait la relation

(13) aV — 6y = 0;

cette condition, qui est nécessaire, est aussi suffisante, car si elle est remplie, la fonction f(^t) est égale à la valeur commune des rapports

"^^ , ^^^^ ; les équations a 0

Z=^' = =^, X = aZ+/>, Y = bZ-hq

définissent une ligne à laquelle toutes les droites (li) restent tangentes, et qui est Tenveloppe de ces droites.

La relation (13) est identique à celle qui exprime que les droites (11) forment une surface développable (n** 299); nous arrivons donc à cette conclusion :

Poar que des droites aient une enveloppe, il faut et il suffit qu'elles forment une surface développable.

L'enveloppe de ces droites est appelée arête de rebroussement de la surface développable ; elle peut se réduire à un point, comme cela a lieu pour un cône.

Ajoutons que, d'après ce qui précède, les tangentes à une ligne de l'espace forment une surface développable ayant cette ligne comme arête de rebroussement, puisqu'elles l'admettent comme enveloppe.

Un autre exemple de lignes ayant une enveloppe est fourni par les caractéristiques des surfaces d'une famille à un paramètre. Si nous considérons des surfaces représentées par l'équation (1) et leurs caractéristiques représentées par les équations (2), nous pouvons montrer que ces dernières ont une enveloppe représentée par les équations

(*^) /"(a?,y, *,«) = 0, f!,{x,y,z,a) = 0. fJx, y ,z,a)^Q.

Ces équations fournissent des valeurs de x^y,z en fonction de a et définissent, quand a varie, une certaine ligne L. Supposons que nous tirions a de la dernière des équations (14) et que nous

portions dans les deux autres la valeur trouvée ; nous aurons les équations de la ligne L. Si nous formons d'après la méthode du n® 297 d'une paii; les équations de la tangente en un point de cette ligne, d'autre part celles de la tangente au point correspondant de la ligne caractéristique représentée par les équations (2), nous constaterons, comme au n° 312, que ces équations sont les mêmes et que les tangentes sont confondues ; la proposition se trouve ainsi démontrée.

La ligne L est dite Tarête de rebroussement de la surface enveloppe E.

315. Enveloppe d*une famille de plans. — Supposons que les coefficients de l'équation d'un plan

(15) Ax-f-Bî/-hCs-|-D = 0

soient fonctions d'un paramètre ; les plans de la famille ainsi définie ont une enveloppe définie par l'équation précédente et sa dérivée par rapport au paramètre ; si nous indiquons par des accents les dérivées des coefficients, cette équation dérivée est

La ligne caractéristique est une droite, et l'ensemble des droites caractéristiques est une surface réglée ; d'après une propriété démontrée, la surface enveloppée est tangente à l'enveloppe en tous les points de la ligne caractéristique ; nous en concluons que le plan représenté par (15) est tangent à la surface réglée, qui est son enveloppe, tout le long de la génératrice caractéristique ; cette surface réglée, ayant même plan tangent en tous les points d'une génératrice, est une surface développable.

L'arête de rebroussement de cette surface, c'est-à-dire l'enveloppe des génératrices, est définie par les équations (15) et (16) et par la dérivée de celle-ci par rapport au paramètre, c'est-à-dire par