CHAPITRE X COURBURE DES U6NES DE L'ESPACE

di6. Plan oscillateur en un point d'une ligne. — On appelle plan osculateur en un point d'une ligne la limite du plan passant par la tangente en ce point et parallèle à la tangente en un point voisin, lorsque celui-ci se rapproche indéfiniment du premier.

Supposons que les coordonnées des points de la ligne soient fonctions d'un paramètre t ; nous nous proposons de former Féquation du plan oscillateur en un point M de coordonnées x, y^ z correspondant à la valeur t du paramètre ; nous commencerons par déterminer le plan passant par la tangente en ce point, et parallèle à la tangente en un point voisin M' correspondant à la valeur t-\-lt du paramètre.

L'équation de ce plan est de la forme

(1) A(X— a;)-hB(Y — i/)-hC(Z-z) = 0,

les coefficients A, B, C étant déterminés par les conditions qu'il soit parallèle aux tangentes en M et en M' (n**ii4]. Comme les coefficients directeurs de ces tangentes sont respectivement a:'(f), y' (0» «'(0 «* jc'[t-+-M), y'{t-hM), z'(/-f-A/), les conditions imposées à A, B, C s'expriment par les équations

(2) Ax'{l)-hBy'{t)-hCz'{t) = 0,

(3) Ax'[t'hM)-hBy'{t-hM)-hCz'{t-{-\t)=0.

Nous pouvons remplacer la dernière par la suivante :

x'{l-hM)-^{t) y'{t + M)-y'{t) z'{t-i-M)-z'(t)

w ^ n ^" Ai ^^ Âï ="•

VocT. — Math. sup. 31

Supposons maintenant que M' se rapproche indéfiniment du point M, M tendant vers zéro ; Téquation (4) devient à la limite

(5) Aa:'(0H-B/(0-4-Cz'(0 = 0;

nous en concluons que le plan osculateur au point M est représenté par Téquation (i), les coefficients A, B, C étant déterminés par les relations (2) et (5) ; ces dernières déterminent seulement des valeurs proportionnelles aux inconnues ; mais, pour la commodité des calculs, nous adopterons désormais pour A, B, G les valeurs suivantes qui satisfont aux relations (2) et (5)

(6) A = y'z' — zy, B = 2 V — x'z', C = x'y' — y V.

L'équation (1), dont les coefficients ont ces valeurs, peut être écrite sous la forme suivante

^(0 y'if) «'(0

ou bien encore, en introduisant les différentielles, sous la forme X — a; Y — y Z — z dx dy dz =0.

d^x d^y dH

Il serait facile de montrer que la limite d'un plan passant par la tangente à la courbe en M et par le point voisin M' est le plan osculateur au point M.

317. Normale principale. — On appelle normale principale en un point d'une courbe de Tespace la normale à cette courbe située dans le plan osculateur ; elle est l'intersection du plan normal, représenté par l'équation du n* 296 ou encore par la suivante :

(8) (X-xy + CY-.y)3/'-|-(Z-zX = 0,

et du plan osculateur, représenté par Tune des équations (i), (6) ou (7).

Si la courbe considérée est plane, son plan osculateur en un point

quelconque se confond avec le plan de la courbe ; la normale principale

COURBURE DES UGNES DE l'eSPACE

est alors la normale à la courbe dans son plan, telle qu'on la considère en géométrie plane.

818. Centre et rayon de courbure en un point d'une courbe de^ l'espace. — Par analogie avec ce que nous avons dit dans le cas d une courbe plane (n« 292), nous poserons les définitions suivantes:

Considérons (Jig. iii) un point M d'une courbe gauche et un point

voisin M'; les plans normaux en ces deux points se coupent suivant une certaine droite ; soit D la position limite de cette droite lorsque M' se rapproche indéfiniment de M ; le point de rencontre G de cette droite D et du plan osculateur à la courbe au point M s'appelle centre de courbure relatif à ce point M.

Ce point G est situé sur la normale principale à la

courbe au point M ; la longueur MG est appelée rayon de courbure

en ce point de la courbe.

Nous allons déterminer le centre et le rayon de courbure d'une

courbe de l'espace. La droite D est la ligne caractéristique du plan

normal, c'est-à-dire la droite de contact de ce plan avec son enveloppe ;

elle est appelée droite polaire, et est définie par l'équation (8) du plan

normal et par la dérivée de cette équation qui est

(9) (X — aîX-^(Y-i/y-+.(Z — zX-(x'«4-.y'*-|-5'») = 0.

Si nous joignons à ces deux équations celle du plan osculateur en M, écrite sous la forme (1), avec les relations (6), nous avons trois équations pour déterminer les coordonnées ar, y, s du centre de courbure; nous en tirons les relations

Fig. 111.

Bis' — Gy'~"Ga/ — Az'^'Ay' — Ba:'~ A^-hB^-i-G* '

Le rayon de courbure est égala \/(X— x)*h-(Y— y)*-h{Z— s)*: tous calculs faits, nous trouvons pour sa valeur

(10) i^(fl±Yl±^

Remarque. — La droite polaire est perpendiculaire au plan osculateur ; en elTet les relations (2) et (5) auxquelles satisfont les coefficients A, B, C expriment précisément que les plans (8) et (9) sont perpendiculaires au plan osculateur ; Tintersection de ces deux plans, c'est-à-dire la droite polaire, est donc aussi perpendiculaire à ce plan osculateur.

319. Courbure. — Par analogie avec la propriété démontrée au n** 293 dans le bas d'une courbe plane, nous allons démontrer que le rayon de courbure au point M est égal à la limite du rapport de Tare MM' àTangle des plans normaux en M et M' ou encore, ce qui revient au même, à Tangle des deux tangentes MT,MT' en M et M'.

Nous nous aiderons pour cela d'une courbe auxiliaire, appelée indicatrice sphérique de la courbe donnée ; menons par l'origine (fig, 111) un vecteur OP, égal à l'unité, et parallèle à la demi-tangente en M comptée dans le sens des arcs croissants avec i ; le lieu du point P est cette courbe indicatrice ; elle est tracée sur une sphère de centre 0 et de rayon un.

L'angle des tangentes MT, M'T' est égal à l'angle des vecteurs correspondants OP , OP' ; il est mesuré par l'arc de grand cercle joignant sur la sphère les points P et P' ; mais le rapport de cet arc de grand cercle à Tare PP' de la courbe indicatrice a pour limite l'unité ; nous sommes donc amenés à démontrer que le rayon de courbure R est égal à la limite du rapport des arcs MM' et PP' . Si nous désignons par 5 et 9 les arcs décrits par M et P , nous devons montrer

que R est égal au rapport -j- des différentielles de ces arcs, ou au

rapport — des dérivées de ces arcs prises par rapport à la variable

indépendante t.

Nous avons déjà (n* 198)

«'« = a:'2-f-y'»4-jï«;

COURBURE DES UGNES DE l'eSPACE 485

d'autre part les coordonnées du point P sont égales aux cosinus directeurs de MT, et ont pour valeurs

irl yf rJ

si nous formons les dérivées de ces coordonnées, et si nous calculons la dérivée a' par la formule

nous

trouvons,

tous calculs faits.

g' nous déduisons de là que le rapport -y est égal à la valeur (10) de R,

ce que nous voulions établir. L'inverse du rayon de courbure en un point s'appelle courbure de la courbe en ce point; la courbure est

égale à ^.

Remarquons encore que le plan OPP' est parallèle aux deux tangentes MT,MT'; par suite la limite OPT' de ce plan est parallèle au plan osculateur TMG . On vérifie facilement que la tangente PT' à rindicatrice comptée dans le sens des arcs <j croissant avec t est parallèle à la noi*male principale, et qu'elle a la même direction que le vecteur MC allant du point M au centre de courbure ; il suffît pour cela de vérifier que Ç', V» î' ne diffèrent de X — x, Y — i/,Z — z que par un même facteur positif.

320. Torsion. — Considérons en un point M (fig. 111) la tangente MT, dirigée dans le sens des arcs croissants, et la normale principale MG dirigée vers le centre de courbure ; on désigne sous le nom de binormale la perpendiculaire MB menée en M au plan osculateur, portant un sens tel que le trièdre MTCB ait le même sens que le trièdre des coordonnées.

On appelle deuxième courbure ou torsion de la courbe en M la limite du rapport de Tangle des plans osculateurs en M et M' à Tare MM', ou bien la limite du rapport de Tangle des binormales en M et M' à Tare MM'; on peut le déterminer en remplaçant Tangle des

deux binormales par Tare correspondant d'une deuxième indicatrice, Jieu de Textrémité d'un vecteur issu de l'origine, égal à Tunité et parallèle à la binormale.

Le rayon de torsion est l'inverse de la torsion ; un calcul que nous ne reproduirons pas conduit à la valeur suivante de ce rayon, que nous appellerons T,

321. Courbure des lignes tracées sur une surface. — Nous supposerons l'équation de la surface écrite sous la forme

(11) z=f(x,yy,

nous désignerons par p et q les dérivées partielles du premier ordre fL et /ï, par r,*,^ les dérivées partielles secondes, /i, fij^ fjt. L'équation du plan tangent en un point M de coordonnées x, y, z est

et les équations de la normale sont

\ — xY — y Z — s.

si Ton choisit comme direction positive sur la normale celle qui est dirigée du côté des z positifs, les coordonnées d'un point N de cette normale s'expriment en fonction de la valeur p du vecteur MN par 4es formules

Soit L une ligne tracée sur la surface ; les coordonnées d'un point de cette ligne sont fonctions d'un paramètre variable, que nous appellerons ty mais ces fonctions ne sont pas indépendantes, car elles sont liées par l'équation (11); leurs dérivées sont assujetties en parti-

COURBURE DES LIGNES DE L ESPACE

culier aux relations

(13) z^^px! + qy',

(14) z' = px" 4- qy' + rx'^ H- 2sx'y' -\- iy'^

analogues à celles du n"" 205.

Nous nous proposons de déterminer le centre de courbure C de

cette ligne au point M. Ce centre (Jig. 112) est à Tintersection du plan osculateur de la courbe en M et de la droite polaire, représentée par les équations (8) et (9) ; cette droite rencontre la normale à la surface, car elle est contenue dans le plan normal à la courbe, et celuici renferme la normale à la surface. Si nous connaissions le point N où la droite po- Fig. 112. laire rencontre cette normale,

il sufQrait d'abaisser du point

N une perpendiculaire au plan osculateur de L pour trouver le point

C, d'après la remarque finale du n"" 318.

Nous obtiendrons la valeur p de MN en remplaçant, dans les

équations (8) et (9), les coordonnées X, Y, Z par leurs valeurs tirées

de (12); la première devient une identité d'après la relation (13), et la

seconde conduit à la relation

en remplaçant z" par la valeur (14) et résolvant par rapport à p, nous obtenons

rx'^-h2sx'y'-hty'^

Cette formule nous donne le point N ; elle présente cette particularité remarquable de ne renfermer que les dérivées x'^y'^z' qui sont les paramètres directeurs de la tangente MT, et les dérivées

/), q^ r, S, t, qui ne dépendent que de la surface ; le point N est donc indépendant du plan osculateur de la ligne L au point M ; il est le même pour toutes les lignes tracées sur la surface et ayant même tangente MT.

La plus simple de toutes ces lignes est la section de la surface par le plan TMN contenant la normale à cette surface ; on rappelle section normale relative à MT ; pour cette section, la normale principale MG est confondue avec MN, et le centre de courbure est précisément le point N ; pour les autres lignes, le centre de courbure se déduit de celui-là par le théorème suivant, qui résulte de ce qui précède, et qu'on appelle théorème de M eusnier :

Le centre de courbure en un point d'une ligne tracée sur une surface est la projection, sur le plan osculateur de cette ligne, du centre de courbure de la section normale ayant même tangente en ce point.

Il résulte de ce théorème que la détermination des centres de courbure de toutes les lignes tracées sur une sui-face est ramenée à celle des centres de courbure des sections normales.

322. Centre de courbure des secilODS normales. — Nous allons étudier les centres de courbure de toutes les sections normales en un

point d'une surface ; nous choisirons des axes particuliers de coordonnées, Torigine étant le point donné et le plan des xy le plan tangent à la surface en ce point ; pour Torigine, les dérivées partielles p et q sont alors nulles* ainsi que z', et p se réduit à

Fig 413. Soit OD (fig. 113) la trace

sur le plan xOy d'une section normale S; si 6 désigne Tangle (Ox, OD), les paramètres directeurs de la tangente sont tels que Ton ait

r = cosO, / .. =sin6;

COURBURE DES LIGNES DE l'eSPACE 489*

le centre de courbure N est alors déterminé par la formule

^ ^ ^ """ r cos* ô + 2* sin 6 cos 6 -f- < sin* 6 '

on dit que p est la valeur relative du rayon de courbure de la section normale considérée.

Différents cas peuvent se présenter suivant la nature des racines du trinôme dénominateur ; ces cas correspondent à ceux qui caractérisent la section de la surface par son plan tangent à Torigine. Cette section est en effet représentée par f(Xj y) = 0 ; cette courbe passe à Torigine et y a un point singulier, puisque les dérivées premières de f sont nulles en ce point. Dans le cas général, Forigine est un point double, et les tangentes en ce point sont représentées (n° 252) par Téquation

(17) rX«H-2«XYH-A'« = 0.

l" Cas : s^ — r( < 0 ; le trinôme (17) n*a pas de racine réelle ; Torigine est un point double isolé pour la section de la surface par le plan tangent; la valeur de p donnée par la formule (16) garde toujours le même signe quand 0 varie, et ne devient pas infinie. Toutes les sections normales tournent leur concavité du même côté du plan tangent ; un ellipsoïde offre un exemple de ce cas.

Si, en particulier, s est nul et r égal à ^, p est constant quel que soit 6 ; Torigine est dite un ombilic de la surface. Tous les points d*une sphère sont des ombilics.

2^ Cas : s* — rt>0; le trinôme (17) a ses racines réelles et distinctes ; Torigine est un point double à tangentes réelles et distinctes pour la section de la surface par le plan tangent. Les tangentes au point double séparent le plan tangent en deux régions, constituées chacune par les parties intérieures à deux angles opposés par le sommet. Lorsque la trace OD de la section normale est située dans une de ces régions, p a un certain signe, et la section tourne sa concavité d'un certain côté de Taxe O2 ; lorsque OD est située dans l'autre région, p a le signe contraire au précédent, et la section tourne sa concavité de Tautre côté ; enfin lorsque OD se confond avec Tune des tangentes au point double, p est infini.

La surface traverse son plan tangent et est dite à courbures oppo-

sées; un hyperboloîde à une nappe ou un paraboloïde hyperbolique of&ent des exemples de ce cas ; la section de Tune ou de Tautre de ces deux surfaces par un plan tangent est formée de deux génératrices.

3« Cas : 8^ — rt = 0; le trinôme (17) a ses racines égales ; Torigine est un point double à tangentes confondues pour la section de la surface par le plan tangent, p garde le même signe pour toutes les sections normales, mais devient infini lorsque OD se confond avec la tangente double ; le point 0 est dit un point parabolique de la surface.

Un cylindre, un cône et plus généralement une surface réglée développable présentent en tous leurs points un exemple de ce cas ; la section d'une telle surface par un de ses plans tangents est formée de deux génératrices confondues.

323. Indicatrice. — On représente la variation du rayon de courbure des sections normales d'une surface en un point 0 au moyen d'une courbe tracée dans le plan tangent en ce point ; on construit cette courbe en portant sur la trace OD de chaque section normale, et de part et d'autre du point 0, un segment OP ou OP' (fig, 113), égal à la racine carrée de la valeur absolue R du rayon de courbure de cette section au point 0 ; le lieu des extrémités de ces segments est appelé indicatrice. Remarquons que la construction géométrique des segments MP, MP' exige la connaissance du segment U pris pour unité de longueur, et que l'on doit construire la moyenne géométrique de R et U.

Pour une section dont la trace fait avec Ox l'angle 0, les coordonnées des points P et P' de l'indicatrice ont pour valeurs

a: = ±V^cos6, y = =hv/Rsin6;

en éliminant 0 entre ces relations et la formule (16), nous trouvons l'équation suivante

rx^ H- 2sxy -\-ty^=

Dans le !•' cas , ** — r< <; 0 , p garde un signe constant ; l'indicatrice est une ellipse ayant pour centre Torigine et représentée par l'équation

(18) rx^ -4- 2say -\-iy^ = ±i,

COURBURE DES LIGNES DE L ESPACE

le signe du second membre étant celui de p . Dans le cas particulier où Torigine est un ombilic, Tindicatrice est une circonférence.

Dans le 2' cas, 5' — r/>0, p est positif ou négatif suivant la position de OD; Tindicatrice se compose alors de deux hyperboles conjuguées, ayant pour centre Torigine et représentées par Téquation (18), Tune correspondant au signe +, l'autre au signe — au second membre. Les asymptotes de ces hyperboles sont les tangentes au point double représentées par Téquation (17).

Dans le S'' cas , s* — rf = 0 , p garde un signe constant ; Tindicatrice est encore représentée par Téquation (18), où le second membre a le signe de p ; elle se compose de deux droites parallèles à la tangente double représentée par (17), et équidistantes de cette tangente.

Les axes de Tindicatrice sont les directions qu'il faut donner à la trace OD d'une section normale pour que le rayon de courbure p ou bien sa valeur absolue R soit maximum ou minimum. Les sections ayant pour traces les axes de l'indicatrice sont dites sections principales et les rayons de courbure de ces sections au point 0 sont dits rayons de courbure principaux en ce point.

Supposons que l'on choisisse comme axes des x et des y les traces des sections principales sur le plan tangent; l'équation (18) ne doit pas contenir de terme en xy ^ et « doit être nul ; avec ce choix des axes, la formule (16) prend une forme plus simple, les rayons de courbure principaux sont alors les valeurs de p.

po=— 1

obtenues en faisant 0 = 0 ou 0=y; la formule (16) peut alors

s'écrire sous la forme

1 cos* 6 sin* 6

P Po Pi

On appelle courbure moyenne en un point d'une surface la moyenne

des inverses des rayons de courbure principaux -r- ( 1 ) et cour-

^ \ po pi /

bure totale le produit des inverses de ces rayons •

popi

324. Lignes de courbure d*une surface. — On dit qu'une ligne tracée sur une surface est une ligne de courbure si la tangente en

APPLICATIONS GÉOM^BIQCES

chacun de ses points est la trace, sur le plan tangent, de Tune des sections principales relatives à ce point.

Comme en tout point d'une surface existent deux sections principales, et que leurs tangentes en ce point sont rectangulaires, on voit que Ton peut faire passer par chaque point de la surface deux lignes de courbure, et qu'elles se coupent à angle droit ; il existe donc deux familles de lignes de courbure, chaque ligne d'une famille coupant orthogonalement toutes celles de l'autre.

Par exception, en un ombilic passent une infinité de lignes de courbure, car toute section normale en un tel point peut être considérée comme section principale.

Toute courbe tracée sur une sphère est une ligne de courbure de cette surface ; tout méridien d*une surface de révolution est une ligne de courbure, par raison de symétrie ; comme les parallèles d'une telle surface coupent tous les méridiens à angle droit, on voit que les deux familles de lignes de courbure d'une surface de révolution sont les méridiens et les parallèles de cette surface.

Toutes les génératrices d'une surface développable sont des lignes de courbure de cette surface et constituent une première famille ; la deuxième famille est formée des lignes coupant orthogonalement les génératrices.

Une propriété fondamentale des lignes de courbure est la suivante:

Les normales à une surface en tous les points d'une ligne de courbure forment une surface développable, et sont par suite tangentes à une même ligne qui est l'arête de rebroussement de cette dernière surface. Cette ligne est le lieu des centres de courbure des sections normales correspondant aux tangentes successives à la ligne de courbure considérée.

Pour le démontrer, nous allons chercher la condition pour que la famille des normales à une surface menées en tous les points d'une ligne L forme une surface développable ; ces normales sont représentées, comme nous l'avons vu au début du n<^ 321 , par des équations que nous écrirons sous la forme

( \=—pZ-h(x-hpz)^

l Y = — 7Z-4-(t/-f-yz);

x,y^z,p,q étant fonctions du paramètre variable t qui sert à déterminer

COURBURE DES LIGNES DE L ESPACE

les points successifs de la ligne L. D'après ce que nous avons dit au n^ 314 , la condition pour que ces normales aient une enveloppe est que le rapport des dérivées du dernier terme et du coefficient de Z ait la même valeur pour Tune etFautre des équations (19), c'est-à-dire que Ton ait la relation

x' -hpz' -\-p'x y' + ys' + q'z p' - q'

de plus, la valeur commune de ces rapports est égale à la cote Z du point de contact de chaque normale avec son enveloppe.

Ëtant donné un point quelconque 0 de la ligne L , choisissonsle comme origine, et prenons le plan tangent à la surface en ce point comme plan des xy; la condition à laquelle doit satisfaire la ligne L au point 0 se déduit de la relation (20) en y faisant z ^ p et q égaux à zéro; en remplaçant />' et q' par leurs valeurs, elle s'écrit

/niN ^' = y' ;

^ ^ . rx'-hsy' sx'-hty''

c'est une relation entre les paramètres de la tangente en 0 à la ligne L ; en la rendant entière et remplaçant ^^ par le coefficient angulaire m de cette tangente, elle s'écrit

mais c'est l'équation aux coefficients angulaires des axes de la conique indicatrice (n** 280) ; nous en concluons que la ligne L doit être tangente au point 0 à l'un des axes de l'indicatrice.

Quant à la valeur commune des rapports (21), elle est égale au rapport obtenu en multipliant les termes du premier par x' , ceux du second par y^ et ajoutant terme à terme, c'est-à-dire à

rx'^ -f- 2sx'y' -h ty'^ '

c'est précisément la valeur de p (n° 322) ; nous voyons donc que le point de contact de la normale Oz avec son enveloppe est le centre de courbure de la section normale correspondant à la tangente à la ligne L au point 0 .

La proposition se trouve ainsi démontrée pour le point 0 ; comme

APPUCATIONS GÉOMÉTRIQUES

ce point est quelconque sur la surface, la proposition est entièrement générale.

Lorsque Ton veut déterminer les lignes de courbure d'une surface rapportée à des axes quelconques, on écrit qu'en chaque point d'une ligne de courbure la tangente est un des axes de Tindicatrice, ou bien que la relation (20) est satisfaite. En retranchant z aux deux membres, celle-ci prend une forme plus simple ; en introduisant les différentielles, on peut récrire :

dx-{-pdz dy-{- qdz

après avoir remplacé dzy dp et dq par leurs valeurs, elle a la forme d'une relation entre x, t/ et leurs différentielles ; les procédés d'intégration des équations différentielles permettent d'en déduire des équations finies entre x et i/; ce sont les équations des projections des lignes de courbure sur le plan des xy .