INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES DE FONCTIONS D'UNE VARIABLE
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325. Limite d'une somme de quantités infiniment petites. — Le calcul intégral a pour objet: i° la détermination de la limite d'une somme de quantités infiniment petites dont le nombre croit indéfiniment ; 2® la détermination d'une fonction dont on donne la dérivée ou la différentielle.
Nous verrons que ces deux problèmes, en apparence distincts, se amènent Tun à l'autre ; nous allons d'abord considérer le premier.
Soit
S = ai H- as -h • • • -h On
la somme de n quantités dont la valeur dépend d'une manière connue du nombre n ; supposons que, dans un calcul, ce nombre puisse acquérir des valeurs de plus en plus grandes, et qu'en même temps les quantités a tendent vers zéro ; si la somme S a une limite quand n croit indéfiniment, cette limite est appelée la somme intégrale des quantités
a. Ces quantités sont infiniment petites avec -, et l'on dit que S est
une somme de quantités infiniment petites dont le nombre devient infiniment grand.
Cest en géométrie que Ton rencontre les premiers exemples d*une pareille somme ; on définit par exemple la longueur d'un arc de courbe •comme la limite du périmètre d'une ligne brisée inscrite dont le nombre des côtés augmente indéfiniment, chacun d'eux tendant vers zéro.
Le calcul de la limite d'une somme de quantités infiniment petites est facilité par le théorème fondamental suivant, qui permet de comparer Tune, à l'autre deux pareilles sommes :
Étant données deux sommes d'un même nombre de quantités infiniment petites de même signey si le rapport de deux termes correspondants a pour limite Vunité, et si l'une de ces sommes a une limite, l'autre a aussi une limite^ et les deux limites sont égales.
Soient les deux sommes
S =aj-i-aj-h • • • -f-a„,
d'un même nombre de quantités infiniment petites ; nous supposons <\ue la deuxième a une limite L et que les rapports
Os 6,'
On bn
ont tous pour limite l'unité; nous allons démontrer que S a une limite égale à L.
En effet, quel que soit le nombre /i, le rapport
est compris entre le plus grand et le plus petit des rapports des termes correspondants ; il a donc comme ceux-ci pour limite l'unité ; nous en concluons que le numérateur a une limite et que cette limite est égale à celle du dénominateur, c'est-à-dire égale à L.
Exemple. — Soit à trouver la limite de la somme
pour n croissant indéfiniment; considérons la somme
INTÉGRALES DE FONCTIONS d'cNE VARIABLE 497
le rapport de deux termes correspondants de S et de S' est de la
forme , p étant le rang de ces termes, et il a pour limite l'unité
lorsque n augmente indéQniment. Or il est facile d'évaluer la somme S\ qui a pour valeur ^^^— ^ — ' • -^ i et pour limite — lorsque n croît indé(i-
niment; la somme considérée S a donc aussi pour limite
Il arrive souvent que les quantités infiniment petites dont on cherche la somme intégrale sont comparables chacune à un inQniment petit principal, qui est par exemple Taccroissement infiniment petit d'une variable telle qu'une longueur ou un intervalle de temps ; si Ton détermine la partie principale de chacune des quantités infiniment petites données, et si la somme de ces parties principales a une limite, on est certain, d'après le théorème du n° 193 et le précédent, que la somme donnée a la même limite. Cette remarque permet de simplifier, dans bien des cas, la recherche des sommes intégrales.
326. Intégrale définie. — Le problème de la recherche de la limite d'une somme se pose ordinairement de la façon suivante :
Soit X une variable indépendante, qui est par exemple la mesure dune longueur ou d'un intervalle de temps, etc., et f(x) une fonction que nous supposons déterminée et continue dans un intervalle donné ; nous désignons par a et 6 les limites de cet intervalle, et nous supposons, pour fixer les idées, h>a.
Nous partageons l'intervalle (a, b) en n parties positives que nous appelons Axi, Ax2, . . . Aj;„, et nous désignons par
aro = a,
a?! = Xo -4- Aj?! , Xj = Xi -f- Ax2 , . . . Xn = b
les limites des intervalles partiels ainsi formés. D'autre part nous prenons une valeur particulière de la fonction f(x) dans chacun des intervalles partiels, nous multiplions ensuite cette valeur par la grandeur de l'intervalle correspondant, et nous formons la somme des résultats.
Pour écrire cette somme, nous désignons par \i une valeur particulière de x comprise dans l'intervalle (xo,x,), puis nous multiplions la valeur correspondante fQ^C) de la fonction par la grandeur jr,— a;o = Axi de cet intervalle; nous désignons de même par Ça une VoGT. — Math. sup. 32
yaleur particulière de x comprise dans Tintervalle (xi, z^ et nous multiplions fQ^i) par la grandeur \xt de cet intervalle ; nous opérons <ie même pour les intervalles suivants et nous formons la somme des produits ainsi obtenus
(i) 2 = /^(IOAx,^-/•(Ç,)Ax,^- ... H-/-(Ç,)Ax..
Nous allons démontrer que cette somme a une limite lorsque le nombre des intervalles augmente indéfiniment, chacun d*euj[ tendant vers zéro, et que cette limite est indépendante, d'une part du choix des valeurs \i^\%y " - j In comprises dans les intervalles, d'autre part de la façon dont ces intervalles tendent simultanément vers zéro. Nous représen-
tons la somme 2 par la notation Z/'(x)Aa;, et sa limite par la notation
fj(x)dx;
on énonce ce dernier symbole « somme de a à 6 de f(x)dx » et on rappelle « intégrale définie de la fonction f(x) entre les limites a et 6 » ; a est dit la limite inférieure, et b la limite supérieure de rintégrale.
La somme 2 est une somme de quantités infiniment petites en même temps que les intervalles Axt , ^Xt , . . . , Ax» ; pour démontrer qu'elle a une limite, nous ferons les raisonnements successifs suivants:
l"" Désignons par Yi et j/i la plus grande et la plus petite valeur de la fonction f(x) dans le premier intervalle, par Ys et yt sa plus grande et sa plus petite valeur dans le second, et ainsi de suite ; avec ces valeurs, formons les deux sommes suivantes analogues à 1 :
S = Yi Axi -h Yi Axa-f- . . . H- Y„ Aa?,, s =yi Ax,-f-yaAiC3-4-...-|-y„AXn;
nous allons démontrer que leur différence tend vers zéro.
En effet, d'après l'hypothèse faite que la fonction f(x) est continue, la différence Y — y entre la plus grande et la plus petite valeur de la fonction dans un intervalle tend vers zéro avec la grandeur de cet intervalle, et celle-ci peut être choisie assez petite pour que Y — y soit inférieur à un nombre donné s. Si tous les intervalles Axi, Axa, . . ., Aa;„ sont pris assez petits pour satisfaire à cette condition, la
liNTÉGRALES DE FONCTIONS d'uNE VARIABLE
différence S — s est inférieure à
«(Aa?t -h Axj -
+ Ixn) = e(6 — a)
et elle peut être rendue aussi petite qu'on le veut en même temps que s ; nous en concluons qu'elle tend bien vers zéro lorsque les intervalles Axi, AiCa, . . . tendent vers zéro.
2^ La somme 2 est toujours comprise entre S et « ; si nous parvenons à démontrer que Tune de ces dernières a une limite l, nous pouvons affirmer, d'après ce qui précède, que l'autre a la même limite, et que 2 a aussi une limite égale à L Nous sommes donc ramenés, pour démontrer l'existence d'une limite de 2, à démontrer que S ou s a une limite; nous ferons le raisonnement pour s,
3° Nous allons faire croître le nombre des intervalles en opérant d'abord d'une façon particulière ; nous divisons chacun des intervalles primitifs en d'autres partiels, ceux-ci de même en d'autres, et ainsi de suite.
Divisons par exemple le premier intervalle Ax, en ^i parties que nous désignons par A'xi, A'xj, ..., A'x^^; divisons de même le deuxième Ax2 en n^ parties A'x„,+i, A'x„,4-2, •••, et ainsi de suite; puis multiplions la plus petite valeur y de f{x) dans chaque intervalle ainsi formé par la grandeur de cet intervalle et faisons la somme des résultats ; nous obtenons ainsi une somme que nous appelons s' et que nous écrivons de la façon suivante :
s' = yl A'xt + yi A'X2 H h yi. A'x„.
-+-yi,H-iA'x„,^.i-hyi,4-2A'x„,H.2-+- •••
en mettant dans la première ligne les éléments qui proviennent de la décomposition de Axi, dans la deuxième ligne ceux qui proviennent de la décomposition de Ax^, et ainsi de suite.
Les termes yi.y'i, ... qui entrent dans la première ligne sont au moins égaux à yi, puisque cette dernière valeur est la plus petite de celles que possède f{x) dans Tintervalle Axi ; la somme qui constitue la première ligne de s' est donc égale ou supérieure à la quantité y ,[A'xi -H A'Xi -+-.•.-+- A'x„,] ou à yi Axj , c'est-à-dire au premier terme de s. De la même manière, les éléments de la deuxième ligne de a'
500 CALCUL LNTÉGRâL
ont une somme égale ou supérieure au deuxième terme de 5, et ainsi de suite ; nous en concluons que la somme s^ est égale ou supérieure à s.
Décomposons alors de nouveau les intervalles À'X| , ... en d'autres partiels, et formons la somme correspondante, que nous désignons par s\ puis répétons cette opération de façon à augmenter indéfiniment le nombre des intervalles, chacun d'eux tendant vers zéro; les sommes s, s'^s" y • • • forment une suite de nombres allant en croissant ; mais elles restent manifestement inférieures au produit du maximum de f(x) dans l'intervalle (a, 6) par la grandeur b — a de cet intervalle ; ces sommes ont donc une limite (n° 24) ; nous désignerons cette limite par /.
4° Nous allons enfin démontrer que si Ton effectue d'une manière quelconque des décompositions successives de l'intervalle (a, 6) en intervalles partiels, de façon que leur nombre augmente indéfiniment et que chacun d'eux tende vers zéro, les sommes correspondantes analogues à 5, sommes que nous désignerons par Si,Si,... ont encore une limite égale à la précédente, c'est-à-dire à /.
Soit en effet s^ une quelconque de ces sommes ; nous allons la comparer à Tune de celles que nous avons considérées précédemment et qui ont pour limite /, par exemple à la somme s<p^. Rangeons par ordre de grandeur les valeurs de x qui limitent les intervalles relatifs à 5<^> et à ja, prenons toutes ces valeurs comme limites d'inter\'alles successifs, et formons la somme correspondante analogue à s; appelons-la si^^.
Les nouveaux intervalles peuvent être considérés comme résultant d'une division en intervalles partiels de ceux qui sont relatifs à s^'^ ; s^^ est alors un terme d'une suite s, «', ... s^p^, s^^ ... analogue à celle que nous avons formée dans le paragraphe précédent; une pareille suite a, comme nous l'avons vu, une certaine limite ; il en résulte que la différence s i^^ — 5^> entre deux termes consécutifs est très petite si le nombre des intervalles est très grand, et qu'elle tend vers zéro.
Les nouveaux, intervalles résultent aussi d'une division des intervalles relatifs à s^ ; pour la même raison que précédemment, la différence 4^^ — Sic est aussi très petite; par conséquent, la différence (s^^ — s^p^) — {si^^ — ^/f)^ ** — *^^ 6st aussi très petite et tend vers zéro lorsque tous les intervalles relatifs à ^^^ et à 5^> tendent vers-
INTÉGRALES DE FONCTIONS d'uNE VARIABLE
zéro ; comme 5^> a pour limite /, il en est de même de «*, ce que nous voulions établir.
Nous avons ainsi démontré que la somme s, et par suite la somme primitive 2, ont une limite égale à l, quelle que soit la manière dont les intervalles partiels tendent vers zéro, et quelles que soient les valeurs choisies pour la fonction dans chaque intervalle ; Texistence de Tintégrale définie se trouve ainsi démontrée.
•^■,Tv?5?^n
327. Remarque I. — Si M et m sont le maximum et le minimum de f{x) dans Tintervalle (a, h), la somme 2 est comprise entre M(6 — a) et m[b — a)\ il en est de même de sa limite, c'est-à-dire
l'intégrale définie / f(x)dx.
Le quotient de cette intégrale par b — a est compris entre M et m; il est donc égal à la valeur de f{x) pour une valeur convenablement choisie de la variable entre a et 6 ; si c est cette valeur, nous pouvons écrire l'égalité
fj{x)dx^[b-a)f{c).
Remarque II. ^ Supposons que Ton choisisse entre a et 6 des nombres tels que c et d\ nous allons démontrer que l'intégrale définie de la fonction f{x) prise entre a et 6 est égale à la somme des intégrales de cette fonction prises entre a et c, entre c et rf et entre d et 6, c'est-à-dire que Ton a
c^) rf[x)dx= rf{x)dx-h rf[x)dx-\- f*f{x)dx.
En eiïet, d'après les raisonnements du numéro précédent, la valeur du premier membre de cette relation est indépendante de la manière dont on décompose l'intervalle (a, V) en intervalles partiels. Divisons d'abord l'intervalle (a, 6) en trois autres séparés par les nombres c et c/ , puis décomposons chacun de ces trois intervalles en d'autres partiels et faisons tendre ces derniers vers zéro ; nous aurons toujours
^f{x) Ax = Jif{x) Ax -+- 2/'(x) Ax -h 2/*(x) Ax ;
en passant à la limite, nous obtiendrons la formule (3) que nous voulions établir.
Nous pouvons par exemple décomposer Fintervalle total en d'autres à rintérieur desquels la fonction varie toujours dans le même sens, ou bien etacore garde un signe constant. Dans ce dernier cas, les considérations du n® 325 s'appliquent à chacun des intervalles partiels, et par suite aussi à TintervaUe total.
Remarque III. — Nous avons admis jusqu'à présent que la limite supérieure h d'une intégrale définie est plus grande que la limite inférieure a ; cette restriction n'est pas nécessaire, et les raisonnements que nous avons faits subsistent entièrement lorsque h est plus petit que a ; dans ce cas, les valeurs des intervalles successifs \x obtenus en décomposant l'intervalle total 6 — a en d'autres partiels sont des nombres négatifs, mais la démonstration que nous avons
faite dans le numéro précédent subsiste, et la somme ^f(x)lx a encore
une limite ; cette limite est représentée dans tous les cas par la notation jf(x)dx.
Considérons deux intégrales définies de la même fonction f{x) prises, l'une entre les limites a et 6, l'autre entre les limites b et a égales aux précédentes mais en ordre inverse ; nous allons voir que ces intégrales sont égales et de signes contraires.
Formons les deux sommes I^f(pc)Ax et ^f(x)lx analogues à(l);
comme les limites de ces sommes sont indépendantes du mode de décomposition des intervalles (a, 6) et (6, a) en d'autres partiels, nous pouvons, dans les deux cas, séparer ces intervalles partiels par les mêmes valeurs intermédiaires de x, et choisir dans chacun d'eux la même valeur de la fonction f(x) ; de cette façon, les termes correspondants dans les deux sommes ont des valeurs égales et de signes contraires, et il en est de même de ces sommes ; celles-ci ont dès lors des limites égales et de signes contraires, ce que nous voulions établir. On exprime ce fait en disant qu'une intégrale change de signe lorsqu'on renverse l'ordre des limites d'intégration ; cette propriété est traduite par la formule
ff(x)dx = — rf(x)dx .
INTÉGRALES DE FONCTIONS d'uNE VARIABLE
Il résulte de là que Ton peut ramener le calcul d'une intégrale dont les limites sont quelconques, à celui d'une intégrale dont la limite supérieure est plus grande que la limite inférieure. On voit facilement que la formule (3) est vraie dans tous les cas, quels que soient les nombres a et 6, et aussi quels que soient e et c/ , quand bien même ces deux nombres ne seraient pas compris entre a et b.
Et "^
Al
Pt "
Fig. 114.
328. Interprétation géométrique. — Supposons pour simplifier que Ton prenne rintégrale de /'(a?) entre des limites a et 6 dont la seconde est plus grande que la première ; le cas de 6 < a se ramène à celuilà, comme nous venons de le voir. Prenons deux axes rectangulaires 0^;, Oy (Jig, 114) et construisons la courbe représentative de la fonction y = f{x) ; supposons d'abord que cette fonction reste positive dans l'intervalle (a, 6).
Soient P et Q les points de l'axe Ox ayant pour abscisses a et 6, et soient A et B les points coiTespondants de la courbe ; pour représenter géométriquement la somme (1), nous décomposerons le segment PQ en segments partiels PPi, PiPj, ..• respectivement égaux à Ao;,, Aa:^, . « . ; nous choisirons ensuite dans chacun de ces segments les points Mi , M^, . . . , d'abscisses Çi , Sa^ • . . , et nous tracerons les ordonnées correspondantes Mid , MaCs , ... ; ces ordonnées
seront égales à /"(Si), /"(Ça),
Les éléments /*($i) Aa?!,* /*(Ça)Aa;i, • . . , dont se compose la somme (1), seront égaux aux aires des rectangles successifs ayant, le premier pour base PPi et pour hauteur MtCi , le deuxième pour base l^iPa et pour hauteur MaCa i et ainsi de suite ; la somme (1) sera donc égale à la somme des rectangles PDDiPi, PiEiEaPa, .... D'après ce que nous avons vu au n"" 326, nous savons que la somme (1) a une limite dont la valeur est représentée par l'intégrale définie jf(x)dx ;
nous en concluons que la somme des aires des rectangles précédents a une limite égale à cette intégrale ; comme les sommets D, Di , ... des rectangles se rapprochent indéfiniment de la courbe, nous dirons par définition que cette limite est la valeur de Taire curviligne comprise entre la courbe AB, Taxe des x et les ordonnées PA cl QB des points A et B. Il résulte de cette définition que l'intégrale définie j f[x)dx est représentée géométriquement par Taire comprise
entre la courbe y = fÇ^î), Taxe des x et les ordonnées d'abscisses a et b.
Le calcul d'une intégrale définie et la mesure d'une certaine aire sont, d'après ce qui précède, deux problèmes équivalents ; or, lorsqu'on sait évaluer une aire, on sait calculer le côté d'un carré équivalent, ou, comme on dit, faire la quadrature de cette aire ; par extension, on donne le nom de quadrature au calcul d'une intégrale définie.
Supposons maintenant que f(x) soit constamment négative entre a et b] la courbe représentative est située tout entière, par rapport
à Ox, du côté des y négatifs ; les éléments /"(EOi fili). . • . sont tous négatifs, et les parties dont se compose la somme (1), ainsi que la limite de cette somme, sont négatives ; Tintégrale représente alors la valeur, changée de signe, de Taire comprise enti*e la courbe y=zf(x), Taxe des x et les ordonnées extrêmes d'abscisses a et 6.
Supposons enfin que f(x) change de signe entre a et 6 pour des valeurs telles que c et <f , comme l'indique la figure 115 ; nous avons, d'après la formule (3),
fj{x)dx = fj[x)dx + £f{x)dx -h fj(x)dx ;
la valeur du second membre et par suite celle du premier est égale à la somme des aires situées, par rapport à Ox, du côté des y positifs,
Fig. il3.
1^TÉGRALES DE FONCTIONS d'uNE VARIABLE 505
diminuée de la somme des aires situées du côté des y négatifs, c'està-dire à la somme
aire PAMC — aire CND H- aire DBQ .
329. Dérivée d*une Intégrale. — La valeur d'une intégrale définie dépend non seulement de la fonction à intégrer, mais encore des limites d'intégration. Désignons par X la limite supérieure que nous avons appelée précédemment 6, et posons
FOi)^fy{x)dx.
La fonction F(X) varie avec la limite supérieure X ; nous allons montrer qu'elle est continue et qu'elle a pour dérivée /*(X).
Donnons à la limite X un accroissement AX, et considérons rintégrale
nous avons
F(X + AX) - F(X) = f" ^ ^''f{x)dx — rf[x)dx = f^^ ^''f{x)dx ,
comme l'indique la formule (3). D'autre part, Fintégrale du dernier membre est égale, d'après la première remarque du n* 327, au produit de l'intervalle d'intégration (X ~h AX) — X = AX par la valeur que prend la fonction pour une valeur de la variable intermédiaire entre X et X -h AX.; si nous désignons par X H- 6AX cette valeur, nous avons
