F(X -H AX) — F(X) = AX / (X -{- 6 AX

d'où nous tirons

Ces égalités nous montrent d'abord que l'accroissement de F(X) tend vers zéro avec AX, c'est-à-dire que cette fonction est continue, d'autre part qu'elle a une dérivée égale à la limite de /"(X-f-ôAX) lorsque AX tend vers zéro, et cette dérivée est bien égale à /"(X), ce que nous voulions démontrer.

Remarquons que la différentielle de F(X) est égale au produit de sa dérivée fÇi) par dX ; nous pouvons donc écrire

si nous remplaçons X par x, nous avons

dF(x) = f(x)dx:

nous en concluons que la différentielle d'une intégrale définie dont la limite supérieure est la variable x est égale à la quantité placée sous le signe d'intégration ; de là vient le nom d'élément différentiel donné à cette quantité. Il résulte de là que Ton peut considérer une différentielle non seulement comme la partie principale d'un accroissement infiniment petit d'une fonction (n^ 194), mais encore comme un élément d'une somme dont la limite est cette fonction elle-même ; les deux points de vue sont équivalents.

330. Intégrale indéfinie. — On appelle fonction primitive ou intégrale indéfinie d'une fonction f(x) une autre fonction dont la dérivée est f(x).

Toute fonction continue a au moins une fonction primitive, c'est l'intégrale définie

¥(x) = £f(x)dx,

dont la limite supérieure est la variable x et dont la limite inférieure estun nombre fixe a arbitrairement choisi. Il existe une infinité de fonctions primitives de f(x), car on peut donner à la quantité a une infinité de valeurs ; nous allons voir que ces fonctions ne diffèrent de l'une d'elles que par une constante- Si en effet F(x) et Fi(x) désignent deux fonctions ayant f(x) comme dérivée, la différence Fi(a;) — F(x) a une dérivée nulle et elle est une constante (n® iSi); nous avons donc, en désignant par C cette constante,

Ft(a:) = F(x)-+-C;

ceci nous montre bien qu'on obtient toutes les intégrales définies de f(x) en ajoutant à Tune d'elles une constante arbitraire.

On représente ordinairement par jf(x)dx^ sans indication de limites, une intégrale indéfinie quelconque de f^x)-