INTÉGRALES DE FONCTIONS D^UNE VARIABLE

331. Nous venons de voir que Ton obtient une fonction F(x) satisfaisant à la condition d'avoir pour dérivée f(x) en calculant une intégrale définie de f{x) entre des limites a et a; ; c'est ainsi que Ton opère lorsque f{x) est définie expérimentalement ou graphiquement ou bien n'est pas une fonction simple. Mais dans beaucoup de cas usuels, on suit une marche inverse ; on détermine d'abord, comme nous l'indiquerons plus loin, une intégrale indéfinie de f{pc) ; on en déduit ensuite les intégrales définies par le théorème suivant :

Si Von connaît une intégrale indéfinie ¥{x) d'une fonction f(x), C intégrale définie de celle fonction entre les limites a et \ est égale à la différence F(X) — F(a).

Nous voulons démontrer que l'on a

En effet, les deux membres ont même dérivée /*(X) ; ils ne peuvent donc différer que par une constante ; or, ils s'annulent tous deux lorsque la différence X — a des limites d'intégration devient nulle dans la relation précédente ; ils sont donc égaux, ce que nous voulions établir. Si nous faisons X = 6, nous obtenons la formule

fj{x)dx=¥(b)-¥{a).

que l'on emploie dans le calcul des intégrales définies ; il faut bien remarquer qu'elle n'est démontrée que dans le cas où f(x) est continue entre a et 6.

Remarquons encore que la formule (2) du n* 327 peut s'écrire

sous cette forme, elle n'est autre que la foimule des accroissements finis, démontrée au n° 150.