CHAPITRE V DES LIMITES
23. Liniite d*une suite déterminée. — On dit qu*une suite infinie de nombres
est déterminée lorsqu'on donne le moyen de calculer un terme de rang quelconque de cette suite dès qu'on connaît le rang de ce terme. Par exemple, la suite des nombres
rA 12 3
est déterminée ; le terme de rang n est égal à j ; on rappelle terme
général ; de même, la suite des nombres
qui sont les valeurs approchées par défaut de y^ avec 4, 2, 3, ... chiffres décimaux est déterminée, car on sait calculer le terme de rang n de cette suite ; il est la valeur approchée par défaut de y^ avec n chiffres décimaux.
On dit qu'une suite telle que (4) a une limite A si la différence entre A et chacun des termes successifs de cette suite devient et reste en valeur absolue plus petite qu'un nombre quelconque pris aussi petit qu'on le veut. Cela signifie que si l'on se donne un tel nombre e, on peut trouver un rang p assez élevé pour que tous les termes dont le rang n est égal ou supérieur à p soient compris entre A — e et A -h e.
LES LIMITES 4t
Par exemple, la limite de la suite (2) est égale à Tunité ; la différence entre 1 et le n* terme est en effet égale à
1 îî=!
n-hi n-hi
et elle devient et reste plus petite que n'importe quel nombre lorsquen croit indéfiniment.
Les nombres d'une suite peuvent être indifféremment supérieurs ou inférieurs à leur limite ; la suite
a pour limite zéro, et ses termes sont alternativement supérieurs et inférieurs à cette limite.
La suite (3) n'a pas de limite au sens défini précédemment, car il n'existe aucun nombre entier ou fractionnaire dont les termes de la suite s'approchent indéfiniment. Comme ces termes finissent par rester compris entre deux valeurs approchées quelconques de V^, l'une par excès et l'autre par défaut, on dit par extension que la suite a pour limite le nombre irrationnel qui est la valeur du symbole v/2.
Dans tous les cas, si une suite telle que (i) a pour limite un nombre rationnel ou irrationnel A, la valeur absolue de la différence A — a^ devient et reste plus petite que n'importe quel nombre aussi petit que Ton veut, lorsque n augmente indéfiniment ; on dit encore pour abréger que cette différence tend vers zéro.
24. Principe fondamental. — Nous admettrons comme un principe, sans entrer dans le détail d'une démonstration qui nous entraînerait trop loin, que si les termes d'une suite sont tels que chacun d'eux est égal ou supérieur à celui qui le précède ou, comme on dit, vont en croissant, et s'ils restent inférieurs à un nombre donné, cette suite a une limite au plus égale à ce nombre.
De même, si les termes d'une suite sont tels que chacun d'eux est égal ou inférieur à celui qui le précède ou, comme on dit, vont en décroissant, et s'ils restent supérieurs à un nombre donné, cette suite a une limite au moins égale à ce nombre.
Lemme I. — Si Ton multiplie les termes d'une suite, ayant pour
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limite zéro, respectivement par des facteurs restant inférieurs en valeur absolue à un nombre fixe M, on forme une suite de termes ayant également pour limite zéro.
Pour le démontrer, il suffit de faire voir que les valeurs absolues des termes de la seconde suite deviennent et restent inférieures à un nombre quelconque t pris aussi petit qu'on veut ; on pourra affirmer que cela a lieu si les valeurs absolues des termes de la première suite
deviennent et restent inférieures à j: ; mais cela résulte de Thypothèse
que les termes de cette suite ont pour limite zéro ; la proposition se trouve donc démontrée.
Lemme II. — Si l'on fait la somme des termes de même rang de deux suites ayant Vune et Vautre pour limite zéro, on forme une suite de termes ayant également pour limite zéro.
Pour le démontrer, il suffit comme précédemment de faire voir que les valeurs absolues des termes de cette dernière suite deviennent et restent inférieures à un nombre quelconque e pris aussi petit qu'on veut ; on pourra affirmer que cela a lieu si les valeurs absolues des
termes des deujc premières deviennent et restent inférieures à -^ ; mais
cela résulte de Thypothèse ; la proposition se trouve donc démontrée.
25. Théorèmes sur les limites. — Soient deux suites de nombres
ayant respectivement pour limites des nombres À et B ; nous allons montrer que les suites
fli -4- 61 ,
fls-l-ij.
ai — bu
.1 On — ftn,
afiu
aA,
Onbny
at 67'
On
dont les termes successifs sont obtenus en faisant la somme, la différence, le produit ou le quotient des termes de même rang dans les deux suites données, ont des limites respectivement égales à A + B, A — B,
LES UMITES 43
AB et -^ , en supposant toutefois pour la dernière que B ne soit pas
nul.
Pour démontrer la première partie, formons la différence entre A + B et le terme général a^ + &« ; nous pouvons récrire
A-+-B — (a„-+-60 = (A — a,)-4-(B — fc„).
Le second membre est la somme de deux termes ayant pour limite zéro ; d'après le second lemme, il a également pour limite zéro, par «conséquent la suite On-hK a pour limite A + B.
Le raisonnement est le même dans le cas de la différence.
Dans le cas du produit, nous écrirons la différence AB — a A sous la forme
AB — a,K = A(B — b,) 4- fc„(A — a„) ;
les deux termes B— -&„ et A — a» tendent vers zéro ; leurs produits l>ar A et &n , qui restent finis, tendent aussi vers zéro (lemme 1) et la somme de ces produits a pour limite zéro (lemme II) ; la proposition
•est ainsi démontrée.
A a Dans le cas du quotient, nous écrirons la différence -^ — -^^ sous
B Oa
la, forme
A a„ A6„ — Bfl, B(A--fl„)-^A(B-^fe,). B 6„"" B6„ "" B6,
dans le numérateur de la dernière fraction, les deux diftérences A — a^ , B ^ 6» ont pour limite zéro ; il en est de même de leurs produits par A et B, et de la différence de ces produits ; dans le dénominateur le nombre B&« a pour limite un nombre B* non nul, par conséquent sa valeur absolue devient et reste, à partir d'un certain rang, supérieure
à un nombre ûxe et son inverse ^r- est en valeur absolue inférieure à
Bo^
un certain nombre M ; on en conclut (lemme 1) que le second membre a pour limite zéro, ce qui démontre la proposition.
On énonce ordinairement ces résultats sous la forme suivante :
Théorème. — La limite d'une somme, d'une différence, d'un pro- <lmt ou d'un quotient est égale à la somme, à la différence, au produit ou aa quotient des limites*
Ce théorème s'étend à la somme d'un nombre quelconque de
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termes et au produit d'un nombre quelconque de facteurs égaux ou inégaux. On arrive ainsi de proche en proche à considérer un polynôme entier ou plus généralement une fraction rationnelle de plusieurs lettres Oy by c, ... auxquelles on donne des valeurs successives égales aux termes de même rang de suites données ayant pour limites des nombres A, B, C, ... En appliquant le théorème précédent aux opérations successives que Ton a à effectuer, on arrive à un théorème général que Ton énonce sous la forme suivante :
Théorème. — La limite d'un polynôme entier ou d'une fraction rationnelle d'un ou de plusieurs nombres dont les valeurs successives ont des limites données est égale à la valeur de ce polynôme ou de cette fraction rationnelle pour les limites de ces nombres; ceci suppose toutefois que le dénominateur n'est pas nul pour les limites,
26. Limite d'une fraction rationnelle. — Dans un grand nombre de recherches, une lettre x, appelée variable, est susceptible de prendre toutes les valeurs possibles comprises entre deux nombres a et b, ou bien des valeurs quelconques; ordinairement, on suppose que X acquiert successivement les valeurs qu'on veut lui attribuer, par ordre de grandeur croissante ; c'est ainsi qu'on dit que x varie en croissant de a à 6, ou de — oo à H- oo; quelquefois x varie en décroissant. Dans tous les cas, on dit que la variable x a pour limite un nombre X si la différence X — x devient et reste en valeur absolue aussi petite que l'on veut.
Si l'on représente par y le résultat d'un calcul indiqué sur la lettre variable x, on dit que y est une fonction de x; on peut se proposer de chercher, quand x a une limite X, si y a une limite^ et quelle est cette limite. Le théorème précédent permet de répondre à cette question lorsque X est fini, et de calculer la limite de y.
Dans le cas où x prend des valeurs augmentant indéfiniment, on cherche à mettre en évidence son inverse, qui a alors pour limite zéro» et l'on applique les théorèmes précédents.
Soit par exemple à trouver, pour x infini, la limite de la fraction
Sx* — 3a;* -+- x
