PROCÉDÉS D*INTÉG RATION. CAS DES FRACTIONS RATIONNELLES

aussi multipliée par ce facteur. Ces remarques permettent de trouver immédiatement l'intégrale d'un polynôme

eUe est

Ao T-f-A, — -h ... +A„^,-— -hA^-i-C.

333. L'intégrale F(x) d'une fonction f(x) a pour différentielle dF(x) = f(x)dx',

si Ton peut mettre le second membre sous la forme <^(u)du^ u étant une fonction de x, et si Ton sait trouver une fonction 0(u) ayant pour dérivée <p(a), cette fonction est égale à l'intégrale ¥{x) ou n'en diffère que par une constante ; en effet, sa différentielle

(/0(l/) = çp(u)rfu

est identique à celle de F(a;), les deux fonctions sont donc égales à une constante près.

Cette remarque est très utile dans le calcul des intégrales; on aperçoit souvent dans f(x) une quantité a renfermant la variable, et dont la fonction f dépend d'une manière simple ; on remplace alors f(x) et dx par leurs valeurs en fonction de u et de du , on intègre l'expression obtenue et l'on substitue enfin à o, dans le résultat, sa valeur en fonction de x .

Exemple. — Soit à déterminer l'intégrale

dx .

2x — 3' nous poserons 2x — 3 = u ; nous en tirerons 2dx = du , d'où

dx 1 du,

l'intégrale à évaluer sera ainsi égale à

iî|H = |iogB + c = |log(2x-3) + C.

On se dispense souvent d'écrire la lettre o, et l'on pose immédia-

SIO CALCUL INTÉGRAL

tement; dans Texemple précédent, la suite d'égalités

/3c dx --=== ; nous voyons

que le numérateur est, à un facteur près, la différentielle de 1— x'; nous poserons alors 1 — a?* = n , et nous aurons

o 1 j xdx du — 2xdx = an , ^ = - •

L'intégrale cherchée sera égale à i rdu i r -i , i Cl""'"' . r. .1

c'est-à-dire, en remplaçant n par sa valeur, à — v^l — x^^Z,

334. Intégration par substitution. — C'est sur des considérations analogues aux précédentes qu'est fondé le procédé d'intégration par substitution ; supposons que l'on remplace x par une fonction donnée <p(0 d'une nouvelle variable /; nous avons dx = ^'(i)dt, et par conséquent

Il arrive souvent, par un choix convenable de la fonction qQ), que l'expression ainsi obtenue est simple et que l'on sait trouver facilement la fonction (^Q dont elle est la différentielle ; cette fonction et l'intégrale F(x) de f(x), ayant même différentielle, ne diffèrent alors que par une constante ; c'est ce qu'on exprime par l'égalité

ff{x)dx = ff[^{t)]o\l)dt;

il suffit de remplacer dans ^ (t)( par sa valeur en fonction de x pour avoir l'intégrale de f(x).

Exemple, — Soit à déterminer l'intégrale Ty/l — x* dx ; posons

X = sin ^, nous en tirons ^i — x* = cos ( , et dx = cos / dt ; nous

PROCÉDÉS d'intégration. CAS DES FRACTIONS RATIONNELLES 5H

avons par suite

pour déterminer Fintégrale du second membre, nous remplacerons cos* l par "S- (* -^ cos 2(), ce qui nous donnera

Comme / est égal à arcsino; et que sin2^ est égal à 2 sin t cos ^ ou à 2a:v^l — a?* , nous aurons finalement

/l ; , arc sin x , x^i — a?*

\/i—x*dx = h-î^—

335. Intégration par parties. — Si l'élément diiîérentiel f(x)dx est mis sous la forme u dv^ o et v étant des fonctions de x , il y a quelquefois avantage à utiliser l'identité

d(nv) = udv-i-vdu^

qui fournit la différentielle d'un produit ; on en tire, en intégrant les deux membres,

vv= I udv-^ I vda^

d'où

I udv = uv — I vdu;

la recherche de l'intégrale donnée se ramène ainsi à celle de l'intégrale fv du qui peut être plus simple que la proposée ; on dit que l'on fait dans ce cas une intégration par parties.

Exemple. — Soit k déterminer l'intégrale jxsïnxdx] posons

a=x, dv=^sixïxdx; nous en déduisons v = — cosa? et da==idx; nous avons par suite, d'après la formule précédente,

fx sin xdx= — x cos x — | ( — cos x')dx = — x cos a; + sin x -f- C .

La formule d'intégration par parties permet de ramener Tune à l'autre l'intégration de deux fonctions inverses; si par exemple y est

512 CALCUL INTÉGBAL

une fonction de x, on a

Jy dx = xy—Jxdy ;

dans la dernière intégrale, x doit être remplacé par sa valeur qui est la fonction inverse de la première.

386. Intégration des fonctions rationnelles, — Soit à déterminer rintégrale

/ et cp étant deux polynômes en x à coefficients réels. Si le premier est de degré égal ou supérieur au second, nous commencerons par effectuer la division du numérateur par le dénominateur ; en appelant Q(x) et KÇx) le quotient et le reste de l'opération, nous avons

nous sommes alors ramenés à intégrer le polynôme Q(x), ce que nous savons faire (n° 332), et à intégrer une fraction rationnelle dont le numérateur R(ic) est de degré inférieur à celui du dénominateur.

Exemples, — Soit à déterminer l'intégrale

en effectuant la division du numérateur par le dénominateur, le quotient et le reste sont x -+- 1 et 5 ; nous avons alors

la première intégrale est celle d'un polynôme du premier degré et est égale à ~ -f- x ; la deuxième est analogue à celle que nous avons considérée au n» 333, et a pour valeur

|log(2a:-3)-<-C;

nous avons par suite

F(x) = y -t- X + 1 log (2a: - 3) + C.

PROCÉDÉS d'intégration. CAS DES FRACTIONS RATIONNELLES 513

C!oinine autre exemple, soit à détermÎQer Tintégrale

«n ordonnant le numérateur suivant les puissances de x — 2, nous pouvons le mettre sous la forme

de sorte que nous avons, en divisant par 3(a? — 2)',

cous sommes ramenés à la somme des intégrales simples suivantes :

''' ;=|log(a:-2) + C,

-et nous avons finalement

F(x) = llog(x-2)-A±__|L+C,

O désignant, comme toujours, une constante quelconque.

337. Cas Où le dénominateur n*a que des racines réelles. — Nous supposerons désormais que Ton a effectué, comme nous Tavons dit, la division de f(x) par <p(a;), ainsi que l'intégration du polynôme Q(x) ;

nous ne nous occuperons que de la fraction --7-— dont le numérateur

est de degré inférieur au dénominateur. Le procédé général d'intégration de cette fraction consiste à la décomposer en une somme de fractions simples correspondant aux différentes racines du dénominateur, et à intégrer séparément ces fractions ; nous supposerons d'abord que ff(x) n'a que des racines réelles.

Nous commencerons par déterminer les racines du dénominateur ff(x); soient a:,, X2, ... ces racines, /?, gr, ... kurs ordres de multi- VoGT. — Math. sup. 33

ii\i CALCUL LVrÉGRAL

pliciié respectifs, nous pourrons poser

Ao étant une constante.

Nous mettrons ensuite —7-^ sous la forme d'une somme de frac-

tions dont les numérateurs sont des constantes et dont les dénominateurs sont les facteurs linéaires de (f(x) affectés d'eicposants au plus égaux à ceux qu'ils possèdent dans Tégalité précédente ; nous écrirons de cette façon

^(x) X — Xi (X — X|)* (x — XiY

Nous déterminerons les numérateurs A, B, ... de ces fractions par la méthode des coefficients indéterminés ; le procédé ordinaire consiste à multiplier les deux membres de l'égalité précédente par (p(x) et à identifier les polynômes obtenus. Nous serons finalement ramenés à

intégrer des fractions de la forme ou-^ — ; les intégrales

X — — «Tf \X — Xij

sont respectivement A log (x — Xj) -f- C et --^^--- ^ h C.

Nous allons appliquer cette méthode à l'intégration de la fraction 4x« — 6x-hi .

2x» — x« * le dénominateur a une racine double égale à 0 et une racine simple

égale à -^ ; nous poserons alors

4x» — 6a:-hl A . B^ C

•2a:' — x« XX* l

A, B, C étant des coefficients indéterminés. En chassant les dénominateurs, nous aurons l'identité

4a;« — 6x -I- i = A(2x« — x) -h B(2x — 1) -h 2Cx« ; en égalant les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux