Cas où le dônomlnatear a des racines Imaginaires. — Les
calculs qui précèdent s'appliquent à tous les cas, mais si une ou plusieurs des racines Xi, ^2, . . . sont imaginaires, les intégrales correspondantes renferment des expressions imaginaires ; dans les appUcatÎMift usuelles, de telles expressions sont impropres au calcul numérique, et il est préférable de les remplacer par d'autres entièrement ffédks, comme nous allons l'expliquer.
Nous savons qu'à chaque racine imaginaire, telle que a +&t, «4'tta polynôme cp(ar) à coefficients réels, correspond la racine conjuguée a — bi avec le même ordre de multiplicité, et que le produit des îac^ teurs linéaires (x — a — b{)(x — a -h- bi) relatifs à ces deuxracines est un trinôme du second degré, de la forme x* -h />x + ç, à coefficienlis réels. Nous avons vu de plus (n<^ 222) que le polynôme est toujours décomposable en un produit de facteurs réels, sous la forme
^x) = kf(x — x^{x^x^ ;.. (x^-hptXH-yiXx^+paX-l-y»)» ...,
Ao étant une constante, les facteurs suivants correspondant aux racines réelles, et les derniers aux racines imaginaires conjuguées.
Le casi le plus simple est celui où l'on a cp(x) = x* h- i et R(x) = 1 ;
la fraction à intégrer est alors -^ ji et son intégrale est
dx
= arc tg X 4- C.
x^-hi
Considérons maintenant le cas général; nous décomposerons encore
la fraction •; / en une somme de fractions simples, celles qui cor-
respondent aux racines réelles du dénominateur, s'il en existe, ayant la même forme qu'au n® 337 ; celles qui correspondent aux trinômes de la forme x* +/>x + 7 ayant pour numérateurs des constantes ou des expressions du premier degré et pour dénominateurs des puissances de ces trinômes, avec des exposants égaux ou inférieurs à ceux qu ils ont dans <f(x) ; nous écrirons ainsi
RÇa?) A B^
<f(x) X — Xi (x — X,)* (X — X|)P
Hx-hK LxH-M Sx-hT
x*-+-/},x-hçi («*-4-piX-f-gri)* (x* -^fiX-^giY
Nous déterminerons comme précédemment les coefficients inconnus entrant dans les numérateurs, en multipliant les deux membres de l'égalité'précédente par (p(x) et identifiant les deux polynômes obtenus; nous aurons de cette façon des équations du premier degré en nombre égal à celui des inconnues, et ayant toujours une seule solution. Nous serons alors ramenés à intégrer les fractions simples ainsi formées.
Celles qui correspondent aux racines réelles donnent naissance, comme nous Tavons vu, à des logarithmes ou à des fractions rationnelles ; nous allons examiner celles qui correspondent aux racines imaginaires ; elles sont de la forme
Ux-hK Hx-t-K
x^-hpx-hq ' (x*-\-px-\-qy '
s n'étant supérieur à l'unité que si les racines du trinôme x^-}-px-hq sont des racines multiples de ?(x).
Pour intégrer ces fractions, nous commencerons par mettre en évidence dans le numérateur, s'il contient x, la dérivée du trinôme dénominateur, c'est-à-dire 2x -4-/) ; nous écrirons de cette façon
Hx+K = |^(2x-+-/>)4-K-^,
PROCÉDÉS d'intégration. CAS DES FRACTIONS RATIONNELLES Si7
puis nous décomposerons chaque fraction en deux autres : la première renfermant 2x +/> et la seconde, s'il y a lieu, une constante au numérateur.
La première partie donnera lieu, à un facteur constant près, à une intégrale logarithmique ou rationnelle, d'après les égalités
2x-hp
= log (x* -^-px + q) 4- C,
r 2x-hp ^(x^-^px-hq)-"^^ , p. J (x^-^px-hqy —54-1 "^ '
il ne nous restera plus que des intégrales de la forme
r dx ^ r dx
J x^-hpx-^-q J (x^-{-px-hqy
Pour Tune et Tautre, la méthode d'intégration consiste à mettre x^-\-px-\-q sous forme d'une somme de deux carrés, de la façon suivante
x^-hpx-^q^U-h-^J 4-^y — -|-j, puis à faire le changement de variable défini par Tégalité
les intégrales se ramënent alors, à des facteurs constants près, à
dt
La première est égale à arc tg ^ + C ; nous allons montrer qu'on peut évaluer la seconde au moyen de fractions rationnelles et d'autres intégrales analogues, pour lesquelles l'exposant du dénominateur est
inférieur à s . Nous partirons pour cela de la différentielle de 7^ — ^r »
(<*-f-l/ qui est
, , t ^ dt 2ni'^dt
' (/« -t- iy ~ ((« 4- 1)" (f» 4- 1)" + * "'
nous remplacerons au numérateur du dernier terme i^ par (<* 4- 1) — 1 ^ de façon à décomposer la dernière fraction en deux autres de dénomi*
Mft* CALCUL INTÉGRAL
natour» (<*-4- 1)" et (<*-|-l)" ■*■ * , et nous aurons, en intégrant
çp^iY = ^'^J (<2^i)»+i -(2n-l)J -^JT^Tiy'
Si nous prenons pour n la valeur « — 1 , nous ramenons l'intégrale de j-i rrj à celle de t^ ïnT^tt î ^^ opérant de même pour
n = s — 2, . . . , nous aboutirons de proche en proche à des fractions rationnelles, et à Tintégrale de —^ j- » qui est arc tg f -h C.
