Exemple, — Nous allons appliquer celte méthode à un
exemple, et intégrer la fraction j-^ j^ ; le dénominateur a trois
racines doubles, qui sont les trois racines cubiques de Tunité, lune d'elles est réelle et égale à 1 et les deux autres sont imaginaires et sont racines du trinôme x^-\-x-\-i\ nous décomposerons donc le dénominateur en un produit de facteurs réels, et nous écrirons
Nous chercherons alors à décomposer la fraction en une somme de termes de la forme
g^-hi — A B Çg+D Ear-i-F .
(x^ — iy x—i ~^ (x^iy x« + x-hl («« + X-+-1)» '
A, B, C, D, E, F étant des coefficients encore indéterminés; enchâssant les dénominateurs et identifiant les polynômes obtenus, nous obtiendrons, après un calcul élémentaire,
ef Ilntégrale sera ramenée à la somme des trois suivantes :
r2 dx ri dx r\ xdx
J 9{x—\y^J 9 x'-f-x + l "^J 3 (x^-f-x-hi)»"
2 i La première est égale à — -^ j- ; pour calculer la deuxième,
nous décomposerons le dénominateur en une somme de deux carrés
PROCÉDÉS d'intégration. CAS DES FRACTIONS RATIONNELLES 519
et nous ferons le changement de variable défini par Tégalité
nous aurons de cette façon pour la deuxième intégrale
Dans la dernière intégrale, le numérateur renferme x; nous le remplacerons par -^ (2x -h i) — g" ' ^* ^^^^ décomposerons l'intégrale en deux autres, d'abord
i (2x-hi)dx i
6(a;«-ha;+i)« 6
ensuite rintégrale de la fraction — g- 7^i~r r^' Nous appliquerons
à cette dernière le changement de variable déjà employé, et elle deviendra
ri dx r i\/3 dt
J 6(x«-ha;-hi)« J 27 (<»^-l)*'
pour la déterminer, nous formerons la différentielle de
dt 2t^dt dt 2dt
en intégrant, nous obtiendrons Tégalité
et nous en déduirons la valeur de la dernière intégrale ; elle s'exprime au moyen d'une fraction rationnelle et d'un arc tg.
En réunissant les résultats trouvés, et en remplaçant t par sa valeur, nous aurons finalement
^l±±.rf^-2^J i x-^2 , 4v/3 2a:+l
De tout ce qui précède, il résulte que l'intégrale d'une fraction rationnelle s'exprime au moyen de fractions rationnelles, de logarithmes et d'arc tg.
