INTÉGRATION DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES ET DES FONCTIONS TRANSCENDANTES
840. Cas d'un radical portant sur une fonction du premier degré. — Nous nous proposons d'intégrer une fonction contenant d'une part rationnellement la variable x et d'autre part un radical portant sur un polynôme ou une fraction rationnelle de cette variable ; une tcDe fonction rentre dans la catégorie des fonctions algébriques de x\ comme exemples, nous citerons
:-4-2xV^X— i,
Nous ne considérerons ici que les fonctions renfermant un radical carré portant sur un polynôme du premier degré, ou sur un polynôme du second degré, ou sur une fraction rationnelle du premier degré; le dernier cas se ramène du reste au deuxième, car on peut toujours remplacer
un radical de la forme l/— r — IT P*^ ^~i vr V^(«^ -+- *) ip'^ "^ ^) »
Y CL X —Y" O CL X —j~ 0
et le dernier radical porte sur un polynôme du second degré. Nous montrerons que par un changement convenable de variable on ramène l'intégration de ces fonctions à celle de polynômes ou de fractions rationnelles ; nous avons vu au chapitre précédent comment on intègre ces dernières fonctions ; nous saurons donc trouver dans tous les cas l'intégrale d'une fonction algébrique de la forme que nous venons d'indiquer.
Plaçons-nous d'abord dans le cas où la quantité sous le radical est du premier degré ; nous l'égalerons au carré d'une nouvelle variable et
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nous remplacerons x par sa valeur en fonction de cette variable. Considérons par exemple la première des deux fonctions citées précédemment; nous poserons x — ! = <•, t étant la nouvelle variable; nous en tirerons a? = 1 -f- /*, ^x — i = < et rfx = 2tdi ; nous aurons alors
fij^Ti ^ Wa^— iW = rr^^-^Y^ -+- 2(i + oH 21 dL
L'intégrale du second membre porte sur un polynôme entier ; en rintégrant, puis en remplaçant dans le résultat t par ^x — i, nous aurons l'intégrale cherchée, qui est
8« . 6,, ^ S-^àx-hiSx*
841. Cas d'un radical portant sur nue fonction du second degré.
— Supposons que la fonction sous le radical soit un trinôme du second degré ctx^ + 6x -f- c ; nous considérerons deux cas suivant que le coefficient de X* est positif ou négatif. En faisant sortir du radical la valeur absolue de ce coefficient, nous pouvons toujours admettre que le trinôme est ramené à Tune des deux formes x^-^px-^q ou — x^-hpx-hq.
l-'cas. — Supposons que la fonction à intégrer renferme la variable X et le radical ^x*-^px-^q\ nous introduirons une nouvelle variable / définie par la relation
t = x-\- ^x*-hpx-\-q ;
en rendant rationnelle cette relation, nous obtiendrons une équation du premier degré par rapport à x; nous pourrons exprimer rationnellement au moyen de /, d'une part la variable x, et d'autre part le radical, qui a pour valeur t — x; nous serons alors ramenés à intégrer une fonction rationnelle de t,
/dx —,^- - - ; posons
/ = a;-f-V^a?*-|-l; en rendant cette relation rationnelle, nous avons
/« — 2to -h X» = «*-+-!,
li '
o22 CALCLX IM-ÉGRAL
nous en déduisons
et rintégrale devient
dx
En remplaçant t par sa valeur, nous avons finalement dx
\/x*-hi
= log (x -+- V^x* H- 1) -4- C.
2' cas. — Supposons que le coefficient de x* sous le radical soit négatif; pour que le trinôme — x* -^px-hq soit positif, il est nécessaire qu'il ait ses racines réelles, et que x soit compris entre les racines ; si nous les désignons par a et 6 (6 > a), nous aurons
— X* H- px -h ç = (x — a)(b — x) .
Nous ferons alors le changement de variable défini par Fégalité X — a = (b — x)<* ;
X s'exprimera rationnellement au moyen de i, et il en sera (Je même du radical, car nous avons
nous serons donc ramenés à intégrer une fonction rationnelle de Exemple. — Soit à déterminer Fintégrale
■dx;
(t-xy
cette- intégrale rentre dans le cas que nous venons de considérer, car
le coefficient de dx peut s'écrire -/x(l — x) et le nouveau
radical porte sur un trinôme dont le coefficient de x^ est négatif; nous poserons x = (1 — x)^* ; nous en tirerons
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oous aurons alors, en remplaçant x et dx par leurs valeurs,
•comme t est égal à i/r , nous aurons pour valeur de Tintégrale
Remarque I. — Dans la catégorie précédente se trouve l'intégrale dx
dx
= arcsinx-|-C,
«dont la valeur est connue sans qu'il soit nécessaire d'employer un changement de variable. On détermine quelquefois les intégrales de la forme
dx
-^px-\-q
•en les ramenant à la précédente ; il suffit pour cela de mettre la quantité sous le radical sous la forme d'une différence de deux carrés,
— a;2-|-/}x-4-5r=yH-£- — ^a; — -^j ;
•donnée en la suivante
Je changement de variable x — 9=^v/V"^"4' transforme l'intégrale m la suivai
r di
Un changement de variable analogue permettrait de ramener Tin-
/dx r dt
, , == à la forme / / , . , que nous avons consi-
dérée précédemment, et qui a pour valeur log (t -H ^i^±i) + C .
Remarque IIJ^— Toute fonction algébrique de x peut se ramener •à une fonction contenant rationnellement x et une fonction auxiliaire y
liée à X par une -équation entière <^x,y) = 0. Si, en étudiant la courbe représentée par cette dernière équation, on constate que 2; et y peuvent s'exprimer rationnellement au moyen d'un paramètre /, (n® 266), on prendra / comme nouvelle variable ; Tintégrale proposée sera ramenée à celle d'une fonction rationnelle de t.
342. Intégrales de différentielles binômes. — En dehors des cas examinés dans les numéros précédents, il est rare qu'une intégrale de fonction algébrique s'exprime à l'aide de fonctions élémentaires; en général une telle intégrale constitue une nouvelle fonction transcendante. Beaucoup d'intégrales usuelles rentrent cependant dans le type
(1) r(ax^-hbx^ydx,
où m, n, p sont des nombres entiers ou fractionnaires, positifs ou négatifs, a et 6 des constantes quelconques ; on dit que c'est l'intégrale d'une différentielle binôme.
Si p est entier, positif ou négatif, elle se ramène à l'intégrale d'une fonction rationnelle ; en supposant que m et n soient des nombres
entiers ou fractionnaires de la forme — ^» — i, où nii, ni, m», ik
lits n^
sont entiers, il suffît d'efîectuer le changement de variable défini par X = <"• "• pour aboutir à l'intégrale d'une fonction rationnelle de t.
Si p n'est pas entier, essayons l'un des deux changements de variable définis par les équations
(2) ax^-''-hb = u, a-hbx^-^^v] le premier donne
et ramène l'intégrale (!) à
J a(m — n) \ a ) en faisant entrer u'* dans la parenthèse, nous voyons qu'elle a la mimt forme que (1), l'exposant p étant remplacé par p' = ^£ 'J
