IKTÉGBATION DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES ET TRANSCENDANTES

Imtégration sera possible si p' est entier, ou bien si ^^ est

m — n entier.

Le deuxième changement (2) est analogue au précédent, et conduit à

une intégration possible si p* = — ^ 1 ou bien "^^ sont

entiers.

Nous voyons donc que la diiïérentieile binôme est intégrable

lorsque l'un des nombres

est entier ; on démontre que ce sont les seuls cas possibles d'intégration. Exemple. — Soit à intégrer

nous avons m = 0, /i = 4, /> = r-, de sorte que /ip-j-i est nul,

et nous sommes dans un cas de possibilité ; nous utiliserons le premier des changements de variable (2) qui donne

a:-*-hi=o, a: = (a — 1)^"*^, dx = — ~{a — i)"^~' du .

L'intégrale est ramenée à celle de — r- n * (o — !)-* du ; pour

achever le calcul, nous poserons £i = /^, de façon à n'avoir plus que des exposants entiers, et nous aboutirons à une intégrale de fonction rationnelle, que nous décomposerons en éléments simples :

r—t^dt^ ri dt fi dt fi dl J t'-i J ii-hi J ^t-i J2i*-f-i'

en intégrant chaque partie et remplaçant t par « * ou (1 4-a;~*)* , nous aurons' comme valeur de l'intégrale cherchée, à une constante près,

r)26 CALCUL INTÉGRAL

343. Intégration des fonctions trigonométriques. — 1« Cas. — Considérons d'abord un polynôme entier par rapporta sînx et cosx, c*estnà-dire une somme de termes de la forme A sin'x cos"x, m et n étant des nombres entiers positifs et A un coefficient constant.

La méthode que Ton emploie pour intégrer une pareille fonction consiste à remplacer les puissances et les produits des sinus et des cosinus par une somme ou une différence de sinus ou de cosinus des multiples de x ; on se sert pour cela des identités

2 sin a cos a = sin 2a,

2 sin* a =i 1 — cos 2a, 2 cos* a = i -f- cos 2a,

2 sin a sin 6= cos(a — b) — cos(a + 6),

2cosacos6 = cos(a — 6)-l-cos(a + 6),

2 sin a cos 6 = sin (a — fr) + sin (a -h 6);

en les appliquant plusieurs fois successivemMil» s'il est nécessaire, on ramène la fonction à intégrer à une somme de sinus ou de cosinus dont on détermine immédiatement les intégrales.

Exemple. — * Soit à évaluer l'intégrale / sin* x cos*x </x ; on a

sin* a: cos* a; = — (i — cos2x)(l +cos2a:) = -r — cos* 2a:

1 i /j , « \ i cos 4a:

L'intégrale a pour valeur

'*cos ix dx X sin 4ar

On peut dans certains cas utiliser les formules que nous avons données au n® 217 pour remplacer cos'"a: et sin^x par une somme de sinus ou de cosinus.

2« Cas. — 11 arrive fréquemment qu'une fonction dépendant seulement de sin x et cos x peut se mettre sous la forme du produit d'une de ces deux quantités par une fonction de l'autre, c'est-à-dire sous la forme /"(sin x) cos x ou /"(cos x) sin x.

Dans le premier cas, pour évaluer l'intégrale / /"(sin x) cosx c/x on fera le changement de variable sinx=:a, d'où cos x(/x==(/o,et