INTÉGRATION DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES ET TRANSCENDANTES
l'on sera ramené à calculer Fintégrale / f(u)du ; on fera de même dans le second cas, en posant cette fois cos x = u.
Exemple. — Soit l'intégrale i igxdx; si nous y remplaçons tgx
par
smx cosx
, nous voyons qu'elle rentre dans le cas que nous venons
d'examiner ; en appliquant la méthode indiquée, nous poserons cos x = u, d'où sina: dx = — da; nous aurons alors
/^^^dx = — I — = — logii-f-C = — logcosx-hC. COSX J II ° ®
3* Cas. — Lorsque l'on a à intégrer une fonction rationnelle de sin x^ cos X et tg X, un procédé général consiste à prendre comme variable
auxiliaire tg — = r, les lignes trigonométriques précédentes s'expriment
rationnellement au moyen de /, comme l'indiquent les formules
sinx =
cos X =
tgX=;
c/x est aussi une fonction rationnelle de t et de di, car on a
2dl
X = 2 arc tg t,
d'où
dx =
On est alors ramené à intégrer une fonction rationnelle de t.
/dx - — -; en faisant la
transformation précédente, nous avons
344. Inlégration des séries. — Nous avons vu (n^ 178) que si les termes d'une série uniformément convergente dans un intervalle
y==Ui(x)-hu^x)-
Un(x)-
sont des fonctions continues, la série est elle-même une fonction continue dans cet intervalle ; nous allons montrer que la série des intégrales des termes successifs est convergente, et représente l'intégrale
de la roQction. Si a et X représentent deux valeurs de la variable telles que rintervalle (a, X) soit entièrement compris dans l'intervalle considéré, nous allons démontrer que Ton a
(4) / ydx^ I UiQcyx-h f u^x)dx-\ h / uJ^x)dxA
et, en même temps, que la série du second membre est convergente. Pour cela nous décomposerons la série (1) en deux parties
S„(x) désignant la somme des n premiers termes et Rn(a;) le reste correspondant, puis nous prendrons Tintégrale définie des deux membres de Tégalité précédente entre les limites a et X ; nous aurons
(5) rydx= rsn(x)dx-h r^^yx.
Ja Ja Ja
Comme y est une fonction continue, le premier membre a une valeur bien déterminée, d'après le théorème d'existence de Tintégrale définie; la première partie du second membre est l'intégrale d'une somme d'un nombre fini de fonctions continues, et elle est égale à la somme des intégrales de ses termes, c'est-à-dire à la somme des n premiers termes de la série qui forme le second membre de l'équation (4).
D'autre part, d'après la formule (2) du n* 327, nous avons
<: étant compris entre a et X; mais R„(c) peut être rendu aussi petit qu'on le veut et tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment; nous en concluons que le premier terme du second membre de (5) a une limite égale au premier membre, par suite, que la série des intégrales des termes de la série proposée est convergente et que sa somme est égale à l'intégrale de t/, ce que nous voulions établir.
Ces considérations s'appliquent à une intégrale indéfinie quelconque de y ; elle ne diffère de la série des intégrales de ses termes que par une constante arbitraire.
Les développements en série de log(l-f-a?) et de arctgx que nous avons obtenus au n^ 184 s'obtiennent immédiatement d'après ce •qui précède.
345. Cas où Ton connaît Fintégrale indéfinie. — Lorsque l'on sait liéterminer Fintégrale indéfinie F(x) d'une fonction f{x)^ Fintégrale définie de cette fonction entre deux limites a, b est égale, comme nous Tavons vu (n*» 33i), à la différence des valeurs de ¥(x) pour ces limites; c'est ce qu'exprime l'égalité
£ f(x)dx = ¥(b)-Y(a).
Cette formule n'est démontrée toutefois que dans le cas où f{x) reste continue dans l'intervalle (a, 6) ; de plus, si la fonction F(x) est susceptible de plusieurs déterminations, comme arc sin x ou arc tg x, il faut choisir la même détermination pour les deux limites.
J^ dx I -] l'inté- 0 i -\~x
grale indéfinie est la fonction arc tga; + G, et l'intégrale définie est égale à la différence des valeurs de cette fonction pour x = i et pour x=^0. Nous choisirons pour ces limites la même détermination de
arc tg X, celle qui reste comprise entre — — et -f- —
est égal à 7- > arc tg 0 à zéro, et nous avons par suite
; alors arc tg i
dx
346. C^as d*an changement de variable. — 11 arrive souvent, comme nous l'avons vu au n* 334, que l'on détermine l'intégrale indé- VoGT. — Math. sup. 34
o30 CALCUL INTÉGRAL
finie d'une fonction f(x) en changeant de variable ; si nous posons X = 9 (/), et si ^ (0 est une fonction continue, nous avons
fr(x)dx = ff[<fi()]Y(t)dl;
cette égalité, dont nous représenterons les deux membres respectivement par F(x) et ^(t) exprime, d'une part, que Ton obtient Tintégrale F(a;) de f(x) en remplaçant dans ^(/.) t par sa valeur en fonction de x et, d'autre part, que ^t) se déduit inversement de F(x) en y remplaçant x par (p(i).
Supposons que l'on veuille déterminer Tintégrale définie de f{x) entre les limites a et b, et que t varie d'une manière continue entre deux nombres ^o et tu lorsque x varie de a à 6, de façon que a = <p(/o), 6 = <p(^). L'intégrale cherchée est égale à la différence F(fe) — F(a) ; mais il n'est pas nécessaire pour la calculer de former effectivement la fonction F(x) ; nous avons en effet
il suffit donc de déterminer la valeur de l'intégrale définie ^(Q entre les limites ^o et U de la nouvelle variable correspondant aux valeurs a et b de x.
Exemple. — Soit à calculer / ^i — x^dx; nous avons vu (n* 334) qu'en posant x = sin ty nous avons
r»/r=r^dx= rcosUdt = ^ + ^^^-hC.
Nous pouvons supposer que t désigne le plus petit arc en valeur absolue dont le sinus est égal à x ; cet arc croît d'une manière continue de — ^ à + ^ lorsque x croît de — 1 à -h i ; il nous suffit alors de calculer la différence des valeurs du dernier membre pour < = -r et < t= — -^1 différence que l'on représente par la notation
