FI
Comme sîn 2t s'annule pour les deux limites^ cette difféeenoe est égale à t""*"^ — ( — ~l~^^i~^'' ^^ï^^^s avons
847. Sértat trigonométriques. — Parmi les séries dont les termes sont des fonctions trigonométriques de la variable x, les plus importantes, étudiées par Fourier, sont celles dont chaque terme est, à -un facteur constant près, égal au sinus ou au cosinus de la variable ou de Tun de ses multiples entiers ; on les écrit sous la forme :
(i) Ao + Al cos X + Aj cos 2x - -I- Bi sin a: + Bi sin 2x -
- A„ cos mx ■
- B« sin mx -
Une série trigonométrique de cette espèce, lorsqu'elle est convergente, représente une fonction périodique de x, la période étant égale à 2-k , car elle reprend la même valeur lorsqu'on augmente ou diminue la variable d'un multiple de 2ii.
Ëtant donnée une fonction quelconque /"(x), on peut se proposer de la représenter, pour les valeurs de x comprises soit entre 0 et 2?; , soit entre — iç et +7c, par une série trigonométrique de la forme précédente ; si le problème est possible, et si f(x) est une fonction périodique de période 27i, elle est égale à la série pour toute valeur de X, mais si f(x) n'a pas la période 2ir, elle ne peut coïncider avec la série que dans l'intervalle primitif d'étendue 2?: ; la série et la fonction ont des valeurs différentes pour les autres valeurs de x .
Plaçons-nous dans le cas où l'intervalle considéré s'étend de 0 à 2ir, et proposons-nous de calculer les coefficients d'une série (i) égale à une fonction donnée f(x) pour x compris dans cet intervalle ; pour cela, nous déterminerons les intégrales définies de la forme suivante
rf(x)dx , / f(x) cos mx dx , / /"(x) sin mx dx ,
m prenant toutes les valeurs entières successives. En admettant qu'on puisse les obtenir en intégrant terme à terme, elles sont respectrvemevit
532 CilLCUL INTÉGRAL
égales aux sommes suivantes :
(2) / Aorfx -f- / Al cos X dx -+-'-- -\- f Bi sin xdx-h • • • ;
-(3) / Ao cos ma; dx -h / AiCOSxcos/?u:(/x+ •••
-f- / Bi sin X cos mx dx+ • • • ; (4) / Ao sin nur f/x -f- / Ai cos a: sin ma: c/x -i- •• •
-f- / Bi sin x sin mx dx-h • • • ;
mais en utilisant les formules du 1*' cas du n"^ 343, nous avons les égalités suivantes :
sm mx dx = ( ) = 0 ,
J"**" . /sin mx\s« ^ cos mxcte = ( ) =0, 0 \ ni /o
J*^** . , j A'^ i — cos 2mx , fx sin 2mx\*«
r, f /*2^ i -h COS 2mx , fx . sin2mx\*«
X*« . , /•«« COS (m — p)x — cos(m-|-p\r , « sm mx sm /)x ax == 1 ^^^ ^^ ^^ -^^^--tfx = y,
r*' , /*»« cos (m — p)xH-cos(m-|-p)x , a I cosmxcos/)x</x= I ^^ ^^ ^^ ^^^^cfx = 0,
/*«« . , /•*'' sin(m — p)xH-sin(m-|-p)x . a 1 sm mx cos pxdx^ 1 ^^ ^^ ^^ ^-^-^ ax = U .
Dans la dernière, m et /> sont quelconques ; dans les deux précédentes, ils sont supposés différents.
D'après ces égalités, la somme (2) se réduit à son premier terme, et a pour valeur 2-^ Ao ; la somme (3) se réduit au terme en A« et a pour valeur îrA« ; enfin la somme (4) se réduit au terme en B« et a pour valeur irBm; nous en concluons que Ton a
Ao= 2^ / f(x)dx, A„=— / f(x)cosmxdx,
B« = — / f(x) sin mxdx\ If Jo
nous aurons ainsi, en donnant à m les valeurs entières successives, tous les coefficients de la série (i).
11 resterait à voir si la série ainsi formée est convergente, et si elle a la même valeur que f(x) pour toute valeur de x comprise entre 0 et 2ir ; cela a lieu pour les fonctions usuelles, mais non pour une fonction f(x) quelconque, et il est nécessaire que f(x) satisfasse à certaines conditions ; nous n'entrerons pas dans un examen plus approfondi de cette question.
Exemple. — La méthode précédente appliquée à la fonction -^ > entre 0 et 27C , conduit à la formule
sinx sin 2x
sin mx
le second membre est une fonction discontinue de x pour les valeurs 2A-T: de la variable, k étant entier positif, négatif ou nul.
La même méthode s'applique sans modification entre — ir et -f-ic; dans cet intervalle, elle conduit à Tégalité
a; sin a; sin 2x sin Sx
Lorsqu'on représente par la série (1), dans l'intervalle ( — w , -h tC), une fonction qui change de signe lorsqu'on change x en — x, il n'existe que des sinus dans le développement ; si la fonction ne change pas, dans les mêmes conditions, le développement en série ne contient que des cosinus. .
848. Valeur d'une intégrale définie lorsque rélément différentiel devient infini. — Nous n'avons défini l'intégrale / f(x)dx que dans
le cas où la fonction f{x) reste continue entre a et 6 ; si elle devient infinie dans Tintervalle ou pour les limites, ce que nous avons dit ne s'applique plus et le symbole / f(x)dx n'a plus un sens déterminé.
Supposons, pour fixer les idées, que f(x) soit codUduc entre a et 6, sauf pour a?= 6, où elle devient infinie; considérons l'intégrale définie de fÇx) entre les limites a et 6 — e, e étant une quantité quelconque aussi petite que Ton veut ; cette intégrale a une valeur déterminée ; si elle a une limite lorsque e tend vers zéro, on dit que le
symbole / f(x)dx a un sens, et sa valeur est par définition la limite
précédente ; si la limite n'existe pas, on dit que le dernier symbole n'a pas de sens ou que l'intégrale de f(x) entre a et 6 n'a pas de valeur déterminée.
Les mêmes définitions s'appliquent au cas où la fonction est infinie pour x = a; plus généralement, si Ton suppose par exemple que f(x) devient discontinue pour a et b et pour une valeur intermédiaire c, on considère la somme des intégrales
(5) r''*f(x)dx+ r~**f(x)dx;
si cette somme a une limite lorsque ej, £2, es, e^ tendent vers zéro d'une manière quelconque, cette limite est la valeur du symbole
/ f(x)dx; sinon, ce dernier symbole n'a pas de sens déterminé.
Lorsque l'on connaît l'intégrale indéfinie F(x) de f(x) et qu'elle reste continue pour toute valeur de x comprise entre a et 6 inclusivement, quand même f(x) serait discontinue, on est certain que la somme des intégrales (5), qui a pour valeur
F(c-eO-F(aH-eO+F(6-eO-F(c + E3),
a une limite lorsque les s tendent vers zéro, et cette limite est égale à F(6) — F(a); l'intégrale de f(x) entre a et 6 a donc un sens bien défini, et a pour valeur la différence précédente. *
X-^* dx ; rélémcnt 1 yi — X* différentiel devient infini pour les deux limites — 1 et + 1 , mais l'intégrale indéfinie F(a?) = arcsina; reste continue pour ces valeurs; l'intégrale définie a donc un sens et a pour valeur
arc sin (+ i) — arc sin ( — 0 ="| — ( ""i^ )^^'
De la même manière, les égalités dx
=:log[±:(a:-c)l+C,
dx (x — c)-""^'
(x — c)~ — m + 1 montrent que l'intégrale définie / z r- » dans laquelle c est
Ja (X — Cy
compris entre a et 6 ou égal à Tune de ces limites, a un sens si m < i et n'en a pas si m> i.
Si une fonction f(x) devient infinie d'ordre m pour une valeur c comprise entre a et 6 ou égale à Tune de ces valeurs, c'est-à-dire
si l'on peut poser f(x) = ^ ^ » (f(x) restant continue et non nulle
pour x=c^ nous allons démontrer que l'intégrale de f(x) entre a et 6 a un sens si m est inférieur à i , et n'en a pas si m est égal ou supérieur à i .
Supposons par exemple que c soit égal à a ; il nous suffit de faire le raisonnement entre des limites a et ai dont la deuxième est voisine de a. Supposons qu'entre ces limites ^(x) reste compris entre deux nombres A et B non nuls et de même signe ; l'intégrale / * f(x)dx reste comprise entre les produits par A et B de l'intégrale
lorsque e tendra vers zéro, elle aura une limite en
même temps que cette dernière, c'est-à-dire si m <; i , et elle n'en aura
pas si m ^ 1 .
Par exemple, si nous considérons la cissoîde représentée par la figure 74 (n* 253), l'aire comprise entre l'axe des x, la branche supérieure de la courbe à partir de l'origine, et une ordonnée d'abscisse a — e, est égale (n» 328) à l'intégrale
£-'yd.=£-'sJ^Jx;
l'élément différentiel étant infini d'ordre -^ * cette aire a une limite
lorsque t tend vers zéro, c'est-à-dire lorsque l'ordonnée finale se rapproche indéfiniment de l'asymptote de la courbe.
340. Cas où les limites dlntégralion deviennent infinies. — Nous
avons supposé jusqu'à présent que Tintervalle d'intégration (a, 6) reste fini; nous allons étendre la notion d'intégrale définie au cas où Tune des limites, ou les deux, deviennent infinies ; nous nous placerons d'abord, pour fixer les idées, dans le cas où la limite supérieure est infinie.
Considérons l'intégrale j f(xjdxy et supposons qu'elle soit déterminée pour toute valeur de b supérieure à a ; si elle a une limite lorsque b devient infini, on dit par définition que cette limite est la valeur de l'expression j f(x) dx ; si l'intégrale n'a pas de limite,
cette dernière expression n'a pas de sens.
Lorsque Ton connaît l'intégrale indéfinie ¥{x) de f(x) et qu elle a une limite déterminée pour x croissant indéfiniment, on est certain que F(6) — F(a) a une limite pour b infini; on en conclut que l'expression j f(x)dx a un sens et que sa valeur est égale à F (oo ) — F(fl)»
Les mêmes considérations s'appliquent au cas où a décroit indéfiniment. Par exemple, l'intégrale indéfinie
rrfe=("^*«^);
a une limite pour b croissant indéfiniment ; si nous prenons en effet, comme au n** 345, l'arc compris entre — "^ ®* + "^ ' arc tgoo a pour valeur — ; nous avons par suite
r dx 1,
pour une raison analogue, la même intégrale a une limite lorsque a décroit indéfiniment, et nous avons
Comme dans le numéro précédent, on peut souvent, sans calculer l'intégrale indéfinie, reconnaître si elle reste finie pour x infini, et si l'intégrale a un sens lorsque l'une ou l'autre des limites devient infinie ; on compare pour cela l'intégrale donnée à celle de la fonction
plus simple En particulier, si l'on peut écrire f(x)=z^^^ f(«)
restant fini pour x infini, on démontre que l'intégrale de ((pc) prise entre des limites infinies a un sens pour m supérieur à 1 et n'en a pas pour m égal ou inférieur à 1 .
850. Calcul approchô des intégrales définies. — Il n'est pas toujours possible d'exprimer l'intégrale indéfinie d'une fonction quelconque f(x) au moyen de fonctions connues en nombre limité; il existe aussi des fonctions, telles que celles qui sont définies graphiquement ou par des expériences physiques, dont on ne peut représenter l'intégrale par une formule analytique. Lorsque le calcul de l'intégrale indéfinie d*une fonction f(x) est impossible ou trop compliqué, on évalue l'intégrale définie de cette fonction entre des limites données par des méthodes différentes de celle que nous avons indiquée précédemment ; ces méthodes fournissent non une valeur exacte de l'intégrale cherchée, mais une valeur approchée suffisante dans la pratique ; on peut du reste faire en sorte que l'erreur commise soit aussi petite qu'on le veut.
Un premier procédé consiste à efiectuer le développement en série de /*(«), d après la formule de Taylor ou celle de Maclaurin (n® 181) ; si les limites d'intégration sont comprises parmi les valeurs de x pour lesquelles la série est convergente, il suffit, d'après ce que nous avons dit (n® 344), de prendre les intégrales définies des termes successifs et de calculer la somme de la série obtenue. En conservant seulement les premiers termes de cette série, on obtient une valeur suffisamment approchée de l'intégrale définie.
Exemple. — Soit à déterminer l'intégrale / sin — da:; d'après Ja formule donnant le développement en série de sinx, nous avons
irx'
7tx' 1/ j«5^y f /ica?M
la série est convergente quel que soit x\ en intégrant entre 0 et a;,, nous obtenons
o38 CALCUL INTÉGRAL
En faisant x={, nous avons pour valeur de Tintégrale cherchée
à un millième près.
351. Méthode des trapèzes. — Pour calculer Tintégrale définie de la fonction f(x) entre a et 6, 6 étant plus grand que a, il suffit, d'après ce que nous avons dit au b? 328, de déterminer Taire comprise entre la courbe représentative de cette fonction. Taxe des x et les ordonnées d'abscisses a et 6; chaque portion de cette aire est prise positivement ou négativement suivant qu'elle est située, par rapport à Oo;, du côté des y positifs ou du côté opposé.
Nous supposerons, pour fixer les idées, que f(x) garde un signe
constant, et est positif entre a et b. Soient AB (fig, 116) la courbe représentative de f(x) entre ces limites, PA et Q6 les ordonnées des points A et B dont les abscisses sont égales à a et b; nous obtiendrons une valeur approchée de Taire PABQ en inscrivant dans Tare AB un polygone AAïAs . . . , traçant les ordonnées PA, PiAj, PsAs , ... des sommets de ce polygone et évaluant la sonune des aires des trapèzes inscrits PAAiPi, PiAjAsPs, .... Ordinairement, on partage le segment PQ de Taxe des x en parties égales ; si n est le nombre de ces parties,
chacune d'elles a pour valeur -—^^ — ; en désignant par yo, J^i» - • • i
yn-i^ yn les valeurs des ordonnées des points A, Ai, . . . , B, calculées ou mesurées sur la figure, la somme des trapèzes a pour valeur
Fig. 116.
ou bien
(yo+yO-h
(!/i-+-yO-
(y^i-hyO»
■Vo-l-.V"
Une modification a été apportée à cette méthode par Tchebicheff ; on obtient une valeur très approchée de Taire en déterminant seulement six ordonnées de la courbe. A partir du milieu du segment PQ , -on porte sur Taxe des Xy et de part et d'autre de ce milieu, des longueurs égales à
-et Ton calcule les six ordonnées correspondantes ; la formule
donne une valeur approchée de Faire.
352. Méthode par interpolation. — Si Ton connaît seulement les valeurs de la fonction f(x) pour les valeurs Xo^Xi^ x^, . * - x^ de la variable comprises entre a et 6 ou égales à ces limites, on sait déterminer, par la formule de Lagrange (n"* 188), ou par d'autres analogues (n~ 191 et 192), un polynôme u de degré n, qui prend les mêmes valeurs que f(x) pour ces n-f-l valeurs de la variable.
En substituant à f(x) ce polynôme, et en en prenant Tintégrale définie entre a et 6, on obtient une valeur approchée de l'intégrale •de f(x) entre les mêmes limites.
Considérons une fonction f(x) à laquelle on substitue un polynôme du deuxième ou du troisième degré
u(x) = Oo -f- atX -\- a^^ -+- a^x^ ;
il est facile de vérifier que Tintégrale d'un tel polynôme entre deux limites «luelconques a , b s'exprime au moyen des valeurs extrêmes ii(a), u(b)
«t de la valeur moyenne n( — - — | par la formule
Cela posé, supposons que l'on veuille obtenir une valeur approchée de l'intégrale d'une fonction f(x) entre des limites a , 6 ; partageons
l'intervalle total d'intégration en 2n parties égales à A = 7"^ » design
gnons par aro = û i a?i = a -f- A, . . . , a?2A ■= 6, les limites de ces intervalles et par yo , y i , . • • , ys» les valeurs correspondantes de la fonction. Dans rintervalle (xo, x^) substituons à f(x) un polynôme do second degré u(x) qui acquiert les mêmes valeurs que la fonction pour les trois valeurs Xo, Xi, Xg de la variable, et prenons comme valeur approchée de l'intégrale de f(x) dans cet intervalle celle du polynôme uQc) ; d'après la formule précédente, cette dernière intégrale est égale à
^t JpQ
j ii(xo) -h w(xO + 4w(x,) 1= j\ yo -+- yt -h 4-y 1 1 •
De la même manière, substituons à f(x) dans Tintervalle (x^.x^ un polynôme du second degré qui prend les mêmes valeurs que la fonction pour Xi, Xz et x^, puis intégrons ce polynôme, et opérons de même jusqu'à rintervalle (Xin^t, x^^); la somme de toutes les intégrales partielles obtenues sera égale à
j yo-i-yî«-f-2(y2-»-y4H i-y2«-2)-H4(y,-+-ysH y-ytn^d h
cette somme représente une valeur approchée de l'intégrale de la fonction donnée ; elle constitue la formule dite de Simpson.
353. Dérivée d'une intégrale définie par rapport à un paramètre»
— Supposons que Ton intègre entre deux limites a et 6 une fonction f(x, a) dépendant de la variable x d'intégration et d'un paramètre a; l'intégrale sera une fonction de ce paramètre en même temps que des limites; nous la représenterons par F(a, 6, a), et nous écrirons
F(a,b,a) = £f(x,a)dx;
nous nous proposons de déterminer la dérivée de F par rapporta a. Plaçons-nous d'abord dans le cas où a et 6 sont indépendants du paramètre ; en donnant à a un accroissement Aa, nous aurons
F(o, 6, a + Aa)=: / /"(x, a-h Aa)rfx.
Supposons que f(x^ a) possède des dérivées du premier et du second ordre par rapport à a , et écrivons, en appliquant la formule de
Taylor,
/•(x, «-f-A«) = /-(a;, «)+A« '\^ -^-T ôa» ^'
supposons, de plus, que le dernier terme soit une fonction de x finie et continue dans Tintervalle d'intégration.
En intégrant terme à terme et remarquant que Ax est une constante quand X varie, nous avons pour F(a, 6, a-i- Aa) la valeur
nous en déduisons que
F(a, fc,g-|-Att) — F(a,ft,a) Aa est égal à
Ôa 2 /a <^a*
Lorsque Aa tend vers zéro, le dernier terme est le produit de — r-
par une intégrale qui reste finie d'après les hypothèses faites, et ce terme tend vers zéro ; nous en concluons que F(a , & i «) a une dérivée par rapport à a , et que cette dérivée est égale à
Nous pouvons donc, dans le cas où les limites a , b sont fixes et où la fonction f(x, a) remplit les conditions données, énoncer le résultat suivant :
Théorème. — La dérivée de V intégrale définie d'une fonction f(x, a) par rapport aa paramètre a est égale à l* intégrale définie de la dérivée de cette fonction par rapport à ce paramètre.
Supposons maintenant que a, A dépendent du paramètre a; choisissons un nombre fixe c, et écrivons
F(a, 6, a)= rf(x,a)dx= f fÇx,^)dx^ rf(x,a)dx;
Ja Je Je
la dérivée de F par rapport au paramètre a a pour valeur
dFÇa, 6, g) ^ 5F rfg ^ 5F c/6 ^ 5F doL 5a da 56 da dx
D'après le n« 329, la dérivée d'une intégrale par rapport à sa limite supérieure est égale à la valeur que prend, pour cette limite, la fonctioii sous le signe d'intégration ; par conséquent, nous avons
d'autre part -- est donné par la formule que nous avons établie dans
doc
le cas précédent ; nous avons donc finalement
doL ' doL ' ^ ^ d% Ja 5a
354. Aire des surfaces planes. — Nous avons vu au n^ 328 que rintégrale définie
représente, en coordonnées rectangulaires. Taire comprise entre la courbe d'ordonnée y = f(x)^ Taxe des x, et les ordonnées d'abscisses a et b. En supposant 6 > a, les parties de cette aire pour lesquelles y est positif sont comptées positivement, et celles pour lesquelles y est négatif sont comptées négativement. Nous allons considérer quelques exemples.
Parabole. — Soit la parabole représentée par Téquation y* = 2px (fig, 117); soit OM un arc de cette courbe situé dans Tangle positif des axes de coordonnées entre Torigine et un point M d'abscisse donnée 6 ; Taire comprise entre cet arc, Taxe des x et Tordonnée PM du point M est égale à
rydx= r(2pyx^dx.
Jo Jo
Fig. 117.
L'intégrale indéfinie est égale à -«- (2p) * x * ;
en la prenant entre les limites 0 et 6, nous avons
2 ,„ sT,
aireOMP = |(2/>)*6' = y6v^;
CALCLX INTÉGRAL
-comme le produit b^2pb est égal à OPxPM et représente Taire du
rectangle OQMP, noas voyons que Taire OMP est égale aux deux tiers de celle de ce rectangle.
Hyperbole. — Soit Thyperbole équilatère rapportée à ses asymptotes et représentée parTéquation xy:=k, /r étant un nombre positif (/î^. 118); soient A et B deux points de la courbe d'abscisses positives a et b ; Taire PABQ, comprise entre Tare AB, Taxe des x et les ordonnées PA et QB de A et 6, est égale à
£ydx = £'^ = k(logb-\oga) = klog^-
Si a et /r sont égaux à Tunité, Taire est égale à log b.
Aire intérieure à l'ellipse. ^-^ Soit Teliipse représentée par Téqua-
Fig. 118.
tion
Taire du quadrant compris dans Tangle positif des axes de coordonnées, entre la courbe et ces axes, est égale à Tintégrale de y entre 0 et a. Pour Tévaluer, il est plus simple de changer de variable et d'exprimer X et y au moyen du paramètre angulaire 9 (n^ 91); nous avons
X = a cos o, y=zb sin 9,
d'où
dx=z — asincpd^;
aux limites 0 et a pour x correspondent les limites ^ et 0 pour 9; d'après ce que nous avons dit au n^ 346, nous avons,
I y dx= I ( — ab sin* <p) rf(p = / ab sin- o rfç.
En remplaçant sin*^ par g £, nous obtenons comme
valeur de cette intégrale définie
r^ j\ — cos2(pj /afto a&sin2(p\T ahi:
Ce résultat représente Taire d'un quadrant ; nous en concluons que Paire intérieure à P ellipse est égale àizab,
355. Cas d'une courbe fermée. — Considérons (/î^r- il 9) une courbe
fermée C ; supposons, pour simplifier, qu'elle ne se coupe pas, et qu'elle n'est rencontrée par une parallèle à Oy qu'en deux points tels que Mo et Mf Pour évaluer l'aire intérieure à cette courbe, nous tracerons d'abord les tangentes parallèles à ï" Oy ; soient A et B leurs points de contact, PA et QB les ordonnées de ces points ; l'aire comprise à l'intérieur de C est égale à la différence
entre les aires PAMiBQ, PAMqBQ, limitées par Taxe des x, par les
ordonnées extrêmes et par les arcs AMiB et AMqB.
Si a et A sont les abscisses des points A et B, si yo et y^
désignent les ordonnées NMo, NMi des points de C correspondant
à one même abscisse x, yi étant plus grand que j/o* nous aurons
pour valeur de l'aire cherchée
Ml
Fig. 119.
/V> pb /•b
I ytdx— I y^x= 1 (yi — yo)da
Jm Ja Ja
On vérifie sans peine que cette formule, démontrée dans le cas où I/o et yi sont positifs, s'applique encore au cas où la courbe C est coupée par l'axe Ox ou lorsqu'elle est placée par rapport à cet axe du cdté des y négatifs.
VoGT. — Math. sup. 35
Lorsque la différence j/i — j/o est une fonction de x dont Tintégrale est inconnue ou difficile à calculer, ou bien encore lorsque le contour de Taire n'est déterminé que par une construction graphique, on détermine une valeur approchée de Taire en utilisant les procédés des a°' 350, 351, 352. En particulier, on peut appliquer la formule des trapèzes ou celle de Simpson ; on remplace dans ces dernières yo, yi, ys, . . . par les segments mesurés à Tintérieur de Taire sur les ordonnées relatives aux points de division de Tintervalle total (a, b).
On appelle planimètre un instrument donnant, par de simples lectures sur une échelle graduée. Taire intérieure à un contour fermé quelconque dessiné sur une feuille de papier. Le plus simple des pla-
nimètres, celui d'Âms- 1er, se compose en principe (fig. 120) de deux tiges AB, OG mobiles parallèlement au plan du dessin, et articulées au point 0 ; la première porte en  une pointe mousse à laquelle on fait décrire le contour, et à Textrémité opposée B une roulette mobile autour d'un axe ayant la direction de OB ; cette roulette reste donc normale au plan du papier. Quant à Tautre tige OC, elle porte une pointe fine que Ton fixe en un point quelconque, afin de guider le mouvement de AB.
Lorsque la pointe placée en A décrit le contour, la roulette, qui roule et glisse à la fois, tourne d'un certain angle que Ton évalue à Taide d'une graduation placée sur la circonférence ; de cet angle on déduit par une simple règle de proportion Taire intérieure au contour. Nous nous contentons d'énoncer cette propriété sans la démontrer.
Fig. 120.
356. Cas des coordoimées polaires. -— On se propose ordinairement, en coordonnées polaires, d'évaluer Taire d'un secteur compris entre
un arc A6 de courbe, et les rayons vecteurs OA et OB aboutissant aux extrémités de cet arc {fig. 121).
Soit p = /'(ô) Téquation de la courbe donnée, 60 et Ôi >^ ôo les angles polaires des points A et B; partageons Tangle Oi — Ôo en un certain nombre de parties telles que MON dont nous ferons croître le nombre indéfiniment, tandis que chacune d'elles tendra vers zéro; soient p et 6 les coordonnées du point M, p + Ap et 6 + A6 fig. i2l. celles du point N.
L'aire MON est comprise entre les aires des secteurs de cercle MON' et M'ON d'angle A6 et de rayons p et
p-hAp; les mesures de ces secteurs sont respectivement ^-^— et
fp-^-ApVAO . "" .
~-^ — > et ces quantités infiniment petites ont même partie prm-
cip.,e M. » '^■. U P"«. pHnCp.,. d, r.i« du s»..«r l.r.„i-
ment petit MON est donc aussi égale à la valeur précédente.
La limite de la somme des secteurs MON est égale, d'après les principes fondamentaux des n°* 325 et 326, à la limite de la somme de
leurs parties principales, c'est-à-dire de la somme 2 ^-s— ; si p est
une fonction continue de 6, on sait que cette somme a une limite, et cette limite est égale à l'intégrale définie
cette intégrale est la valeur de l'aire du secteur AOB.
Exemple, — La lemniscate (n° 253) a pour équation p^ = 2a* cos 2ô ; l'aire située entre la courbe et les directions positives des axes de coordonnées, c'est-à-dire la moitié de la boucle, est comprise entre les
rayons dont les angles polaires sont 0 et -r- ; elle a pour valeur
l'aire de la boucle entière, qui est le double, est égale à a* .
357. Rectification des courbes. — La longueur d'un arc de couii)e est la limite du périmètre d'une ligne polygonale inscrite dans cet arc, lorsque le nombre des côtés augmente indéfiniment, chacun d*eux tendant vers zéro. Nous supposerons, pour nous placer dans le cas général, que la courbe est plane ou gauche, et que les coordonnées x, j^, s d'un quelconque de ses points sont des fonctions d un même paramètre /; nous n'examinerons que le cas où ces fonctions sont continues, ainsi que leurs dérivées premières.
Un côté infiniment petit de la ligne polygonale a pour valeur ^ùkx^ -4- Ay' + As' , et sa partie principale est la quantité que Ton obtient en remplaçant Ax, Ay et Ajs parleurs parties principales, c'est-à-dire par les différentielles dx , dy et dz . La limite de la somme des côtés de la ligne polygonale est égale (n"*' 325 et 326) à la limite de la somme des parties principales, c'est-à-dire à
2 >/dx' -hdy^-{-dz^ = I, \^(x'tMy -f- (y'Aiy -^ (zi AQ*
D'après les hypothèses faites sur la continuité de x^y^z et de leurs dérivées, cette somme a une limite égale à l'intégrale définie de la fonction ^x'^-^y'--hz'' prise entre les limites attribuées à i; nous en concluons que l'arc de la courbe a une longueur bien définie, égale à l'intégrale
s = J\/x'^-\-y'^-^'^ dt = JyJdx^^dy^^dzK Nous déduisons de là que la différentielle ds de l'arc a pour valeur
ds = \Jdx^ -h dy^ -f- c/z*,
comme nous l'avons déjà dit au n^ 198.
Dans le cas où la courbe est plane et située dans le plan oOy , et dans le cas où x est la variable indépendante, y étant une fonction donnée de x, on a dy =y'dx, de sorte que l'arc est donné parla formule
Exemple. — Considérons une ellipse rapportée à ses axes, et de demi-axes a et 6 ; en considérant x comme variable indépendante.
APPLICATIONS DES INTÉGRALES DÉFINIES 5i9
nous avons
la longueur de l'arc d'ellipse compris entre les points d'abscisse Xo et Xi est, en appliquant la formule précédente, égale à
A. V aXa'-x^)
Pour simplifier cette intégrale, posons x^=al; en introduisant
l'excentricité e définie par e = ~- = ^ 1 et en désignant par
la et ti les valeurs de t correspondant à Xq et Xi , nous obtenons
Nous sommes ramenés à évaluer l'intégrale d'une fonction algébrique ; elle renferme un radical portant sur un polynôme du quatrième degré. On ne peut évaluer cette intégrale au moyen des fonctions élémentaires, et elle constitue une fonction transcendante nouvelle que l'on appelle intégrale elliptique parce qu'elle se présente, comme on le voit, dans le calcul des arcs d'ellipse.
En utilisant le paramètre angulaire cp , comme dans l'évaluation de Taire de Tellipse (n"* 35*4), l'arc de cette courbe est exprimé par Tintégrale
8=1 ^/o' sin^çp -h 6'^ cos*(p d(f = a f v/i — e* cos'cp rf<p ;
lorsque e est petit, on développe l'élément différentiel ei\ série ordonnée suivant les puissances de e^ et l'on calcule les intégrales des termes de la série ainsi formée.
Pour déterminer la longueur d'un arc de courbe en coordonnées polaires, on remplace comme nous l'avons vu (p9 200), dx* + dy^ par rfp*-hp*rfO*; on a alors à évaluer une intégrale dont l'élément différentiel est
rf5 = v/dp*-+-p*c/e«.
