Évaluation des volumes. — Pour déterminer le volume
compris à rintéricur d'une surface donnée et limité par deux plans
parallèles (fig. 122), on le décompose en tranches infiniment petites par des plans parallèles à ces deux-là, et Ton détermine la limite de la somme de ces tranches. Supposons que Ton prenne des axes
de coordonnées tels que
^ les plans sécants successifs soient parallèles au plan des scy\ soient K y et Al les cotes des plans
^'6- *^2- extrêmes limitant le vo-
lume, z celle d'un plan intermédiaire quelconque P, et 2 + As celle du plan voisin P' . L'aire d'une section quelconque varie en général avec z ; désignons par A(2) sa valeur; le volume infiniment petit compris entre les plans P et F' diiTère d'une quantité infiniment petite par rapport à lui du volume d'un cylindre dont la hauteur est ^z et dont la base est la section par le pian P ; ce dernier volume a pour valeur A(z)Az et constitue la partie principale de la tranche comprise entre les plans P et P' à l'intérieur de la surface donnée.
Le volume total compris entre les plans extrêmes est égal à la limite de la somme de ces parties principales, c'est-à-dire la limite de 2IÂ(z)As, étendue de Ao à Ar, si A(z) est une fonction continue de s, cette limite existe et est égale à l'intégrale
(0 \ = J^'Kz)dz.
Considérons par exemple l'ellipsoïde représenté par l'équation
et cherchons le volume intérieur à cet ellipsoïde. Si nous le coupons
APPLICATIONS DES IK11ÉGRALES DÉFIiNIES 551
par an plan de cote z, la section est une ellipse dont Téquation est les demi-axes de cette ellipse ont pour valeurs
la surface de la section est égale à iza'b' (n° 354) ; nous aurons donc A(.) = .a6(l~^).
Le volume s'étend entre les plans extrêmes de cotes — c et +c; il a pour valeur l'intégrale
Lorsque a = b = c, on retrouve le volume de la sphère -r- wa* .
Comme au n^ 352, on démontre que si Taire A(z) est une fonction rationnelle entière de z de degré égal ou inférieur à 3 , le volume compris entre deux sections de cotes Ao et Ai est donné par la formule
359. Volumes de révolution. — La méthode précédente s'applique en particulier à la recherche d'un volume de révolution, ou d'une portion d'un tel volume comprise entre deux plans perpendiculaires à l'axe. Prenons l'axe de révolution comme axe des z , et désignons par r le rayon d'un parallèle de cote z ; l'aire de ce parallèle a pour valeur wr* ; nous avons donc, en appliquant la formule (I),
(2) V= r^irrVz.
Gomme exemple, considérons le volume du segment sphérique compris entre la surface d*une sphère de rayon R et deux plans parallèles dont les distances au centre sont Ao et Ai. En prenant Torigine au centre de la sphère, et l'axe des z perpendiculaire aux bases du seg-
ment, nous avons r^ :
cédente,
: R* — z^j d'où, en appliquant la fonnule pré-
on peut vérifier que cette formule est identique à celle que Ton donne
en géométrie élémentaire :
où h est la hauteur du segment, r et r' les rayons de ses deux bases.
Comme autre exemple, considérons le paraboloîde de révolution engendré par la rotation de la parabole x^ = 2pz autour de Oz {fig, 123); le rayon du parallèle de cote z est égal à la valeur de x fournie par Fig. 123. Téquation de la méridienne, de sorte
que Ton a Trr* = 27:pz . Le volume «ompris entre le sommet et un parallèle de cote Ai a pour valeur
V =^ r* 2t^Pz dz = (^/)s* y* = 'Kphl ;
«'est la moitié du volume du cylindre dont la base serait le parallèle limitant le segment de paraboloîde considéré et dont la hauteur serait celle de ce segment.
860. Aire d'une surface de révolution. — L'aire d'une surface de révolution comprise entre les plans de deux parallèles est la limite de la somme des aires latérales des troncs de cdne engendrés par les côtés d'une ligne polygonale inscrite dans la méridienne de cette surface, lorsque les côtés de cette ligne tendent vers zéro, leur nombre augmentant indéfiniment.
Soit (Jig. 123) AB un côté delà ligne polygonale, r et r + Ar les rayons Ka et B6 des parallèles des points A et B ; Taire laté-
raie du tronc de cdne engendré par AB est
<Aa -f- B6)AB = ir(2r -^ Ar) x AB .
La partie principale de la parenthèse est 2r ; celle de AB est la oiéme que la différentielle ds de Tare AB de la méridienne ; la partie principale de Taire infiniment petite est par suite égale à 2'Krds^ et Taire elle-même est égale à la limite de la somme de ces parties principales, c'est-à-dire à Tintégrale
k=r2itrds
étendue à Tare de méridienne engendrant Taire considérée.
Exemple. — Considérons le segment de paraboloîde de révolution dont nous avons évalué le volume au numéro précédent ; la différentielle de Tare de la méridienne est ds = ^dx^-^dz^, et nous avons
Comme r est égal à x ou à ^2pz , nous obtenons pour Taire la valeur
A= f2'K^p{p-^2z)dz.
L'intégrale indéfinie est — ir(p -f- 2z)^ p{p -h 2z) ; en prenant
cette intégrale entre les limites 0 et Ai , nous trouvons A = f ir[(/> + 2A0v//>* -4- 2/)Ai -/>«].
361. Moment d'inertie d'un volume de révolution. — Étant donné un solide homogène, dont la masse de Tunité de volume est représentée par [i., et dansée solide un élément de volume infiniment petit At; entourant un point M , on appelle moment d'inertie de cet élément par rapport à une droite, le produit de sa masse par le carré de la distance du point M à la droite ; il est égal à [l r^ Av , si r est la distance précédente. Le moment d'inertie du corps est la limite de la somme de ceux des éléments infiniment petits de volume dans lesquels on peut le décomposer, lorsque ces éléments tendent vers zéro, leur nombre croissant indéfiniment.
Considérons un corps de révolution homogène ; nous allons déter-
miner son moment d'inertie par rapport à son axe ; pour cela, noas décomposerons le volume en couronnes par des cylindres ayant pour axe Taxe de révolution, et dont les rayons croissent de quantités infiniment petites. Soient r et r -h Ar les rayons de deux cylindres consécutifs, h et A + AA les hauteurs de ces deux cylindres dans le corps de révolution. La surface comprise entre les cercles de base de ces deax cylindres est égale à 7çr(-hAr)* — irr* = iç Ar (2r -+- Ar) et a pour partie principale 2icr Ar ; le volume annulaire compris entre les deux cylindres est égal au produit de Taire précédente par une hauteur intermédiaire entre A et A + AA, et la partie principale de ce volume infiniment petit est égale à 2:irA Ar ; sa masse est \t2'Krh Ar.
La distance des différents points de ce volume à Taxe est comprise entre r et r -^- Ar, et a r comme partie principale ; nous en concluons que le moment d*inertie du volume annulaire a pour partie principale (A2i7r'A Ar. Celui du volume total sera la limite de la somme de ces parties principales et sera égal à l'intégrale
C fi2itr«A dr
étendue aux valeurs extrêmes entre lesquelles est compris r.
Comme exemple, considérons le volume compris entre deux cylindres de rayons ro et ri, et deux plans perpendiculaires à Taxe, dont la distance est A. Dans le cas qui nous occupe, A est constant lorsque r varie, et le moment d'inertie est égal à
jx 27cA Pr3c/r = |x 27uA(^ — JV
Remarquons que le volume du corps considéré est égal à ir(rî — rJ)Ay et que sa masse est égale à fx-ir (r* — rJ)A ; si on la représente par M,
r*-f-r* Le moment d'inertie a pour valeur M * ^ .
362. Travail d'une force de direction constante. — Lorsqu'on mobile se déplaçant sur une droite est soumis à l'action d'une force constante F dirigée suivant cette droite, le travail de cette force pour un déplacement l du mobile est égal au produit T = FZ de la force par le déplacement.
Supposons que la force, tout en conservant la direction du déplace-
ment, varie d'une manière connue avec Tabscisse x du mobile comptée à partir d'une certaine origine, et qu'elle soit représentée par F(a;); supposons que le mobile se déplace depuis un point A d'abscisse a jusqu'à un point B d'abscisse 6. Partageons le déplacement total AB en déplacements infiniment petits Aoti, Ao^i, . . . , puis choisissons, dans chacun des intervalles, des valeurs ^i, (s, . . . de l'abscisse et les valeurs correspondantes F(Ç,), F(Ç2), ... de la force. Nous appellerons travaux élémentaires relatifs aux déplacements infiniment petits successifs les produits F(Çi)Aa:i, F(Çi)Aa?2, ..., et travail total la limite de la somme de ces travaux élémentaires lorsque les déplacements tendent vers zéro, leur nombre croissant indéfiniment.
Nous savons que la somme a une limite lorsque ¥(x) est une fonction continue de x, et que cette limite est égale à l'intégrale définie
T=r¥(x)dx;
cesi cette intégrale qui est la valeur du travail de la force pour le déplacement AB. Elle est représentée géométriquement par Taire comprise entre la ligne représentative de la force F(a;), l'axe des x et les ordonnées extrêmes des points A et B.
Exemple, — Considérons une masse gazeuse placée dans un cylindre fermé par un piston; soit s la surface de ce piston, x sa distance au fond du cylindre, et v = sx le volume du fluide. Désignons par p la pression qu'il exerce par unité de surface ; celle qu'il exerce sur le piston est égale à ps ; si le piston se déplace d'une quantité infiniment petite àx, le travail élémentaire de la pression a pour partie principale pslx ou plv ; si le piston se déplace de l'abscisse 0^0 à l'abscisse x^ le volume du fluide variant de Vq à t;i, le travail total de la pression est égal à l'intégrale
/ *p8dx= f * pdv.
Si par exemple, p est lié à x par la formule /)a;=/)oa?ot le travail total est égal à
/ 'fûXo^ ^=poVo I ' — =poVolog—=poVolog^.
363. Dôflnlttons. — Nous avons défini au n"" 326 l'intégrale définie d*une fonction f(x) d'une variable entre des limites a et ft ; nous allons étendre cette notion au cas de deux variables, que nous <lésignerons par x et y.
Considérons toutes les valeurs de ces variables comprises entre certaines limites ou satisfaisant à des inégalités données ; la manière la plus simple de les envisager consiste à employer une représentation géométrique, et à rapporter les valeurs de x et de 1/ à deux axes de coordonnées rectangulaires ; de cette façon, les couples de valeurs des variables sont représentés par les points du plan de ces deux axes. L'ensemble des valeurs que nous considérons, et que nous appellerons
champ d'intégration^ sera représenté par les points d'une aire limitée par une ou plusieurs lignes qui en forment le contour; ces lignes sont définies par les inégalités imposées à a; et à 1^.
Par exemple, le champ d'intégration défini par les conditions
Fig. 124.
a:>0, .V>0, xH-y — i<0 est représenté par tous les points de l'aire
d'un triangle OAB (fig. i24), limité par les axes et par la droite dont l'équation est x-f-y — 1=0.
Nous supposerons dans ce qui suit que le champ d'intégration est
représenté par une aire limitée ; ce n'est que dans des cas particuliers que Ton peut étendre les considérations actuelles au cas d'une aire s'étendant à Tinfini.
Soit /'(x, y) une fonction des variables x et i^ continue dansle champ d'intégration. Partageons Taire A représentative de ce champ en aires partielles infiniment petites AAi, AAs, . . . AA„. Soient f(^ui\i) la valeur de la fonction pour un point de Taire AAi, /'Gs)^0 sa valeur pour un point de Taire AA2, etc.; effectuons le produit de chacune de ces valeurs par la grandeur de Tairecorrespondante, et formons la somme des résultats; cette somme est
2 = /"(Ç,, îj,) AA, -t- /"(Ç,, i|0 AAj H ^ fÇ,, t,„) AA„.
Supposons que le nombre des aires partielles augmente indéfiniment, de façon que les dimensions de chacune d'elles tendent vers zéro dans tous les sens ; pour préciser, supposons que chaque aire puisse être enfermée dans une petite circonférence dont le rayon tende vers zéro ; par un raisonnement analogue à celui du h? 326, nous démontrehonsque la somme 2 a une limite, indépendante du mode de décomposition du champ d'intégration en aires partielles, et de la valeur /(;, r^ de la fonction dans chacune de ces aires.
Ce raisonnement montre que la limite existe, mais n'indique pas un moyen pratique d'en calculer la valeur ; cela tient à la difficulté qu'il y a de ranger les termes de la somme 2 dans un ordre convenable pour le calcul.
Le moyen que Ton emploie consiste à grouper d'abord les aires en files, de façon à former des bandes traversant le champ d'intégration mais ayant une largeur infiniment petite, puis à grouper ensuite les bandes successives ; on fait alors la somme des termes de 2 relative à chaque bande, puis on additionne toutes ces sommes. On dit dans ce cas que Ton effectue une somme double ; la limite de cette somme s'appelle l'intégrale double de la fonction f(x, y) étendue à Taire A, et on la représente par la notation
ffji^,y)
dk.
Nous allons montrer comment on peut calculer sa valeur au moyen de deux intégrales simples successives.
Pî
Ml ÎM'
Ax
364. Cas d'un rectangle. — Considérons d*abord le cas simple ou
les valeurs de a; et t/ satisfont à des inégalités telles que
a, 6, c, d étant des nombres constants ; le champ dlntégration est représenté par un rectangle ABCD dont les côtés sont parallèles aux axes (fi g, 125). La manière la plus simple de le décomposer en aires partielles consiste à le découper en petits rectangles par des parallèles aux axes ; considérons les parallèles à Oy qui ont pour abscisses x et x -h Ax et les parallèles à Ox qui ont pour ordonnées y et y-h^y] elles découpent un rectangle apyS dont la surface est AA = AxAi^ et dont le sommet a a pour coordonnées (x, y). Sans changer la limite de la somme S, nous pouvons choisir comme valeurs des variables l, ri relatives à Taire précédente, les coordonnées X, y du sommet a du rectangle, de sorte que nous pouvons écrire chaque élément de la somme 2 sous la forme f(x, y) Ax Ay ; la limite de cette somme sera représentée par
Fig. 125.
ff^fi^>y)dxdy.
Pour la calculer, donnons d'abord à a: et x-f-Aa: des valeurs fixes et faisons varier y, autrement dit, considérons tous les rectangles a^Y^ compris dans la bande parallèle à Oy limitée par MN et M'N' : la somme des éléments correspondants entrant dans la somme 1 sera égale à Lxlf(x,y)^y et sa limite sera Ax f f(x,y)dy^ l'intégrale
étant prise par rapport à y, x étant considéré comme constant. Nous appellerons «p (x) cette intégrale, de sorte que la somme précédente aura pour valeur Axcp(x).
Nous considérerons ensuite toutes les bandes analogues obtenues
en faisant varier X, et nous formerons la somme 2Ax<p(a:); sa limite sera l'intégrale définie C dxff(x) prise entre les limites a et 6.
De cette façon, nous obtiendrons la valeur de l'intégrale double au moyen de deux intégrales simples successives: !*» Tintégrale de f(x, y) par rapport à y entre c et rf; le résultat est une fonction <p(a?); 2** rintégrale de (p(x) entre les limites a et b; cette manière d'opérer s'exprime par l'égalité
ffj{^^y)dxdy = j^dxj^f{x,y)dy.
Nous aurions pu faire d'abord la somme des éléments de 2 relatifs . aux rectangles contenus dans chaque bande parallèle à Ox telle que PQP'Q', et faire ensuite la somme des résultats relatifs aux bandes successives ; nous aurions été amenés de cette façon à eiïectuer l'intégration de f(x^ y) par rapport à x entre les limites a et 6, puis l'intégration du résultat par rapport à t/, entre les limites c et (f , ce qui s'exprime par l'égalité
ff^fQ^^y)dxdy = J^''dyJ^f(x,y)dx',
les deux procédés donnent le même résultat; lorsqu'on passe de l'un à l'autre, on dit que l'on intervertit l'ordre des intégrations.
365. Cas général. — Considérons maintenant le cas général où l'aire d'intégration est limitée par un contour formé d'une ou de plusieurs lignes droites ou courbes, dont nous désignerons l'ensemble par C. Ce contour est défini par une ou plusieurs relations entre x et y; nous supposerons qu'une parallèle à l'un des axes ne le coupe qu'en deux points; s'il en était autrement, nous décomposerions l'aire A par des lignes transversales en aires partielles dont les contours jouiraient de la propriété précédente, et nous ferions la somme des intégrales étendues à ces aires partielles.
Soient a et 6 les limites entre lesquelles varie l'abscisse d'un point décrivant le contour, soient c et J celles de son ordonnée ; décomposons comme précédemment l'intervalle (a, b) en intervalles partiels Ax, et (c, d) en intervalles \y, puis menons par les points de division des parallèles aux axes ; nous formons de cette façon des
sJC
ÎT^
ËLy
fv
Fig. 126.
rectangles tels que a^yS dont la surface est égale è AxAy {fig. 126).
L*aire totale A se trouve ainsi décomposée en aires infiniment petites ; la plupart de ces aires sont des rectangles entièrement intérieurs au contour C; mais quelques-unes, placées près de ce contour et limitées par lui en partie, ne sont formées que par des portions de rectangle ; nous allons montrer qu'on peut cependant, sans changer la limite de la somme £ , remplacer cette somme par une autre, étendue à une aire composée exclusivement de rectangles entiers.
En effet, l'ensemble des rectangles qui sont coupés par le contour, et dont une portion seulement fait partie de Taire A, constitue une couronne dont la largeur tend vers zéro en même temps que Aa; et Ay ; si nous supposons, ce qui a lieu ordinairement, que la longueur du contour C soit limitée, Taire de cette couronne tend vers zéro. Gomme la fonction /'(x, y) reste finie, la somme des produits obtenus en multipliant les valeurs de cette fonction soit par les aires des rectangles coupés par le contour, soit par une portion de ces aires, tend vers zéro ; nous en concluons que l'on peut, sans altérer la limite de la somme totale ^f(x, y)AA, supprimer certaines des aires avoisinant le contour et non formées de rectangles entiers, ou remplacer certaines d'entre elles par les rectangles entiers dont elles font partie.
Nous substituerons alors à la somme 2 une autre somme ayant la même limite et dont tous les éléments correspondent, comme nous venons de le dire, à des aires rectangulaires. Ces éléments ont une valeur de la forme f(x^ y)Aa; ^y ; la limite de leur somme sera représentée par
f(x,y)dxdy.
ffj
comme dans le cas simple du numéro précédent.
Pour calculer cette limite, nous opérerons comme dans le cas d'un rectangle. Considérons les parallèles à Oy d'abscisses x et x + Ax (fiff. 126), et désignons par yo et yi les ordonnées des points M et N où la première de ces droites rencontre le contour C, 1^1 étant supérieur à yo ; ces ordonnées sont des fonctions de x définies par réquation du contour.
Considérons alors tous les rectangles tels que a^yS compris entre les deux droites dont nous venons de parler et dont les sommets a et 0 sont compris entre M et N ; formons la somme ^fÇx^ y)lx Ay relative à ces rectangles et calculons la limite de cette somme. Les rectangles que nous considérons ont pour limite la bande rectangulaire M NM'N' de hauteur MN et de largeur Ax, et la somme correspondante a pour limite le produit par Ax de Tintégrale / f(x^y)dy
étendue à Tinter valle MN.
Llntégrale précédente est une fonction de x, à la fois parce que la fonction renferme cette lettre x et parce que les limites yo et yi en dépendent également; nous appellerons ^(x) cette intégrale. Il nous reste alors à prendre la somme des éléments relatifs aux bandes
successives, c'est-à-dire la somme2;^x)Ax; la limite de cette somme
est égale à l'intégrale / (f(x)dx.
Ainsi donc, le calcul d'une intégrale double se ramène à celui de deux intégrales simples successives, dans le cas général comme dans le cas particulier primitivement étudié ; c'est ce qu'exprime l'égalité
ffjQ^^ y>/x dy =J^ ^^^V(«' yyy '
Nous aurions pu commencer par faire la somme relative aux rectangles compris dans une bande parallèle à Ox^ entre les ordonnées y et y + Ay; si Xq et Xi sont les abscisses des points P et Q du contour ayant pour ordonnée y^ cette somme a pour limite l'intégrale par rapport à x prise entre Xq et X| ; il reste ensuite à former l'intégrale du résultat par rapport à y entre c et c/, ce qu'indique l'égalité
VoGT. — Math. sup. 36
Lorsqu'on passe d'une méthode de calcul à l'autre, on dit qu'on intenrertit l'ordre des intégrations.
366. Exemples. — Le cas le plus simple est celui où la fonction f{x^ y) est égale à l'unité ; la somme 2 se réduit alors à 2AA on à Taire A intérieure au contour G.
Il résulte de la théorie précédente que cette aire est égale à l'intégrale double / / dxdy; une première intégration par rapport à y
entre les limites yo et j/t nous donnera/ '<fi/ = yt — yo; nous intégrerons ensuite le résultat par rapport à x entre a et 6 ; nous obtiendrons de cette façon pour valeur de l'aire A
C'est le résultat que nous avons obtenu au n^ 355 ; en changeant l'ordre des intégrations, nous obtiendrions l'intégrale / (xi — x^)dy.
Nous allons, comme autre exemple, évaluer l'intégrale double de la fonction /(x, y) = xy étendue au champ d'intégration défini par les inégalités
x^O, y^O, â?-hy--i <0;
ce champ est représenté, comme nous l'avons dit au n* 363, par le triangle OAB de la figure 124; les lignes du contour ont pour équations a?==0, y = 0, x-4-î( — 1=0.
A une valeur de x correspondent des valeurs de y dont les limites, représentées par M et N, sont i/o = 0 et yi = i — «; en intégrant d'abord par rapport à y entre ces limites, nous avons
£K^.yyy=f"^dy^[^)^^-
il nous reste à intégrer le résultat par rapport à x entre les limites 0 et 1 ; nous obtenons ainsi la valeur
r*xCl— x)» i^x — 2x«-4-x« j /x« X» . x*V 1
367. Cas des coordonnées polaires. — Lorsqu'une aire A du plan des xy est limitée par des courbes définies en coordonnées polaires, on la décompose en aires partielles AA au moyen de demi -droites issues de Torigine, faisant entre elles des angles infiniment petits AO, et au moyen de cercles concentriques à Torigine, dont les rayons croissent de quantités infiniment petites Ap ; ces demi-droites et ces cercles déterminent dans le plan des quadrilatères curvilignes tels que «PyS {fig, 127); ce seront les éléments d'aire AA. p. Ijy Soient 0 et 6-+-A6, p et p + Ap les
angles polaires et les rayons vecteurs des quatre côtés du quadrilatère a^yS; I*aire de ce quadrilatère est la différence des aires des secteurs OyS et Oap, et elle est égale à
elle ne diffère du produit pApAO que par une quantité infiniment petite par rapport à ce produit.
Si /(p, 6) est une fonction donnée des coordonnées polaires d'un point intérieur au quadrilatère a^yS, la somme £/'(p, 6)AA a, d'après les principes des n*^' 325 et 326, la même limite que la somme 2/'(p, 6)p Ap A6, car le rapport de deux termes correspondants de ces sommes a pour limite l'unité. La limite de ces sommes est l'intégrale double
/'(p,6)pdp(/6;
on la calcule au moyen de deux intégrales simples successives prises par rapport à p et à 6, comme dans le cas des variables x et y. En particulier, Taire A est représentée par l'intégrale précédente où
/(p, 6) a pour \aleur l'unité, c'est-à-dire par / / p c/p c/6 .
Dans le cas particulier où Taire est un secteur limité par deux rayons d'angles polaires Oo et Oj, et par une courbe dont le rayon vecteur p est une fonction donnée de 6, une première intégration par
rapport à p donne / pdp=^, et une deuxième intégration par
rapport à 6 donne pour valeur de l'aire l'intégrale
p'rfô '•• "2"'
comme nous Tavons déjà vu au n® 366. Ce résultat s'étend au cas où Taire est limitée par un contour fermé entourant Torigine ; il suffit alors de prendre pour limites 6o et 6i les valeurs 0 et 2ir.
Dans le cas où Taire est limitée par un contour ne comprenant pas le pôle à son intérieur, si po et pi sont les rayons vecteurs des points où ce contour est coupé par la demi-droite d'angle polaire 6, et si 6 varie entre Oq et 6i, un raisonnement analogue au précédent donne pour valeur de Taire l'intégrale
PÎ-P?
do.
368. Détermination des volumes. — .Une application importante des intégrales doubles est la détermination des volumes cylindriques et des volumes quelconques.
Considérons une surface représentée par l'équation z = f(x^ y) et dans le plan des xy une aire À limitée par un contour G (y?jr. 128);
nous alloDS définir et calculer le volume compris entre le plan des ay et la surface donnée, à Tintéheur du cylindre dont la base est Taire A, et dont les génératrices sont parallèles à Oz,
Décomposons Taire A en éléments infiniment petits ; soit AA l'un d'eux ; prenons dans AA un point quelconque P et déterminons la cote PM du point M de la surface projeté en P sur le plan xOy. Considérons le volume prismatique dont la base est AA et la hauteur PM, et calculons la somme des éléments de volume infiniment petits analogues ayant pour bases les éléments de Taire A; si cette somme a une
limite, cette limite sera par définition la valeur du volume cylindrique compris entre le plan des xy et la surface.
En représentant par x ti y les coordonnées du point P de Taire AA, et par z la cote PM, la somme des volumes partiels est égale à SsAA ou 2/'(a;, y) AA, la somme étant étendue à tous les éléments AA ; si f(xy y) est une fonction continue, nous savons que cette somme a une limite, et cette limite est l'intégrale double
f(x,y)dxdy.
Ainsi donc la valeur d'un volume cylindrique est égale à une intégrale double. Inversement, on peut représenter une intégrale double quelconque, telle que la précédente, par un volume cylindrique; il suffit de construire la surface représentée par Téquation z = f(xy y) et de considérer le volume intérieur au cylindre de base A et de génératrices parallèles à Oz, entre le plan des xy et la surface ; l'intégrale double est représentée par la valeur de ce volume ; c'est la généralisation de la représentation géométrique d'une intégrale définie (n*^ 328). Remarquons que si f(x, y) est négatif, l'intégrale double a une valeur négative, et est égale au volume précédemment considéré, pris en signe contraire.
Lorsque l'on veut évaluer un volume quelconque, limité par une
surface S (fig. 129), on considère le cylindre circonscrit à la surface et dont les génératrices sont parallèles à Oz ; soit A la base de ce cylindre sur le plan des xy.
Supposons pour simplifier qu'une parallèle à Oz issue d'un point P intérieur à A rencontre la surface en deux points Mo et Mj; désignons par zo et Z| les cotes de ces deux points, zi étant > zq. Le volume intérieur à S est la différence entre les volumes des cylindres de base A et limités l'un à la calotte supérieure, l'autre à la calotte inférieure de la surface S; il est donc
égal à
Il z^dxdy — I jZf4xdy = /T(*i — ^ydxdy .
Cette méthode s'applique à la détermination du volume compris à la fois à rintérieur de plusieurs surfaces données ; la surface S limitant le volume se compose alors de plusieurs calottes appartenant à des surfaces différentes.
869. Aire des surfaces courbes. — Considérons une surface fermée
ou une calotte de surface S projetée sur le plan des xy suivant une aire A (fig. 130).
Nous supposerons que toute parallèle à Oz rencontre S en un seul point ; dans le cas contraire, nous décomposerions la surface en calottes partielles jouissant de cette propriété; nous allons définir et calculer Taire de la surface S.
Décomposons Faire A en éléments infiniment petits ; soient AA Tun d'eux, P un point quelconque intérieur à cet élément, et M le point de la surface projeté en F. Traçons le plan tangent au point M à la surface S, et prenons dans ce plan tangent Taire dont la projection est AA, aire que nous représenterons par Â?; elle est découpée dans le plan tangent par la surface prismatique parallèle à Oz dont la base est le contour de AA.
Formons la somme des aires infiniment petites A? ainsi déterminées ; si cette somme a une limite, cette limite sera par définition la valeur de Taire de la surface S ; nous la désignerons par 9. Considérons la normale NN à la surface S au point M, et Tangle aigu y qu'elle fait avec une parallèle à Taxe des z ; nous savons (n*" 75) que la projection AA de Taire A<r est égale à A? cos y ; par cons
Fig. 130.
INTÉGRALB8 DOUBLES 567
nous avons A<t = , et nous en concluons que la somme des aires
cos Y
Aa a pour valeur 2 AA .
cos Y Si cos Y est une fonction continue des coordonnées x^ y du point
M et du point P, ainsi que son inverse, la somme précédente a une
limite, et cette limite est égale à l'intégrale double de la fonction
étendue à Taire A ; nous avons dans ce cas ^
c = / / dx dy .
•/ JaCOS y ^
Si Féquation de la surface S est f(x,y,z) = 0^ les équations de la normale sont (n® 300)
et le cosinus de Tangle aigu y qu'elle fait avec Oz est égal à la valeur absolue de la quantité
370. Autres applications. — Parmi les applications usuelles des intégrales doubles, en dehors de la détermination des aires et des volumes, nous mentionnerons les suivantes :
1^ Supposons répartie sur une surface plane une couche dont la densité varie d'une manière continue d'après une loi donnée et est représentée en chaque point par une fonction ^x^ y) des coordonnées de ce point. La masse totale de la couche est égale à la limite de la
somme 2p(a;, i^)AA, ou à l'intégrale double / / p(a;, y)dxdy ,
2* On appelle moment d'inertie d'une surface plane homogène et de densité égale à l'unité, par rapport à une droite D, la limite de la somme Scf'AA, AA étant un élément de surface et d la distance à la droite D d'un point intérieur à cet élément. En prenant la droite D comme axe des x, le moment d'inertie est égal à l'intégrale double
jfy^dxdy.
De la même manière, le moment d'inertie polaire de la même sur-
face par rapport à un point 0 est la limite de la somme Sp'AA, p étant la distance à 0 d'un point de Télément AA ; en prenant le point 0 comme pôle, le moment d'inertie est égal à Tintégrale double
/ / p*(/p (fO en coordonnées polaires.
3** Ck>nsidérons un orifice ou un canal de section donnée  par lequel s'écoule un liquide de façoa que les vitesses des différentes molécules au moment de leur passage dans la section A soient normales à cette section. Si la vitesse en un point est une fonction donnée v(x,y) des coordonnées de ce point, le débit de Torifice ou du canal est la limite
delà somme 2v(a;, y)AA et c'est l'intégrale double / / u(x^ y)dxdy.
Remarquons à ce propos qu'il est quelquefois plus facile de déterminer le résultat d'une intégration que les éléments dont se compose la somme ; c'est ce qui a lieu dans l'exemple précédent, car il est plus facile de déterminer le débit total d'un orifice que la vitesse du liquide aux différents points.
