CHAPITRE VII INTÉGRALES TRIPLES

871. Dâttnitton et calcul des intégrales triples. — Considérons trois variables x , 1/ , z et toutes les valeurs de ces variables satisfaisant à des inégalités données ; elles constituent un cbamp d*intégration. En employant trois axes de coordonnées rectangulaires, Ox , Oy , O2 , cç champ est représenté par tous les points d un volume V limité par une ou plusieurs portions de surface ; nous supposerons ce volume limité.

Soit /(x, y^ z) une fonction des variables continue dans le champ d'intégration ; partageons le volume Y en volumes partiels infiniment petits AVi, AVs, . . . AY^; prenons la valeur de f pour un point de chacun d'eux, multiplions-la parla grandeur du volume correspondant, et faisons la somme des produits ainsi formés, somme que nous représenterons par Z/Cx, y , 2)AY. Un raisonnement analogue à celui que nous avons fait au n® 326 montre que cette somme a une limite lorsque le nombre des volumes partiels augmente indéfiniment, les dimensions de chacun d'eux tendant vers zéro dans tous les sens, et que cette limite ne dépend ni du mode de décomposition du champ d'intégration, ni du point (a? , y , 2) choisi dans chaque volume partiel.

Pour calculer cette limite, on groupe d'abord les volumes partiels en files traversant le volume d'intégration, les dimensions transversales de ces files étant infiniment petites ; ensuite on réunit ces files en tranches étendues chacune sur une certaine surface, mais ayant une épaisseur infiniment petite ; enfin on groupe les tranches successives de façon à constituer le volume total. On fait alors la somme des termes de 2 relatifs à chaque file, on additionne les résultats relatifs à toutes les files d'une même tranche, enfin on additionne les sommes relatives à toutes les tranches. On dit dans ce cas que Ton effectue une somme

tripU, et la limite de cette somme s*appelle Tintégrale triple de la fonction f(x,y, z) étendue au volume d*intégration ; on la représente par la notation

flL

Ordinairement, on décompose le volume en éléments partiels par des plans parallèles aux plans de coordonnées ; ces plans déterminent des parallélépipèdes dont les arêtes sont parallèles aux axes. Si Ao;, Ay et Az représentent les dimensions de Tun quelconque d*entre eux, son volume est AV = Ax Ay Az ; en raisonnant comme aux numéros 364 et 365, nous verrions que l'intégrale triple est la limite d'une somme d'éléments de la forme f(x^ y i ') Aa? Ay As, cette somme étant étendue à tous les parallélépipèdes contenus entièrement dans le volume d'intégration, et à un nombre quelconque de ceux qui sont coupés par la surface limitant ce volume. Cette limite est représentée parla notation

fff^fQ^yyy^)dxdydx.

Pour la calculer, nous la ramènerons à trois intégrités simples successives. Supposons qu'une parallèle à Oz rencontre la surface

limitant le volume en deux points, et désignons par z« et Zi les cotes des points M et N situés sur une telle parallèle à Oz ayant pour abscisse X et pour ordonnée y (fig. 131); considérons la somme ïf(x,y,z)^xXy ^z étendue aux parallélépipèdes compris entre les plans d'abscisses X et X + Ax et les plans d'ordonnées y nous verrions, comme

Fig. 131.

et t/ + Ay , et dont un sommet est situé sur MN

dans le eas des intégrales doubles, que la limite de cette somme, lorsque, ^x et ^y restant fixes, les éléments Â2 tendent vers zéro, est égale au produit de àx Ây par l'intégrale

Cette intégrale est une fonction de x et de y , à la fois parce que f en dépend et parce que Zo et Zi peuvent varier avec a; et y ; nous la désignerons par 9(0;, y) ; nous aurons alors à chercher la limite de la somme S2(p(x, y) àx Xy; cette limite n'est autre que l'intégrale double If cp(a;, y) dx dy étendue à Taire A suivant laquelle se projette le volume sur le plan des xy. Nous savons que la valeur de cette intégrale double est le résultat de deux intégrations successives, la première de <p(x, y) par rapport à y entre les ordonnées yo et yi des points P et Q correspondant à une valeur de x : le résultat est une fonction 4K^), et la seconde de ^x) par rapport à x entre les abscisses extrêmes a et 6.

Le calcul de l'intégrale triple se ramène ainsi à celui de trois intégrales simples, ce que nous indiquons par l'égalité

fffyf^P^^y^'Od^^yd^^J^ dxj^*dyj^*f(x,y,z)dz.

Nous aurions pu commencer les intégrations par rapport à une autre variable ; nous obtiendrions le même résultat, quel que soit Tordre des intégrations.

372. Détermination des volumes. — Le cas le plus simple est celui où f(x^ yi ^) ^e réduit à l'unité; la somme 2/'(x, y, js)AV se réduit à SAV, et est égale au volume du champ d'intégration; nous voyons que la mesure de ce volume est égale à l'intégrale triple

Si nous effectuons une première intégration par rapport à z , nous sommes ramenés à Tintégrale double

y = ff^(z,-^Zo)dxdy; nous retrouvons ainsi le résultat du n° 368.

CALCUL INTÉGBAL

Si nous effectuons au contraire une première intégration par rapport à X, puis une seconde par rapport à y , le résultat est Tintégrale double ffdx dy, et il a pour valeur Taire A(z) de la section de cote

z ; nous avons alors, en effectuant la troisième intégration par rapport à z,

nous retrouvons ainsi le résultat que nous avons obtenu au n* 358.

373. Cas des coordonnées polaires. — Lorsque les différents points de l'espace sont déterminés par leurs coordonnées polaires p^O,*} (n* 109), nous décomposons le volume V d'intégration en volumes infiniment petits de la façon suivante :

Prenons des sphères concentriques ayant pour centre Torigine et dont le rayon croit de quantités infiniment petites Ac , puis des cônes de révolution autour de Taxe des z , ayant pour sommet Forigine, et dont le demi-angle au sommet croît de quantités infiniment petites A6, enfin des demi-plans passant par Oz et dont Tangle avec le plan xOz croît de quantités infiniment petites Ai]/.

Ces surfaces découpent dans l'espace de petits volumes que nous

prenons pour éléments AV; nous allons évaluer celui qui est compris entre les sphères de rayons p et p + Ap , les cdnes de demi-angles au sommet 6 et 0 + AO, et les plans faisant avec xOz les angles ^ et «l' -+- Aij; ; il est représenté par aPySa'P'y'y dans la figure 132.

I) diffère infiniment peu d'un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont:

!• aa', qui a pour valeur Ap, 2^ Tare ay, qui a pour valeur pA6, et 3^ Tare a^, qui est égal au produit de Ai]/ par le

Fig. 132.

rayon aoa du parallèle du point a, c'est-à-dire à psinOAif. Nous sommes conduits de cette façon à substituer à AV le produit f' sin 6 Ap A6 A']; dont le rapport à AV a pour limite Tunité ; si /'(p, 6, ^) est la fonction à intégrer, nous voyons, par un raisonnement analogue à celui du n** 367, que l'intégrale cherchée est égale à

fffjC^^^^^y^^^^d^ddd^;

on révalue au moyen de trois intégrales simples successives, comme dans le cas des variables x , y , 2 .

En particulier, lorsque la fonction /'(p, 6, ^) est égale à Tunité, nous voyons que la mesure d'un volume en coordonnées polaires est fournie par l'intégrale triple

p' sin 0 dp cfO d'^ .

374. Autres applications. — Les applications usuelles des intégrales triples, outre le calcul des volumes, sont la détermination des masses, des centres de gravité, de l'attraction et des moments d'inertie ; nous mentionnerons en particulier les suivantes :

1<* Étant donné un corps dont la densité en chaque point varie d'une manière continue avec les coordonnées de ce point, et est représentée par une fonction donnée p(x,y , z) de ces coordonnées, la masse Am d'un élément de volume AV entourant le point (a;, y , z) ne diffère du produit p(x, y , z) AV que d'une quantité infiniment petite par rapport à ce produit; en prenant pour partie principale de cette masse la quantité dm = p(a;, y , z) AV, nous voyons que la masse totale est la limite delà somme Sp(x, y, z)AV; en coordonnées cartésiennes, elle est égale à l'intégrale triple

2<* Étant donné un système de masses mi , m^ , ... dont les centres sont des points sTi^STs, ... de coordonnées (xi,yi,Zi), (^1 2/st 2s)i • • • > on appelle centre de masse ou centre de gravité de ce système le point G d'application de la résultante de vecteurs parallèles, respectivement égaux à mi , mt, ... et appliqués en jTi, jTs, ....

Le théorème des moments permet de déterminer les eoordonnées X, Y, Z de ce ceatre ; si M = ^mt est la masse totale, elles sont données par les équations

MX = SiHiXi , MY = rm<y, , MZ = JlmiZi .

Eq appliquant ces formules aux masses infiniment petites dans lesquelles on peut décomposer la masse comprise dans un yolume V, et passant à la limite, nous trouvons les coordonnées du centre de masse ou centre de gravité de ce volume ; elles sont données par les équations

»'^=///v«''"' «^=/XC3'*''»' '»^=X/X«'--

Dans certains cas, lorsqu'il s'agit par exemple de surfaces ou de lignes, les intégrales triples précédentes peuvent être remplacées par des intégrales doubles ou des intégrales simples.

3** Si r est la distance à un axe d'un point (x, y , z) intérieur à un élément de volume AV, le moment d'inertie par rapport à cet axe de la masse de ce volume AV a pour partie principale r^dm; le moment d'inertie de la masse totale par rapport à l'axe est la limite de la somme Hr^dm , et est égal à l'intégrale triple

ç{x^y^ z) étant, comme précédemment, la densité au point (x, y , x). Dans certains cas, comme nous en avons vu des exemples aux n** 361 et 370, les intégrales triples peuvent être remplacées par des intégrales doubles ou des intégrales simples.

Considérons par exemple un tétraèdre trirectangle OâBC (fy. 133), dont les arêtes OA , OB , OC, rectangulaires deux à deux, sont égales à a ; supposons que le volume de ce tétraèdre soit homogène et que sa densité soit égale à l'unité ; nous allons chercher son moment d'inertie par rapport à l'arête OC . Si nous prenons OC comme axe des z, OA et OB comme axes des x et des y, le moment d'inertie cherché est égal à l'intégrale triple

(a;* H- y*) dx dy dz.

Nous effectuerons les intégrations successives, d'atK>rd par rapport

à Zy ensuite par rapport à y, enfin par rapport k x\ les points du

volume se projettent sur le plan des xy à Tintérieur du triangle OAB, et le plan ABC, limitant supérieurement le tétraèdre, a pour équation x-Hy-Hz = a.

A un système de valeurs de (x, y) représentées par un point Ho de Taire OAB correspondent dans le volume des valeurs de z com* prises entre les cotes des points Mo et Mi ; ces cotes sont respectivement z© = 0 et Zi = a — X — y.

Dans le plan xOy, la droite AB limitant Taire OAB a pour équation x + y = a . A une valeur de x comprise entre 0 et a et représentée par Po correspondent dans Taire OAB des valeurs de y comprises entre les ordonnées des points Po et Pi; ces ordonnées sont respectivement yo = 0 et yi = a — x .

Enfin, X varie de 0 à a ; nous avons par suite

J^yy^(x« + y«)c/xrfyrfz = ^rfx^"*c/y^^

Fig. 13S.

La première intégration, par rapport à z, donne pour résultat

= (a:«-Hy«)(a — X — y);

£ ' '(x«4-y«)rfz = [(x« + y»>]^' la deuxième, par rapport à y , donne

(a?*4-y*X«-«-y>'y= / [^K^-^)-y^^-hyKa^x)^y^]dy

la troisième, par rapport à x, donne pour résultat -rrr •