INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIEXLES TOTALES
Nous allons montrer que cette condition, que Ton appelle condition d'intégrabililé, est suffisante, et nous déterminerons, lorsqu'elle est remplie, toutes les fonctions répondant à la question. Nous allons déterminer d'abord les fonctions satisfaisant à la première des deux conditions (2) ; nous exprimerons ensuite qu'elles satisfont à la seconde.
Toutes les fonctions dont la dérivée par rapport à x est égale à l'expression P(x, y) sont les fonctions primitives de cette expression, où X est considéré comme seule variable et y comme constant; d'après ce que nous avons dit au n^ 330, nous obtiendrons une de ces fonctions primitives en prenant l'intégrale définie de la fonction P(x, y) par rapport à x entre les limites a et x, a étant une valeur fixe arbitraire ; toutes les autres ne différeront de cette intégrale que d'une quantité indépendante de x, mais pouvant contenir y ; nous aurons alors comme expression générale des fonctions F(a;, y) satisfaisant à la première condition
(|p(y) désignant une fonction arbitraire de y.
Nous déterminerons cette dernière fonction par la seconde condition en écrivant que la dérivée de F(x, y) par rapport à y est égale à Q(x, y); nous obtiendrons la dérivée de l'intégrale qui entre au second membre de la dernière relation en prenant la dérivée de la fonction P(a;, y) sous le signe d'intégration (n** 353) ; nous devrons donc avoir
La relation (3) étant supposée remplie, nous pouvons remplacer — par -~ dans l'intégrale qui entre au second membre ; mais l'in-
tégrale indéfinie par rapport à x de -~^ est la fonction Q elle-même ;
ox
nous avons donc
en remplaçant par cette valeur le premier terme du second membre VocT. — Math. sup. 37
978 QAlcui inriGi^AL
do l'équation (4), qou8 aurons, pour déterminer (p(j/), la condition
ou bien
Nous concluons de là que ^ (i/) est une fonction primitive de Q(a, y); pour plus de symétrie, nous la représenterons par une intégrale définie prise entre les limites b et y, b étant une quantité fixe arbitraire qui joue le rôle de la constante d'intégration ; nous aurons de cette façon
Nous voyons ainsi qu'il existe une solutioa du problème, dont Texpression générale est
toute autre solution ne diffère de celle-là que par une constante, caria différence centre deux solutions a une différentielle totale nulle et elle est par suite une constante indépendante de a? et de y-
La fonction ¥{x, y) ainsi obtenue semble dépendre de deux constantes a et b\ en réalité elle ne dépend que d'une seule constante, qui renferme à la fois a et 6 ; on peut en effet démontrer que le second membre de la relation (5) se met sous la forme 4^(a;, y) — ^(a, 6), et ne renferme par suite qu'une seule constante 4(a, b).
