H XX
377. Intégration de la différentielle totale d'une fonction de trois variables. — Nous nous proposons de déterminer une fonction P(x, y, z) dont la différentielle totale est une expression donnée
(6) P(a:, y,z)dx -h Q{x, y, z) dy-h R(x, y, z)dz.
Si le problème a une solution, cette expression est identique à la différentielle totale de F, qui est
c/F == -— </« -H -— dy -+- T~ d« ;
ôa: ôy ^ bz
nous devons avoir par conséquent les relations :
CD ^ = P(x,y,z), ^ = Q{x,y,z), |5: = R(a:,y,z):
mais les dérivées partielles de F ne sont pas indépendantes Tune de Tautre et satisfont aux relations
ôy \ ôa? / î>aB\ ôy / ôa?ôy '
A/^\ = ^{$L\ ^ ,^ , ôz\ôy/ ôy\ô»/ dyôz'
ôa:\ôzy ôAôa:/ ô«ôa? ' est donc nécessaire, d'après ce qui précède, que les fonctions P, Q, R
satisfassent identiquement aux trois relations
^ ^ ôy ôar ' ôz ôy ' ôa? ôz '
nous allons montrer que ces conditions, dites conditions d'iniégrahilité, sont suffisantes, et nous déterminerons, lorsqu'elles sont remplies, toutes les fonctions dont Texpression donnée est différentielle totale.
Toute fonction F(a?, y, z) répondant à la question a une dérivée par rapport à x égale à F(a?, y, z) ; par un raisonnement analogue à celui que nous avons fait précédemment, nous voyons que cette fonction a pour valeur
a étant une constante et (p(y, z) une fonction indépendante de x. Pour déterminer <p , nous écrirons que les dérivées de F par rapport à y et z sont Q et R, c'est-à-dire que Ton a, en appliquant la règle de dérivation des intégrales définies,
mais, d'après les relations (8), nous pouvons remplacer jr «* y
ôQ , ôR .. y •
par r^ et --; nous avons par suite bx bx
nous en tirons
La fonction <p(y,2) doit ainsi satisfaire à la condition d'avoir pour différentielle totale l'expression
Q(a, y, z)dy -f- IK«, y , »)dz ;
INTÉGRALES CURYIUGNES S81
la deuxième des relations (8) montre que cette expression est intégrable, et son intégrale est égale, d'après ce que nous avons vu, à
£ Q(a, y, z)dy -h £ R(a, 6, z)dz ,
6 et c désignant des constantes. Nous voyons ainsi qu'il existe une solution du problème dont l'expression générale est
F(a:, y , z) = ^ P(a:, y, z)dx -h £ Q{a, y, z)dy + £ R(a, 6, z)dz ;
toute autre solution ne diffère de celle-là que par une constante arbitraire.
Exemple. — L'expression
(y •+• z)dx + (z -h x)dy -h (x -h y)dz satisfait aux conditions d'intégrabilité (8) ; elle a pour intégrale indéfinie
£{y-{-z)dx-h£ {z-ha)dy-h£{a-hb)dz
= (icy -4- xz -h yz) — {ab -hac-h bc) ;
on vérifie qu'elle ne dépend au fond que d'une seule constante arbitraire, et qu'elle a la forme F(x, y, z) -— F(a, 6, c).
378. Intégrale curviligne dans le cas de deux variables. — Nous allons généraliser la notion d'intégrale définie d'une fonction d'une variable (n» 326).
Considérons deux fonctions q(x, y) et v(x, y) de deux variables X et y ; supposons que ces variables soient reliées l'une à l'autre d'une manière connue ; pour plus de généralité, admettons que x et y soient des fonctions données d'un même paramètre <,
aj = /-(0, y = T(0.
Faisons varier l d'une manière continue entre deux limites a et p; supposons que x et y soient continues, ainsi que u(x, y) et «(x, y), pour toutes ces valeurs de t.
Partageons l'intervalle (a, p) en n intervalles partiels infiniment petits; désignons par A^i, A^2, ... A^» les accroissements succès-
sifs de ^ et par Aoi, À03, . . . Aa» les accroissemeats correspondants de la fonction ii(âp, y) ; prenons d'autre part une valeur particulière de la fonction v(a;, y) dans chacun des intervalles, multiplions-la par raccroissement de ff(«, y) correspondant et faisons la somme des produits obtenus.
Pour fixer les idées, désignons par 61 une valeur de t choisie dans le premier intervalle, et par \x et ru les valeurs correspondantes de X ei y\ multiplions u(;t>^i) par Aoi, opérons de même dans chacun des intervalles suivants, et additionnons les résultats; nous formerons la somme
(9) «(Çii ^i)Aai -+- r(Ç2, tij) Aii^ -h • • • -+- t;(E„ T|«)An„,
que nous représenterons par 2v(x, 1/) An ; nous allons montrer qu*elle a une limite lorsque te nombre des intervalles augmente indéfiniment, chacun d'eux tendant vers zéro.
Remarquons que u et v sont des fonctions de la seule variable indépendante i ; représentons-les pour un instant par o(Q et v(JL); r(Ç,,7ii) est égal à w(6i); d'autre part, raccroissement Aui est égal, d'après la formule des accroissements finis, au produit de raccroissement A^i par la valeur de la dérivée ii'(/) pour une valeur particulière 6{ de i comprise dans le premier intervalle. Le premier terme de la somme (9) est donc égal à t^(di)a'(ôi')A^i, et les autres termes peuvent être mis sous une forme analogue.
En raisonnant comme nous l'avons fait aux n^" 325 et 326, nous pouvons remplacer dans la somme précédente, sans en changer la limite, 6i, 62, ... par 61, 6s, ... ; nous obtenons ainsi la somme
(10) t;(ei) «'(e,)A^, + ^(«0 iz'(a,) A<s -h h v{k) «'(o.)a<,.
Mais cette somme a une limite, qui n'est autre que l'intégrale définie
(il) ^f^v{t)u'{i)d(;
par suite, la somme Su(x, i/)Aa a une limite égale à cette intégrale; on représente cette limite par la notation
J ah
v[x,y)da[x,y),
INTÉ6RAtCfl GCKV1L1GNE8 SS3
on a et 6 désignent les valeurs de a; et t^ pour <=sa, a' et 6' les valeurs des mêmes variables pour < = p ; on l'appelle intégrale curviligne et on la calcule en la remplaçant par l'intégrale définie (il).
379. Interprétation géométrique. — Le nom d'intégrale curviligne donné à cette intégrale provient de la Signification géométrique suivante qu'on lui donne ordinairement. Considérons les valeurs de X et de y, qui dépendent du paramètre ty comme les coordonnées des points d'une courbe plane, et construisons cette courbe ; aux différentes valeurs de t comprises entre « et p correspondent les points successifs d'un arc AB (fig. 134), à une décom- ^^' *^- position de l'intervalle (a, f) en intervalles
partiels correspond une décomposition de Tare AB en arcs partiels infiniment petits AAi, AfAs^ . . . , et enfin aux valeurs 6i,0s, ... de t correspondent des points G|, Cs, ... situés respectivement sur chacun de ces arcs.
Imaginons un point mobile, de coordonnées égales h x et y y se déplaçant sur l'arc AB, de A à B, lorsque t varie de a à p; pour obtenir la somme (9), nous déterminerons les accroissements successifs de la fonction u lorsque ce mobile parcourt chacun des arcs infiniment petits AA|, AiAo, . . . , nous multiplierons ces accroissements par les valeurs de v en chacun des points Ci, G2, ... situés respectivement sur ces arcs, et nous formerons la somme des produits ainsi obtenus. D'après ce que nous avons vu, cette somme a ufie limite indépendante du mode de décomposition de l'arc AB en arcs partiels et du choix des points Ci, C3, ... sur ces arcs; pour la* déterminer, il suffit de remplacer v et du par leurs valeurs en fonction de t et de dty et de calculer l'intégrale définie obtenue par rapport à t entre les limites a et p. Nous donnerons à cette limite le nom d'intégrale curviligne étendue à l'arc AB, et nous la représenterons, lorsqu'il n'y a
pas d'ambiguïté, par la notation / vdu.
Si le mobile que nous avons considéré parcourt l'arc AB étk sens inverse du sens primitif, c'est-à-dire de B vers A, l'ordre des limites d'intégration dans l'intégrale définie (il) est interverti ; nous en con-
cluons que la nouvelle intégrale curviligne a une valeur égale et de signe contraire à la première ; c'est ce qu'exprime Tégalité
/ r rfn = — / V du.
Remarques. — Dans une intégrale curviligne / vdu, nous pouvons remplacer la différentielle du par sa valeur a^dx + u'/iy^ et écrire
r/»B vdn = I vul^dx-^vuydy^
car les intégrales sont toutes deux égales à / v[i)n'{t)dt.
Si nous considérons la somme de plusieurs intégrales curvilignes étendues au même arc, nous pouvons réunir d'une part les coefficients de dxy d'autre part ceux de dy^ et mettre cette somme sous la forme
f\[x,y)dx + Q[x,y)dy)
cette manière d'écrire une intégrale curviligne est souvent employée, bien qu'elle ne soit pas indispensable.
Il arrive souvent que l'on considère une intégrale curviligne étendue à un contour fermé ; on suppose que ce contour est parcouru par un mobile dans un certain sens, en partant d'un point déterminé et y revenant; on forme comme dans le cas précédent la somme (9), et l'on détermine sa limite en la ramenant à une intégrale définie telle que (il). Remarquons que l'on obtient la même limite pour la somme (9j en prenant sur le contour un autre point de départ du mobile, pourvu que le parcours ait toujours lieu dans le même sens ; on peut donc représenter sans ambiguïté par la notation I vdu l'intégrale curviligne étendue à un contour C, sans spécifier le point de départ, mais en indiquant toutefois le sens du parcours. Si ce sens est remplacé par le sens contraire, l'intégrale change de signe sans changer de valeur absolue.
380. Exemples, — Gomme exemple d'intégrale curviligne, nous mentionnerons la détermination de la masse totale d'un arc de courbe AB dont la densité en chaque point est une fonction donnée p(a;, y)
des coordonnées de ce point ; cette masse est égale à l'intégrale cuririligne
ds étant la différentielle de Tare et ayant pour valeur ^dx^ -h dy* . Un autre exemple est fourni par l'intégrale curviligne
dx
étendue à un contour fermé C [fig. 135); nous supposerons, pour simplifier, que ce contour ne se coupe pas et qu'il n'est rencontré qu'en deux points par toute parallèle à Oy.
Si un observateur décrivant le contour a toujours l'aire intérieure à sa gauche, nous dirons qu'il se déplace dans le sens direct ; ce sens est indiqué sur la figure par une flèche. Nous allons montrer que l'intégrale curviligne / ydx^ relative au contour parcouru dans le sens
direct, est égale à l'aire intérieure prise négativement.
Soient A et B les points de contact des tangentes parallèles à Ot/, a et 6 leurs abscisses. Nous pouvons décomposer l'intégrale curviligne en une somme de deux autres, étendues l'une
à l'arc AMB et l'autre à l'arc BNA ; t
la première est égale à l'intégrale
/ y^dxy yo étant l'ordonnée d'un
point de l'arc AMB, et a pour valeur
Fig. 135.
Taire aAMB6 ; la seconde est égale à
£y,dx = -£y,dx,
yt étant l'ordonnée d'un point de Tare ANB, et elle est égale à Taire aANB6 prise négativement; nous en concluons que l'intégrale étendue au contour C a pour valeur aire aAMB6 — aire aANB6 , et qu'elle est égale à Taire intérieure au contour prise négativement.
Nous verrions de la même manière que l'intégrale / xdy, prise
586 CALCUL INTÉaftAL
aussi dans le sens direct, est égale à l'aire intérieure au contour; en réunissant ces deux résultats, nous voyons que cette aire peut s'eiprimer par rintégrale
*xdy — y dx
prise dans le sens direct.
Ck>inme application, considérons une ellipse rapportée à ses aies, et supposons que les coordonnées de ses points s'expriment au moyen d'un paramètre t par les formules
x = acos<, 2^ = 6sin(;
cette ellipse est parcourue dans le sens direct lorsque l varie de 0 à 2'jc ; d'aprèç ce qui précède, nous aurons pour valeur de Taire intérieure à la courbe
:dy — ydx C^ab
c'est le résultat trouvé au n® 354.
J'^x dy — ydx C ao ,. .
381. Condition pour qu'une intégrale curviligae ne dépende que des limites du chemin dlntégration. — La valeur d'une intégrale curviligne dépend non seulement des valeurs que prennent x et y aux limites A et B du chemin d'intégration, mais encore de la nature des fonctions x = /*(<), y = <p(i), c*est-à-dire de l'arc suivi entre A et B ; en général, l'intégrale change de valeur quand on fait varier cet arc, quand même les limites A et B resteraient fixes.
Il peut arriver cependant qu'une intégrale curviligne ne dépende que des limites d'intégration et nullement du chemin parcouru entre ces limites; nous allons démontrer à ce propos le théorème suivant:
Théorème I. — Pour que VintégraU curviligne
(12) f\{x,y)dx-hQ(x,y)dy
ne dépende que des limites du chemin d'intégration, il faut el il suffit que la quantité sous le signe d'intégration soit différentielle totale exacte.
i* La condition est nécessaire; supposons en effet que rinfégrale
int^ràles ccrvtugnes 587
(12), prise entre les deux points A et B, ne dépende que des coordonnées de ces deux points ; désignons par (a, b) celles du premier et par (or, y) celles du second ; lorsque ces dernières varient, Tintégrale est une Tonction bien déterminée des deux variables x et y. Représent<Mi9-la par ¥(x, y) et cherchons ses dérivées partieDes.
Donnons à x un accroissement A, y restant constant, et désignons par B' le point de coordonnées (a? -4- A, y); la fonction F(x -h A, y) est égale à Tintégrale curviligne prise entre les points A et B' ; comme elle ne dépend pas du chemin suivi, nous pouvons supposer que Tare d'intégration se compose de Tare d'abord suivi de A à B, puis d'un chemin rectiligne parallèle à Ox de B à B' ; la différence F(a?H- A, y) — F(ic, y) est donc égale à l'intégrale relative à la droite BB'.
Mais, sur cette droite, y reste constant et dy est nul ; nous avons donc simplement
F(x -h A, y) — F(x, y) = ^^* P(x, y)dx ;
cette égalité exprime précisément que la fonction F(a;, y), où x est considéré comme seule variable, est égale à l'intégrale de P(x, y) par rapport à x, ou bien qu'elle a pour dérivée P(xy y). Nous verrions, par un raisonnement analogue, que la dérivée de F(a;, y) par rapport à y est égale à Q(x, y); nous concluons de là que la fonction F(a:,y) a pour différentielle totale la quantité Prfx-f-Qdy, et par conséquent que la quantité sous le signe d'intégration (12) est une différentielle totale exacte.
2" La condition est suffisante; supposons que Pdx-\-Qdy soit différentielle exacte ; nous savons déterminer (n° 375) l'intégrale indéfinie de cette différentielle ; désignons par F(j;, y) l'une quelconque de ses déterminations.
L'intégrale curviligne (12), prise le long d'un arc de courbe AB dont les coordonnées s'expriment au moyen d'un paramètre i par les formules x = f(f)^ y = ^(j[)^ s'obtient, comme nous l'avons vu, en remplaçant x et y par leurs valeurs et intégrant par rapport à t entre les limites a et ^ de ce paramètre ; elle est par suite égale à
588 CALCUL INTÉGBAL
Hais la quantité sous le signe d'intégration est identique à la différentielle par rapport à < de la fonction F[f{i)^ t(0]« P^ ^^^ rintégrale (13) est égale à la différence des valeurs de cette fonction pour f = a et f = p, c'est-à-dire à la différence des valeurs que prend la fonction F(x, y) pour les limites A et B du chemin d'intégration. Nous concluons de là que l'intégrale (12) ne dépend que des coordonnées des points A et B et nullement du chemin suivi entre ces deux points, ce qui démontre la proposition.
Du raisonnement que nous venons de faire, nous déduisons le théorème suivant :
Théorème II. — Une intégrale curviligne de différentielle totale exacte est égale à la différence des valeurs que prend une intégrale indéfinie quelconque de cette différentielle aux limites d'intégration.
Remarque. — L'e:c pression (5) que nous avons obtenue pour l'intégrale indéfinie d'une différentielle totale peut être considérée comme une intégrale curviligne particulière ; le chemin d'intégration est formé : 1** d'une parallèle à l'axe des y joignant le point (a, 6) au point {a,y)\ dx est alors nul, et Q a la valeur Q(a, y) ; 2® d'une parallèle à l'axe des X joignant le point {a, y) au point {x,y)\ dy est alors nul, et P à la valeur P{x^y), On pourrait remplacer ce chemin par tout autre ayant les mêmes extrémités sans changer le résultat.
382. Cas d'an contour fermé. — Si le chemin d'intégration est un contour fermé, l'origine et l'extrémité de ce chemin sont deux points confondus et ont mêmes coordonnées ; nous en concluons le théorème suivant :
Théorème III. — Une intégrale curviligne de différentielle totale prise le long d'un contour fermé est nulle.
Les raisonnements qui précèdent supposent toutefois que l'intégrale indéfinie P(a;, y) de la différentielle totale a une seule détermination, comme cela a lieu par exemple pour l'intégrale xdy-hydx, qui a pour valeur xy-^C. Dans le cas où F{x, y) est susceptible de plusieurs déterminations, il peut arriver que celle qu'elle possède à la fin du chemin d'intégration ne soit pas la même que celle qui correspond à l'origine, et qu'elle en diffère par une constante numérique; alors,
fj
rintégrale relative au contour peut ne pas être nulle, mais être égale à cette constante.
C*est ce qui a lieu pour Tintégrale curviligne
la quantité sous le signe d'intégration a pour intégrale indéfinie arc tg-^ + C, et cette fonction a une infinité de déterminations, qui
diffèrent entre elles d'un multiple entier de tc.
Si Ton prend l'intégrale précédente relativement à un contour n'entourant pas l'origine, l'arc dont la tangente est -^reprend la même
valeur aux deux extrémités de ce contour, et l'intégrale est nulle ; mais si le contour enveloppe l'origine, par exemple dans le sens direct, l'arc
dont la tangente est -^augmente de 2k, et l'intégrale curviligne est
égale à 27c.
383. Cas de trois variables. — Tout ce que nous avons dit sur les intégrales curvilignes s'étend au cas de trois variables x^y^z. Supposons que ces variables soient des fonctions continues
d'un même paramètre ^, et qu'on donne à ce paramètre successive^ ment toutes les valeurs comprises entre deux nombres a et ^ ; en employant une représentation géométrique et considérant x^y et z comme coordonnées d'un point de Tespace, le point (x, y, z) décrit alors un certain arc de courbe AB.
Soient a(x, y, z) et v(x, y,z) deux fonctions continues des variables ; à toute décomposition de l'intervalle (a, ^) en intervalles partiels infiniment petits A^ correspondent une décomposition de l'arc AB en arcs infiniment petits et une somme analogue à la somme (9), de la forme 2t;(x, y, z)Aa(x, y, z). Comme dans le cas de deux variables,
cette somme a une limite, que l'on représente par / v c/a, et que l'on
appelle intégrale curviligne relative à lare AB ; on la calcule en remplaçant V et du par leurs valeurs en fonction de /, et intégrant le résultat par rapport à t entre a et p.
On exprime ordinairement du sous la forme u^x + u^y + 11^1/2 ; toute intégrale curviligne, ainsi que toute somme de telles intégrales se rapportant au même chemin d'intégration peuvent alors être écrites sous la forme
P(x, y, z)dx-hQ{x, y, «)dy-+- R(x, y, z)dz.
Les résultats que nous avons obtenus dans les deux derniers numéroft et les théorèmes I, II et 111 s'étendent sans changement aux intégrales cnrvîKgiies rdblives à trois variables.
384. Travail relaUl à un dâpIaoeoMMâ êmàB un cbamp de forces.
— Un champ de forces est déterminé relativemmt à un mobile si à chaque point M de Tespace correspond un vecteur F reiprésentant en grandeur et direction la force qui s'exerce sur le mobile lorsqu^Qcweape la position M ; ce champ est caractérisé par trois fonctions
qui représentent les projections, sur les axes de coordonnées OÇxyz)^ du vecteur P relatif au point de coordonnées x^ y, 2. Nous supposerons que ce sont trois fonctions continues dans la portion de Tespace où se déplace le mobile et nous n'examinerons que le cas où ces fonctions sont indépendantes du temps.
Pour un dépiaeement infiniment petit du mobile de M en M', on appelle travail élémentaire le produit du déplacement MM' par la pro* ection sur la direction MM' du vecteur force P relatif au point M. 11 est égal à P . MM' . eos(P, MM'), c'est-à-dire au produit géométrique de F et MM' (n** 73); si Ax, Ai/, As sont les projections de MM' sur les axes, la valeur AT du travail élémentaire est, d'après ce que nous avons vu,
AT r= XA« 4- YAy -H Z A« .
Pour un déplacement fini le long d'un arc AB, le travail total est la limite de la somme des travaux élémentaires relatifs aux déplacements infiniment petits successifs dans lesquels on décompose le déplacement total, et il est égal à l'intégrale curviligne
(14) T = rxdx -+- Ydy H- Zdz ;
INTÉGRALES GURVItlGNES 591
on la calcule, comme nous Tavons dit, en la ramenant à une intégrale simple relative au paramètre qui définit le déplacement ; ce paramètre est ordinairement le temps.
Un cas particulier remarquable est celui où Tintégrale (14) porte sur une différentielle totale ; on dit dans ce cas que les forces du champ dérivent d'un potentiel, et Ton appelle fonction potentielle une intégrale de la différentielle totale \dx + Ydy-hZdz; cette fonction, que nous appellerons V(a;, y, z), n'est connue qu'à une constante près.
Dans ce cas, le travail pour un déplacement AB ne dépend pas du chemin suivi, mais seulement des limites, et il est égal à la différence des valeurs de la fonction potentielle pour ces limites. Si (a, 6, c) et (x, y, z) sont les coordonnées de Torigine et de l'extrémité du déplacement, le travail a pour valeur
On appelle surface de niveau ou surface équipotendelle une surface en tous les points de laquelle V(x, j^, z) a une valeur constante donnée ; d'après la formule précédente, le travail pour un déplacement quelconque entre deux surfaces de niveau est égal à la différence des valeurs de V sur ces surfaces, et ne dépend pas du chemin suivi entre elles.
Par chaque point (xq, yo, zq) passe une surface de niveau ; l'équation de cette surface est
V(a?, y , «) — V(«à> yo, zo) = 0 ;
la normale à la surface en ce point a pour paramètres directeurs les valeurs des dérivées
ÔV Y ^v ^V„.
ôx~^' ôy~*' ôz""^'
elle a donc la même direction que le vecteur force relatif au point considéré.
On appelle ligne de forces une ligne telle qu'en chacun de ses points le vecteur force soit dirigé suivant la tangente à la ligne ; il résulte de ce qui précède qu'une ligne de forces est, en chacun de ses points, normale à la surface de niveau passant par ce point.
592 CALCUL INTÉGBAL
Exemple. — Supposons que le champ soit caractérisé par les fonctions
on voit que \dx + Ydy + Zdz est la différentielle totale de la fonction
les* forces dérivent d'un potentiel; les surfaces de niveau V = c*' sont des sphères tangentes à Forigine au plan des xy, et les lignes de forces, qui sont orthogonales à ces sphères, sont des circonférences tangentes à Torigine à Taxe des z.
