INTÉGRALES DE SURFACE TRANSFORMATION DES INTÉGRALES MULTIPLES
385. Intégrale de surface. — Désignons par S une surface fermée simple, analogue à une sphère ou à un tore, ou bien une portion finie de surface, limitée par un contour fermé C, cette portion étant analogue à une calotte sphérique limitée par un cercle.
Soit Oxyz un trièdre de coordonnées rectangulaires auquel est rapportée la surface S ; nous rappelons que pour un premier observateur placé en 0 sur le plan des xy, dans la direction de Ox, le sens positif de rotation est celui dans lequel il faut faire tourner une demi-droite primitivement confondue avec Ox pour Tamener à coïncider avec
Oy en décrivant Tangle --• Avec la disposition habituelle des axes
dans Tespace, c'est le sens de gauche à droite; avec la disposition adoptée en géométrie plane, c'est le sens de droite à gauche, comme en trigonométrie.
Imaginons maintenant un deuxième observateur s'appuyant normalement sur la surface S, d'un côté donné à l'avance, et cheminant sur cette surface ; pour simplifier les énoncés, nous appellerons face positive de S la face sur laquelle il s'appuie constamment, et normale positive en un point la demi-droite comptée sur la normale à partir de ce point et dirigée du côté de l'observateur; par exemple, sur une sphère, nous choisirons comme positives la face extérieure et la normale vers l'extérieur.
Dans le cas où l'on considère une portion de surface limitée par un contour C et un sens de déplacement sur ce contour, on dit que VoGT. — Math. sup. 38
594 CALCUL INTÉCRAL
ce sens est le sens direct ou positif si le deuxième observateur debout sur la face positive de la surface et près du contour voit le déplacement s'efiTectuer sur le contour dans le même sens que celui que nous avons appelé sens positif pour le premier observateur sur Oz .
Cela posé, soit C(^, y^ z) une fonction continue des trois variables X, y, z ; nous allons définir ce qu'on entend par l'intégrale double
(!) JJjXx.y.z)ixdy
étendue à la surface S. Nous nous placerons d'abord dans le cas où cette surface est rencontrée en un seul point par une parallèle à Oz, et nous désignerons par A la projection de son aire sur le plan des Qcy ; z sera une fonction déterminée de a; et y ; nous la supposerons continue et nous rappellerons z = f(x,y).
Nous remplacerons dans C, z par sa valeur en fonction de x,y,
nous calculerons la valeur de l'intégrale double / / C[x,y^f(x,y)]dxdy
étendue à l'aire A du plan des ay, et nous multiplierons le résultat par + i ou par — i suivant que la normale positive à la surface S, choisie comme nous l'avons dit, fait avec Oz un angle aigu ou un angle obtus ; le résultat obtenu sera par définition la valeur de l'intégrale (i), étendue à la surface S .
Désignons par Ad ou da un élément d'aire de S, élément essentiellement positif, par x^y^z les coordonnées d'un point de cet élément, et par y l'angle aigu ou obtus que fait avec Oz la normale positive en ce point ; nous pouvons démontrer que la somme 2 C(^, y^ z) cos f Ao, étendue à tous les éléments de la surface S, a une limite, et que cette limite, que nous désignerons par
(2) /Tc(x,y,z)coSYrf<r,
est égale à l'intégrale (i).
En effet, si y ^^^ ^^gu» 1^ produit cosyAc est positif et est égal à la projection AA de A? sur le plan xOy (n'^SGO); si, au contraire, Y est obtus, ce produit est négatif et est égal à <— AA. Nous avons donc, en remplaçant z par sa valeur,
2 C(x, y , ;:) cos yAc == e 2 C[x, y, f(x, y)]AA ,
S étant égal à -f- 1 ou à — i suivant que y est aigu ou obtus ; en passant à la limite, nous avons Tégalité
/Tg(^» y , 2) cos y rfff = « Il C[a?, y, f(x, y)]dx dy ;
mais le second membre représente dans tous les cas la valeur de Tintégrale (i), par suite, les intégrales (i) et (2) sont toujours égales.
Supposons maintenant que la surface S soit rencontrée en plusieurs points par une parallèle à O2 ; nous la décomposerons en portions rencontrées chacune par une telle droite en un seul point ; nous calculerons la valeur de l'intégrale (i) relative à chacune de ces portions et nous ferons la somme des résultats. L'égalité des intégrales (i) et (2), qui a lieu pour chacune des portions de surface, a encore lieu pour la surface totale S.
Les mêmes définitions et les mêmes raisonnements seraient applicables à des intégrales doubles de la forme
elles se ramènent à des intégrales doubles étendues aux projections des différentes parties de S sur le plan des yz ou sur le plan des zx ; on app^e en général intégrale de surface une somme d'intégrales des formes précédentes, c'est-à-dire une intégrale de la forme
Si a, py Y sont les angles que fait avec les axes la normale positive en un point de la surface S, nous verrions, par un raisonnement analogue à celui que nous avons fait pour les intégrales (1) et (2), que l'intégrale précédente (3) est égale à
ff:
[A(x, y y z) cos a -4- B(a?, y, 2) cos p -+- C(x, y, z) cos y]da .
386. Formules de Stokes et de Gauchy. — Considérons une portion de surface S limitée par un contour fermé C, et sur laquelle est choisie une face positive ; soit une intégrée curviligne
(*) J^K^, y, «yar-h Q(x, y, z)dy ^ R(x, y, z)dz
étendue au contour C dans le sens direct, sens que nous avons précédemment ; nous allons démontrer que cette intégrale est égale à rintégrale double
étendue à la surface S ; nous supposerons toutefois que P, Q, R et celles de leurs dérivées qui entrent dans Tintégrale double soient continues en tous les points de cette surface.
C'est dans Tégalité des intégrales (4) et (5) que consiste la formule de Stokes ; Ampère Tavait déjà rencontrée dans certains cas particuliers. Lorsque la surface S est contenue tout entière dans le plan des xy^ la variable z est nulle, et la formule de Stokes se réduit à Tégalité
(6) f^^i^^yy^-^oi^^y^^y-ffX^-^y
cette dernière porte le nom de formule de Caucby.
Nous commencerons par faire la remarque suivante : supposons que Ton décompose la surface S par des lignes transversales en portions Si , St, ... ; soient Ci, C9, . . . les contours de ces portions parcourus tous dans le sens direct ; si les formules de Stokes ou de Cauchy sont démontrées pour chacune de ces portions, elle seront encore vraies pour la surface totale.
Pour le voir, formons d'abord les intégrales Fig. 136. curvilignes analogues à (4) pour chacun des
contours Q , Cs , . . . et ajoutons-les ; la somme de toutes ces intégrales se compose : i^ de parties relatives aux différentes portions du contour extérieur C, 2® de parties relatives aux lignes transversales tracées sur S ; mais ces lignes, limitant des portions contigûes de surfaces Si, Ss, . . . , sont parcourues deux fois dans des sens opposés, comme le montre la figure 136; par suite, les intégrales correspondantes ont des valeurs deux à deux égales et de signes contraires, et leur somme est nulle ; il ne reste donc que Tintégrale relative au contour primitif C.
Si, d'autre part, on ajoute les intégrales doubles (5) relatives aux différentes portions de surface 81,82, . . . , leur somme est égale à l'intégrale analogue étendue à la surface totale S ; la remarque que nous avons faite se trouve donc entièrement justifiée.
Nous supposerons que la surface S soit décomposable en parties qui sont rencontrées chacune en un seul point par une parallèle à Tun quelconque des axes, à moins qu'elles ne soient parallèles à Tun des plans de coordonnées; de plus, que le contour de chaque partie ne soit rencontré qu'en deux points au plus par un plan parallèle à l'un quelconque des plans de coordonnées ; nous serons certains en particulier que cosa, cos^, cosy gardent des signes constants en tous les points de chaque portion de surface ainsi définie. Nous démontrerons les formules de Stokes ou Cauchy pour une quelconque des surfaces partielles, et elles seront vraies, d'après ce qui précède, pour la surface totale.
387. Démonstration de la formule de Cauchy. — Nous allons démontrer la formule (6) pour une surface du plan des xy, satisfaisant aux conditions simples dont nous venons de parler ; nous la désignerons par S ; nous supposerons son contour C parcouru dans le sens
direct, et nous disposerons la figure comme on le fait ordinairement en géométrie plane (fig. 137).
Soient A et B les points de contact des tangentes à C parallèles à Oy, a et 6 les abscisses de ces points ; soient y^ et Vi Qfi > yo) les ordonnées des points Mo et Mi du contour ayant même abscisse X.
Prenons d*abord l'intégrale / P(a?, y)dx ; elle est égale à la somme
de l'intégrale de ?(x, y©) prise le long de AMoB, et de l'intégrale de ?(x, y,) prise le long de BMi A ; en changeant le signe et le sens de la
Fig. 137.
dernière, nous pouvons écrire
j^P(x, yyix = ^£ [pCx, y.)- P(x, yo)]rfx.
Mais nous pouvons remplacer la différence P(x,yi)— 'P(x,yo) par l'intégrale de la différentielle de P par rapport à y, intégrale prise entre y^ et j/i, c'est-à-dire entre M« et Mi, et écrire
p(x,y.)-P(«,».)=y^'grf»;
nous avons donc
Le dernier membre n'est autre que la valeur de l'intégrale double — Çj—dxdy étendue à Taire A (n« 365).
Si nous opérons de même pour Tintégrale LQ(x^ 9)^9 « ®^ ^^^^'
vertissant le rôle de â? et de y, nous verrons qu'elle est égale à Tin-
tégrale double / / r^dxdy étendue à la même aire, mais prise cette
fois avec le signe +. Si nous réunissons les résultats, nous trouverons finalement la formule cherchée :
^P(x,y)rfx-HQ(x,î,yy=j^(^-|)rfa:dj,.
Remarque. — Si Pdx -+- Qdy est une différentielle totale eiacte, l'élément différentiel de l'intégrale double est nul, et cette intégrale est nulle ; l'intégrale curviligne du premier membre est donc également nulle. C'est le résultat déjà obtenu au n° 382.
888. Démonstration de la formule de Stokes. — Nous allons faire un raisonnement analogue pour démontrer dans l'espace l'égalité des intégrales (4) et (5); nous supposerons que la surface et son contour. que nous appellerons S et G, satisfont aux conditions simples dont nous avons parlé et, pour fixer les idées, nous nous placerons dans le cas où les angles a, p, f de la normale positive avec les axes de coordonnées sont aigus ; le raisonnement serait le même dans les autres cas.
Transformons d*abord Tintégrale
J?{x,y,z)da
soient (fig. 138) A et B les points de contact des plans tangents au contour parallèles aa plan yOz^ et soient a et 6 les abscisses de ces points, b étant supérieur à a .
ït.
Désignons par Mo et Mi les points du contour ayant une abscisse donnée x , Mo étant le premier de ces points que Ton rencontre lorsqu'on décrit le contour C à partir de A dans le sens direct ; désignons par yo et z© l'ordonnée et la cote du premier, par y^ et Zx celles du second ; d'après les hypothèses faites, on a t/o < yx et Zq > z^ .
L'intégrale j Pdx est égale à la somme de deux intégrales analogues prises, Tune le long de AMoB, Tautre le long de BM|A ; cette dernière est égale à Tintégrale prise le long de AMiB et changée de signe ; nous pouvons donc écrire
J^ P (x, y,z)dx = — J^ [P (a?, i/i, «i) — P (x, yo, «o)] dx. Désignons par MqNMi la courbe de section de la surface S par
600 CALCUL LNTÉGRAL
le plan perpendiculaire à Taxe Ox et d'abscisse x; la différence P(x, yi, Zi) — P(x,yo,zo) est égale à Tintégrale de sa différentielle totale par rapport à y et z, entre les limites yo ^o et y^ Si \ ou bien à rintégrale curviligne de cette différentielle le long de Tare MoNMi ; nous avons donc :
P(x.y.,zO-P(x,yo,=.) = j[^'grfy-4-^rf=; il en résulte, en séparant en deux parties l'intégrale précédente,
La première intégrale du second membre est la valeur de l'intégrale double / / •— dxdy étendue aux éléments d'aire intérieure à la projection A'MoB'M( de l'aire S sur xOy, mais la seconde est la valeur changée de signe de l'intégrale double / / —dxdz étendue aux éléments de la projection A' MS B'^ M[ de S sur zOx parce que, comme nous l'avons vu, zq est supérieur à Zi. En nous reportant aux définitions que nous avons données au numéro 385, les deux intégrales doubles précédentes sont identiques, dans le cas actuel, aux intégrales de surface de même forme étendues à la surface S ; nous avons donc l'égalité
Par permutation circulaire des lettres, nous transformerons les deux autres parties de l'intégrale (4) en intégrales doubles analogues aux précédentes, et, en faisant la somme des trois égalités, nous aurons
ce qui est la formule de Stokes.
Remarque. — Si Pcte -f- Qrfy -f- Rrfz est différentielle totale, tous les termes de l'intégrale (5) sont nuls ; par suite, l'intégrale (4) étendue à un contour fermé est nulle, en supposant toutefois que les
fonctions P, Q, R et leurs dérivées soient continues en tous les points d'une surface limitée par le contour ; nous retrouvons ainsi le théorème III du n"" 382.
389. Cas où une Intégrale de surface ne dépend que du contoui*. — Toute intégrale de surface de la forme (3) ne peut pas toujours être identifiée à l'intégrale (5); il faut pour cela que Ton puisse trouver trois fonctions P, Q, R telles que Ton ait les égalités
nous concluons de là que Ton doit avoir identiquement
ôo: ôy àz
Cette condition, qui est nécessaire, est aussi suffisante, car si A, B, C sont liés par cette relation, on vérifie que les fonctions
P = 0, Q = fjc(x,y,z)dx, R = — ^' B(a:, y, z)dx -i- ^' A(a, y, z)dy
forment une solution des équations (7) ; on en obtient du reste d'autres en ajoutant respectivement à ces fonctions les dérivées partielles d'une fonction quelconque par rapport à x, y et z.
Lorsque la condition (8) est remplie, l'intégrale (3), qui est identique à (5), peut être remplacée par l'intégrale curviligne (4) étendue au contour de la surface S ; elle ne dépend donc que de ce contour ; nous en concluons ce résultat :
Une intégrale de surface (3), dans laquelle les fonctions A, B, C satisfont à la relation (8), ne dépend que du contour de la surface d'intégration, et ne change pas lorsque cette surface varie en conservant le même contour.
Exemple. — Considérons^ l'intégrale
* X dy dz "h y dz dx "h z dx dy
étendue à une surface S limitée par un contour C ; on vérifie que
les fonctions À, B, C qui entrent sous le signe d'intégration satisfont à la relation (8), par suite l'intégrale ne dépend que du contour G.
Elle a une signification géométrique simple ; soient a, p, y les angles que fait avec les axes la normale en un point M de la surface, et a', p'y y' ceux que fait avec les mêmes axes le rayon OM allant de Torigine au point M ; soit enfin r la valeur du vecteur OM ; on a
r = v/a;*-l-y*-+-2*, cosa=--7 cosp' = ^i cosy'
En introduisant les valeurs précédentes, et en remplaçant dy dz, dz dx et dx dy par cos a dtr, cos ^ da et cos y da^ l'intégrale s'écrit sous la forme
(cos g cos ft' •+■ cos p cos p^ -f- cos Y cos YQch
ou bien, en appelant V l'angle de OH avec la normale en M,
* cos V rfff
ip
Le numérateur est la valeur de la projection de l'élément d'aire da sur un plan passant par M et perpendiculaire à OM ; la fraction placée sous le signe d'intégration représente la valeur d'un élément
d'aire semblable à cette projection, le rapport de similitude étant — ;
on en conclut qu'elle est égale à la portion d'aire découpée sur la sphère de centre 0 et de rayon égal à l'unité par un cône ayant pour sommet le point 0 et pour base l'élément dts de la surface S.
L'intégrale elle-même est la somme des éléments de cette sphère correspondant aux éléments de S ; elle est égale à l'aire de la portion de sphère découpée par le cône ayant pour sommet l'origine et pour directrice le contour C de la surface ; on l'appelle angle solide compris dans ce cône.
390. Formule d'Ostrogradsky. — Ëtant donnée une surface fermée S, enfermant le volume V, et trois fonctions A, B, C, continues ainsi que leurs dérivées pour tous les points de ce volume, nous allons montrer que l'intégrale de surface
(9) rr kdydz-i-Bdzdx-hCdxdy
INTÉGRALES DE SUBPACE
étendue à la face extérieure de la surface S est égale à Tintégrale triple
étendue au volume V:
c'est régalité de ces deux intégrales qui constitue la formule d'Ostrogradsky.
Supposons que la surface S soit coupée en deux points Mo et Ml par toute sécante parallèle à Oz, et que z^ et Zi soient les cotes de ces deux points, Zi
étant supérieur à zq- D'après
^ Thypothèse faite sur la direction
de la normale, celle-ci fait en Mi un angle aigu avec Oz, et en Mo un angle obtus {fig. 139) ; nous en concluons que Tintégrale
de surface jjQdxdy est
Fig. 138.
égale, d*après sa définition (n*' 385), à l'intégrale double ff^[(X^^ y, z,) — C(a?, y, zo)]dx dy
étendue à tous les éléments positifs dont se compose la projection A de la surface S sur le plan des xy. Mais la différence qui est entre crochets est égale à l'intégrale
ÔC .
en la remplaçant par cette valeur, nous avons comme résultat
Jï'""'=fj?"'f:f."=ffjlp.'"'y''-
Nous établirions de même les relations transformant en intégrales triples les deux autres parties de l'intégrale de surface ; en ajoutant
les résultats, nous avons Tégalité
(il) Il Adydz-^Bdzdx-^-Cdxdy
qui est la formule à établir.
La démonstration suppose que la surface S n'est rencontrée qu en deux points par toute sécante parallèle à Tun des axes ; il est facile de s'affranchir de cette restriction. Lorsqu'elle n*est pas remplie, on décompose le volume V en d'autres partiels Vi, Vt, . . . par des surfaces intermédiaires intérieures au volume primitif, de telle manière que les contours des nouveaux volumes ne soient coupés qu'en deux points par une parallèle aux axes.
Si l'on applique la formule d'Ostrogradsky à chacun des volumes, et si l'on fait la somme des résultats, la somme des intégrales de volume (9) n'est autre que la valeur de cette même intégrale pour le volume total ; d'autre part, la somme des intégrales de surface (8) se compose: l"" de la portion relative à la surface primitive S entourant le volume total; 2* des portions relatives aux surfaces intermédiaires; mais l'on voit, en raisonnant comme dans le cas de la formule de Stokes, que ces surfaces limitent chacune deux volumes contigus, et que l'on doit prendre la normale successivement dans des sens opposés ; les intégrales de surface correspondantes ont ainsi des valeurs deux à deux égales et de signes contraires, et leur somme est nulle. La formule se trouve ainsi démontrée dans tous les cas.
Remarque. — Lorsque A,B, C satisfont à la relation (8), le second membre de la formule (il) est nul, et le premier membre est aussi nul ; nous avons donc ce résultat :
Lorsque les fonctions A, B, C satisfont à la condition (8), l'intégrale de surface (9) étendue à une surface fermée est nulle,
SM. Formule de Green. — Si nous appliquons la formule (il) aux fonctions particulières
ôx 5y Oz
U et V étant des fonctions données, continues ainsi que leurs dérivées premières et secondes dans un volume donné, nous avons
On simplifie récriture en introduisant dans la dernière intégrale du second membre le symbole AV pour représenter la somme
ôx* ôy* ôis*
en remplaçant dans la parenthèse du premier membre dy dz^ dz dx^ dx dy par les produits cos a cfa, cos p dfSy cos y d<5^ comme au n* 385, cette parenthèse devient
( r— COS a -+- -— cos B -h r— COS Y I dff .
\ ôx ^y ^ ^z ' /
dy
On représente le coefficient de d(s par -p- , et on rappelle déan
rivée de V suivant la normale à la surface ; la raison de cette dénomination est la suivante : considérons un déplacement dn sur la normale ; la différentielle totale c/V de la fonction V relative à ce déplacement a pour valeur
d V = — dx -H — - (/y -f. T- da
ôx ôy ^ ôz
mais cfx, dy et dz sont les projections sur les axes du déplacement dn sur la normale, et ont pour valeurs
dx = dn cos a, dy =^ dn cos p, dz = rfn cos y J
nous avons donc
^ /ôV . ÔV û L ^V \ ,
oV = ( -— cos a -4- -- cos B -f- —- cos Y ) dn, \ôx ôy ^ bz I
rfV et nous voyons que -r- est égal au coefficient de d^s. Avec ces notations, an
la formule primitive devient
UAVi/xrfyrfx.
Si nous changeons U en V et V en U, et si nous retranchons membre à MMnbre la nouvelle relation de la précédente, nous trouvons régalité
c'est la formule de Green. Remarquons qu'elle est établie ai supposant que Ton prenne la normale extérieure à la surface fermée donnée; si Ton prend la normale intérieure, il faut changer le signe du premier membre.
