SEPTIÈME PARTIE
392. Formation des équations différentielles* — Considérons une fonction y d'une variable x, définie par une équation renfeimant un paramètre arbitraire G; si nous éliminons ce paramètre entre Téquation donnée et celle que Ton en déduit en égalant les dérivées ou les différentielles des deux membres, nous obtenons une relation entre la variable ar, la fonction y et sa dérivée y' ou bien entre les deux variables x^ y et leurs différentielles du premier ordre dx et dy ; cette relation est indépendante de G et elle est satisfaite par toutes les fonctions y obtenues en donnant des valeurs différentes à ce paramètre ; on rappelle équation différentielle du premier ordre. Exemple, — Soit la fonction y définie par Téquation
(1) y* = 2Cx,
où G est un paramètre arbitraire ; en différent! ant cette équation, on a
2ydy^2Qdx,
et en éliminant G entre les deux relations, on obtient Téquation différentielle
(2) 3/dx — 2xrfy:=0;
on peut la mettre, en divisant par dx^ sous la forme suivante, équiyalente à la première,
elle représente alors une relation entre la variable a;, la fonction y
et sa dérivée -M- • dx
398. Problème inverse. — Toute fonction y qui satisfait à une équation différentielle donnée du premier ordre s'appelle une solution de cette équation ; intégrer une équation différentielle, c'est en rechercher toutes les solutions.
La solution qui renferme une constante arbitraire s'appelle solution générale ; celles qui s'en déduisent en donnant à la constante des valeurs numériques particulières s'appellent solutions particulières) s'il existe d*autres solutions non renfermées dans la solution générale, on les appelle solutions singulières.
Parmi les solutions particulières, on a souvent à considérer celle qui se réduit à une valeur donnée i/o pour une valeur donnée Xo de la variable ; il est facile de la déduire de la solution générale ; il suffit en effet d'écrire que la relation qui définit cette solution est satisfaite pour x = Xo et i/ = i/o ; on obtient de cette façon une équation fournissant la valeur numérique qu'il faut attribuer à la constante C.
En remplaçant dans la solution générale C par cette valeur, on obtient la solution particulière cherchée ; on dit que Xq et j/o constituent les conditions initiales de cette solution particulière.
La relation qui définit la solution générale est quelquefois résolue par rapport à la constante arbitraire, et mise sous la forme F(x, y) = C ; on dit alors que F(a;, y) est ime fonction intégrale ou simplement une intégrale de l'équation différentielle.
En considérant x et y comme les coordonnées d'un point d'un plan, toute solution d'une équation différentielle est représentée par une ligne de ce plan; l'équation différentielle elle-même est une relation qui existe, pour toute ligne représentative d'une solution, entre les coordonnées (x, y) d'un quelconque de ses points et le coefficient
angulaire -^ de la tangente en ce point. La solution générale est
fournie par une équation qui représente une famille de courbes, lorsqu'on donne à la constante qui entre dans cette solution générale toutes les valeurs possibles ; définir une solution particulière par les conditions initiales (Xq, j/o) revient à choisir la courbe de la famille qui passe par le point (a;Q, yo).
L'enveloppe des courbes de la famille représentée par Téquation générale est une ligne qui satisfait à Téquation différentielle ; en effet, en chacun de ses points, elle est tangente à une certaine courbe de la famille dont ce point est le point caractéristique (n^ 288) ; les coordonnées de ce point et le coefficient angulaire de la tangente sont les mêmes pour l'enveloppe et pour Ten vélo ppée. Comme, pour cette dernière, ces quantités satisfont à Téquation différentielle, il en est de même pour la ligne enveloppe ; celle-ci constitue donc une solution de Téquation différentielle ; elle ne fait pas partie de la famille représentée par la solution générale, elle est donc une solution singulière.
Il résulte de là que la solution singulière d*une équation différentielle est fournie par Tenveioppe de la famille de lignes représentée par la solution générale ; on l'obtient en éliminant la constante arbitraire C entre l'équation qui définit cette solution et la dérivée de cette équation par rapport à C.
Exemple. — L'équation différentielle
admet pour solution générale la fonction définie par Téquation
y» = 2Gi: — C»;
en éliminant C entre cette équation et sa dérivée par rapporta C, ou en écrivant qu'elle a par rapport à C une racine double, nous trouvons la relation y* — a?* = 0, qui fournit les deux solutions y = x et y = — x. Elles ne rentrent pas dans la solution générale et cependant satisfont à réquation différentielle ; elles en constituent des solutions singulières. Il peut arriver que les raisonnements précédents soient en défaut ; c'est ce qui a lieu par exemple si le point caractéristique d'une courbe enveloppée est un point singulier de cette courbe. Il est bon de s'assurer dans chaque cas si la fonction y définie par le procédé de calcul VoGT. — Math. sup. 39
des courbes enveloppes est bien une solution de Téquation différentieUe.
394. Procédés d'Intégration. Cas des différenUelles totales. — Il
n'existe pas de procédés généraux d'intégration des équations différentielles ; ce n'est que dans des cas simples que Ton peut former la solution générale au moyen des fonctions connues.
Un procédé plus théorique que pratique permet ordinairement de former, au moyen d'un développement en série, la solution particulière relative à des conditions initiales données (xq, j/o); ^Ue est représentée, d'après la formule de Taylor, par la série
L'équation donnée fournit -^ en fonction de a; et de y; ses dérivées
successives permettent de calculer les dérivées successives de y, et on en déduit les coefficients successifs du développement en remplaçant X et 2^ par xo et j^o- Ce procédé peut être en défaut pour des valeurs particulières de a;o, yo-
Lorsqu'on peut exprimer x et y ou bien une fonction intégrale au moyen d'intégrales définies ou indéfinies, on dit que l'intégration est ramenée aux quadratures, et l'on considère comme résolu le problème de la recherche des solutions de l'équation différentielle donnée ; on sait en effet calculer numériquement une intégrale définie ; on peut donc déterminer la valeur de chaque solution y pour chaque valeur numérique de la variable x.
Lorsque l'équation différentielle a la forme
(5) P(x, y)dx -+- Q(a:, y^dy = 0
et que le premier membre est une différentielle totale exacte, il suffit, pour obtenir la solution générale, d'égaler à une constante arbitraire l'intégrale indéfinie du premier membre ; on sait exprimer cette intégrale par des quadratures (n^ 375), et elle constitue une intégrale de l'équation différentielle.
Si le premier membre n'est pas différentielle exacte, il peut arriver que l'on puisse calculer une fonction M(x, y) telle que le produit par
M de P(/x + Q{/y devienne difTérentielle exacte; on est alors ramené à des quadratures. La fonction M(x, y) est appelée fadeur intégrant,
395. Cas où les variables se séparent. — Lorsque dans Téquation (5) P ne dépend que de a; et Q que de y, c'est-à-dire lorsque Téquation difTérentielle a la forme
P(a:)</x-hQ(yyi/ = 0,
on dit que les variables sont séparées ; le premier membre est la différentielle exacte de la somme des intégrales indéfinies de ses deux termes, et la solution générale est fournie par Téquation
fP(x)dx-^fQ(yyy = C.
Le cas le plus simple est celui où Téquation est de la forme y' = f(x) ou rfy = /'(a;)c/x; sa solution générale est alors l'intégrale indéfinie de f(x), c'est-à-dire
y=ff(x)clx^C.
En Gbimie, on étudie le temps nécessaire à une transformation ou à une réaction ; le cas le plus simple est le suivant : supposons que Funité de volume d'une substance qui se transforme seule possède à l'instant initial a molécules, et que x de ces molécules se soient transformées pendant le temps t ; on appelle vitesse de la trans-
qX
formation le rapport —r- ; les expériences montrent que cette vitesse
est proportionnelle au nombre a — x des molécules non transformées. 11 existe alors entre x et ^ une équation différentielle telle que
OÙ k est une constante ; pour l'intégrer, on l'écrit sous la forme
les variables sont séparées, et la solution générale est donnée, en inté-
grant les deux membres, par Téquation
W = log(a — a?)-hC,
C étant la constante arbitraire.
Proposons-nous d'obtenir la solution particulière qui correspond à X = 0 pour < = 0 ; en introduisant ces valeurs dans la relation précédente, elle donne G = log a, d'où nous déduisons la relation cherchée
kl = log a — log (a — x) == log
OU, en remontant des logarithmes aux nombres, a
Ck>mme autre exemple, considérons Téquation (2) du n"" 392 ; en récrivant
les variables sont séparées, et son intégrale est donnée par
21ogy — logx = C;
si nous représentons par log2C' la constante qui entre au second membre, et si nous remontons des logarithmes aux nombres, nous obtenons, pour définir la solution générale, la relation y' = 2C'x; elle est identique à Téquation (i) qui avait conduit à Téquation difTérentielle.
396. Équation homogène. — Lorsque dans Téquation (5) P et Q sont des fonctions homogènes de x et y ayant même degré d'homogénéité, on peut par un changement de variable se ramener au cas précédent. Si Ton divise P et Q par une puissance de x égale au degré d'homogénéité, et si l'on met en évidence dans ces fonctions le rapport
^, on écrit l'équation sous la forme
(6) P,(|.)rfx + Q,(|)ofi, = 0;
on pose alors —= t, c'est-à-dire y = te, d'où dy = xdl-hldx;
«a remplaçant y et dy par ces valeurs, Téquation (6) devient
PiCO dx -4- Qi(0 (xdt^t dx) = 0, ou bien
[Pi(0 -+- Qiifitytx -^ Q,(<>r dt = 0.
On peut séparer les variables et écrire cette équation sous la forme
dx Çjjiyit X ^Pi(0+Qi(0^~ '
on est alors ramené au cas précédent et l'intégration est possible par qtiadratures ; il suffît de remplacer t par ^ dans le résultat pour
avoir une intégrale de Téquation différentielle donnée et en déduire la solution générale.
397. Équation linéaire. — On appelle ainsi une équation entière et du premier degré par rapport à y et -^ ; on peut toujours la ramener à la forme
OÙ P et Q sont des fonctions données quelconques de x) nous allons montrer que Ton peut toujours intégrer une telle équation.
Considérons d'abord le cas où QÇpc) est nul ; Téquation est dite linéaire et homogène ou bien sans second membre ; en récrivant sous la forme
les variables sont séparées, et nous trouvons immédiatement Tintégrale suivante, où log G désigne une constante arbitraire,
log y -4- J P(x) dx = log C ;
nous en tirons, en remontant des logarithmes aux nombres, la solution générale
(8) y=:Ce-/P^'>'^.
Ck>nsidérons le cas général où le second membre n'est pas nul ; on intègre ordinairement l'équation (7) par la méthode suivante que Ton appelle méthode de variation des constantes arbitraires.
On commence par intégrer Téquation homogène obtenue en supprimant le second membre; sa solution renferme une constante arbitraire G, comme l'indique Téquation (8). On suppose alors que C représente non plus une constante, mais une fonction de a;, et Ton cherche à déterminer cette fonction par la condition que l'expression trouvée satisfasse à Téquation donnée (7).
Nous allons appliquer cette méthode à un exemple. Soit Téquation
que nous pouvons écrire, en la mettant sous la forme (7),
dx X ^ X
Supprimons le second membre ; nous avons Téquation
dy 2 ^ dy 2dx ^
dx X *' y X
dont la solution est fournie par la relation
^ogy — 21oga; = logC, d'où y=Cx*.
Considérons alors, dans cette valeur de y , G comme une fonction inconnue de X, et remplaçons, dans l'équation totale donnée, y
par Cx* et -7^ par -7— x* -h 2Gr ; nous avons, toutes réductions dx ax
faites,
de x*—3
dx x'
Nous en déduisons
c désignant une constante. Il suffit alors de remplacer C par cette
valeur dans l'expression de y pour obtenir la solution générale
y = X* log X -h — -4- C'x* .
Les équations différentielles de la forme
dites de Bernoa//i, se ramènent aux équations linéaires en les divisant par y", et prenant y*-'» = z comme nouvelle fonction inconnue.
398. Équatton de Glalraut. — On appelle ainsi une équation différentielle de la forme
f étant une fonction ne renfermant que la dérivée de ^ . La solution
générale s'obtient simplement en remplaçant -^ par une constante arbitraire C , et elle est
y = Ca;-h/'(C);
cette équation représente en effet une famille de droites; pour une
quelconque d'entre elles, --^ est égal à G, par conséquent Téquation dx
(9) est identiquement satisfaite.
L'enveloppe de cette famille de droites fournit, comme nous l'avons ^11 au n^ 393, une solution singulière de Téquation différentielle; dans le cas actuel, cette solution est plus importante que la solution générale.
Plus généralement, si l'on a une équation renfermant linéairement a; et y , de la forme
la méthode d^intégration consiste à prendre comme variable auxiliaire la dérivée -^ » que l'on représente par p\ a; et y sont alors donnés en fonction de p par le système des deux équations
En différentiant la seconde, et remplaçant dy par sa valeur fournie par la première, nous obtenons entre xtip l'équation suivante :
pdx = P(p) dx + \x P'(p) + Q'(/>)] dp ;
dx elle est linéaire en x et -r— ? et peut être intégrée ; lorsque x est
déterminé en fonction de />, la deuxième équation (il) fait connaître y.
