CHAPITRE II ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D'ORDRE SUPÉRIEUR
399. Formation des équations différentielles. — Considérons une fonction y d'une variable a:, définie par une équation renfermant n paramètres arbitraires indépendants Ci, Ct, . . . , C^; si nous éliminons ces n paramètres entre cette équation et ses n premières dérivées, nous obtenons une relation entre x^y et ses n premières
dérivées --7^ » -^ » • • • » -^^ ; elle est indépendante des paramètres dx cix ux^
et est satisfaite par toutes les fonctions obtenues en donnant à ces paramètres des valeurs quelconques; on l'appelle équation différentielle d'ordre n.
Exemple. — Soit la fonction y définie par la relation
(i) y = Cl cos nx -h Ca sin nx
renfermant deux paramètres Ci et Cs; en formant les deux premières dérivées de Téquation (1)
-~^ = — nC, sin nx -h nCi cos nx ,
—-2^ = — n^d cos nx — n^Cj sin nx, ax*
et éliminant Ci et C2 entre les trois relations, nous obtenons Téquation différentielle du second ordre
400. Problème inverse. — Ëtant donnée une équation différentielle d'ordre n , on appelle solution générale de cette équation une fonction qui y satisfait et qui renferme n constantes arbitraires indépendantes ; les fonctions qui s'en déduisent en donnant aux constantes des valeurs numériques particulières sont appelées solutions particulières ; les autres solutions, s'il en existe, sont appelées solutions singulières.
Lorsque Ton connaît la solution générale
(3) y = (p(x, ce,, ... C„)
dune équation d'ordre n, on peut trouver une solution particulière qui prend, ainsi que ses n — 1 premières dérivées, des valeurs données
pour une valeur donnée x = Xq de la variable. Formons en effet les n — i premières dérivées de la fonction (3), et écrivons que cette fonction et ses n — 1 dérivées prennent pour a; = o^o les valeurs données, nous avons n équations qui permettent de calculer les valeurs numériques de Ci , 62, . . . , G»; il suffit alors de porter ces valeurs dans Téquation (3). Lorsqu'on effectue ce calcul, on dit que l'on impose à la solution les conditions initiales définies par jfoy yo, . . . , yo^""^^-
Considérons par exemple la fonction (i) qui est la solution générale de l'équation (2) ; cherchons la solution particulière qui se réduit à t/« et dont la dérivée a la valeur yi pour x = Q.
L'équation (i) et sa dérivée nous donnent, pour x = Q, yo = Ci , t^^r=nC2; nous déduisons de là les valeurs de Q et Ca, et nous obtenons la solution particulière cherchée
(4) y = yo cos nx-h^ sin nx .
Comme autre exemple, considérons un point mobile de masse m se déplaçant sur une droite Ox, et soumis à une force ayant la direction de cet axe ; cette force peut dépendre de l'abscisse x du mobile,
dx de sa vitesse -tt- i et même du temps ; nous représenterons sa valeur
par ^H^i^^jf ' M' D'après le principe fondamental de la dynamique, le produit de la masse du mobile par son accélération -^t-^ (p? 135) est égal à la valeur de la force ; nous avons donc la relation
C'est une équation différentielle du second ordre dont la solution générale dépend de deux constantes arbitraires ; les solutions particulières s'en déduisent en donnant deux conditions initiales ; généralement on donne la position initiale du mobile et sa vitesse initiale, c'est-à-dire
dx les valeurs de x et de —7— pour 1 = 0.
401. Exemples dlntégration. — Â l'exception de certaines catégories d'équations simples, comme les équations linéaires à coefficients, constants, il n'existe pas de procédés généraux pour intégrer les équations différentielles d'ordre supérieur.Théoriquement, on peut, comme au n^" 394, former un développement en série de Taylor de la solution générale, en se donnant à l'avance les valeurs yot J/oj •••» yo^"~*^ et en calculant les coefficients suivants d'après l'équation donnée et ses> dérivées; mais ce procédé est peu pratique.
On cherche en général à ramener l'intégration d'une équation d'ordre supérieur à celle d'équations successives d'ordre moindre, en particulier à celle d'équations du premier ordre ou à des quadratures.
Supposons qu'en partant d'une équation d'ordre n, on forme une autre équation d'ordre n — 1 renfermant une constante arbitraire, et satisfaite par toute solution de la première ; cette équation, résolue par rapport à la constante, fournit une intégrale première de l'équation donnée. Nous allons indiquer quelques exemples.
l"" Considérons l'équation (2), et cherchons à la ramener à une équation du premier ordre ; si nous multiplions les deux membres par
2 — ^ » nous formons la relation dx
dont le premier membre est la dérivée de (-J^ ) -hn^y*; cette dernière
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES d'oRDRE SUPÉRIEUR 619
quantité est par suite une constante et constitue une intégrale première. En désignant par n^yl une constante arbitraire, nous avons
nous en tirons
(|^)V„y = „«yj;
-^ = t/«*(yî-y*).
C'est une équation du premier ordre ; pour Fin tégrer, nousTécrirons^ en séparant les variables,
/ , -^ = nax:
en intégrant les deux membres, et représentant par — no^o une deuxième constante arbitraire, nous aurons
arc sin -^- = nx — nx^ :
nous obtiendrons finalement, en prenant les sinus des deux membres,
(5) y = yosinn(x — xo);
c'est une autre forme de la solution générale qui a déjà été donnée parla relation (i).
2* Ce procédé de réduction à des équations d'ordre moindre s'applique immédiatement à une équation de la forme
il suffît d'effectuer n quadratures successives, en ajoutant chaque fois une constante arbitraire ; nous avons de cette façon
rfx"
^^ = Cdx CfQc) dx-h CiX H- Cj,
dx^
et ainsi de suite.
i^ Il s'applique aussi à une équation où y n'entre pas. Si l'on a
620 ÉQUATIOxNS DIFFÉRENTIELLES
par exemple une équation entre ^^^ et -r-^^ on la considère comme une équation du premier ordre par rapport à la fonction inconnue T^- Lorsqu'on a intégré cette équation et exprimé -^ en fonction de x^ «on obtient y par une quadrature.
402. Cas où X n'entre pas dans réquatlon. — Lorsque Téquation ne renferme pas a?, on prend comme variable la quantité y, etron
considère la dérivée -^ comme fonction de 1/ ; on la représente par p
comme au n^ 398. Les dérivées successives de y par rapport à x s'expriment au moyen de p et de ses dérivées par rapport à la nouvelle variable j^ par les équations
dv ^^ dx*~dx~dydx~'dyP'
d^y d^ /djp \d /dp
dx^ dx^ '
et ainsi de suite.
Remarquons que les dérivées nouvelles au moyen desquelles s'expriment les dérivées primitives de y sont toujours d'un ordre au moins inférieur d'une unité à l'ordre de celles-ci ; si donc nous introduisons les valeurs (6) dans une équation d'ordre n entre y et x, nous obtiendrons une équation d'ordre n — 1 seulement entre p et y.
Supposons qu'on ait intégré cette équation, et que sa solution soit
P = ?(y) y ^^ remplaçant alors p par -^ » nous obtenons entre x et y la relation du premier ordre
^ = <p(y), ou d^ = -^y
et la solution de l'équation proposée est exprimée par la quadrature
Nous allons appliquer cette méthode à Téquaiion
en remplaçant les dérivées par leurs valeurs (6), nous obtenons Téquation du premier ordre
le premier membre est divisible par p ; nous avons ainsi la solution
particulière p = 0 ou-t^ = 0, qui donne y = C'*. En supprimant
le facteur p , il nous reste une équation dont les variables se séparent^ et que nous pouvons écrire
dp ^dy p-2 y'
En intégrant, et représentant par log Ci une constante, nous avonslog(/> — 2) = logy-|-logCi, p — 2 = Ciy.
Ayant la valeur de p qui représente -^-^ nous n*avons plus qu'à intégrer Féquation du premier ordre
^=:C.y + 2, OU dx = .^^;
en désignant par — logCj une deuxième constante, nous avons
x = ^[log(Qy-4-2) — logCJ,
d'où nous tirons
Qy + 2 = CacC**.
408. Équations linéaires et homogènes. — Une équation différentieUe linéaire et homogène d'ordre n est une équation de la forme
où ao, ai, ... On sont des quantités constantes ou des fonctions de X seul ; on peut faire sur les solutions d*une telle équation les remarques suivantes :
1° Si j/i est QM solution quelconque, le produit dyi de cette solution par une constwte Ci est encore une solution, car le résultat de substitution de Gi^i dftQS le premier membre de (7) est égal au produit de Cl par le résultat 4e substitution de yt, et il est nul.
2^ Si jfi et yi sont deux solutions quelconques, la somme Cij^i + C^2 est encore une solutioft^ car le résultat de substitution de cette quantité dans le premier membre 4e (7) est la somme des résultats de substitution de Qi^i et de C^, et il est nul d'après ce qui précède.
Plus généralement, si Ton parvient à détermuer n solutions particulières yi.ytt • . . , i/m de Téquation (7), un nisonncment identique au précédent montre que la fonction
(8) y = Ciyi -4- Cîy, + . . . + C„y„
est encore une solution.
Cette solution renferme n constantes arbitraires Ci, Ca, . . . C»; on ne peut pas toujours affirmer cependant qu'elle est la solution générale deTéquation différentielle, car si les fonctions yi,yt, . . . y« ne sont pas indépendantes, le nombre des constantes réellement distinctes peut être inférieur à n .
Pour que y soit la solution générale, il faut et il suffit qu'on puisse choisir les constantes Ci, Ci, . . . , C^ pour que y satisfasse à des conditions initiales données quelconques, ou bien que, pour une valeur arbitraire x© de la variable, y et ses n — 1 premières dérivées prennent des valeurs données à Tavance.
En écrivant ces conditions à l'aide de l'équation (8) et de ses n — i premières dérivées, on obtient n équations pour déterminer les inconnues Ci,Cs, . . . C»; le déterminant des coefficients de ces inconnues est la valeur que prend, pour Xo, le déterminant
yt y2 ... y»
yî yi . . . yi
Si ce déterminant n'est pas identiquement nul, on peut donner à X une valeur xq telle qu'il ne soit pas nul pour cette valeur ; il existe alors des valeurs de Ci,Cs, . . . C» telles que les conditions initiales
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES d'ORDRE SUPÉRIEUR 623
soient remplies par la fonction (8); cette fonction est donc bien la solution générale.
Nous voyons ainsi que la solution générale d'une équation différentielle linéaire et homogène d'ordre n s'exprime au moyen de n solutions particulières par ]a formule (8), à la condition que le déterminant (9) ne soit pas nul identiquement ; si cette condition est remplie, les n solutions particulières sont dites indépendantes.
3^ Lorsqu'on connaît une première solution particulière t/i de Féquation (7), et qu'on n'en aperçoit pas immédiatement d'autre, on peut ramener l'intégration de l'équation donnée à celle d'une autre équation de même forme et d'ordre moindre ; il suffit de remplacer t/ par yiz , et de considérer z comme une nouvelle fonction inconnue ; en faisant cette substitution, le coefficient de z est nul, et on a une
équation linéaire et homogène d'ordre n — 1 par rapport à -j^;
dx
lorsqu'on a intégré cette équation, on a z par une quadrature.
Soit, par exemple, l'équation du second ordre linéaire et homogène
elle admet comme solution yi=x\ nous poserons y = xz, d'où
dy dz d^y d^z <^ dz
dx dx ' rf«* dx^ dx '
et en substituant dans l'équation, nous aurons, tous calculs faits,
dx^ dx
C'est une. équation du premier ordre linéaire et homogène par
o z dz
rapport à -j-; sa solution générale est -j- = CiC"*, de sorte que z a dx dx
pour valeur z = — Cie~*-+-Cj; nous obtenons finalement pour y la
solution
y == xz = C^a? — Cixer' ;
elle renferme deux constantes arbitraires ; on vérifie facilement qu'elle est la solution générale de l'équation.
404. Équations linéaires et homogènes du second ordre à coefficients constants. — Le cas le plus important est celui où les coeffi-
cients ao, ai, ... a» de l'équation (7) sont des constantes; on peut toujours dans ce cas trouver la solution générale. La méthode consiste à chercher des solutions particulières de la forme y = e^, où r est un coefficient constant encore inconnu ; nous allons d'abord traiter le cas des équations du second ordre.
Soit réquation
où a et 6 sont des coefficients constants réels ; cherchons une solution de la forme y = e**; en remplaçant dans (10) y et ses dérivées par leurs valeurs, qui sont
le résultat de la substitution est c'^r*-+-ar + 6); comme il doit être nul et que Texponentielle ne Test pas, il faut que r soit une racine de réquation
(11) /'(r) = H-har + 6 = 0, que Ton appelle équation caractéristique.
l*' Cas. — L'équation (ii) a ses racines réelles et distinctes; si nous les désignons par rj et r^, nous avons les deux solutions particulières i/i = e*"**, y2 = «''•*• Nous pouvons vérifier que le déterminant analogue à (9), formé avec ces fonctions et leurs dérivées premières, n*est pas identiquement nul ; par conséquent la fonction
(12) y = Ci €'^'■+'0^6'^
est la solution générale de Téquation différentielle. Exemple. — Soit Téquation
réquation caractéristique est /"(r) == r* -+- r — 2 = 0, et elle a pour racines 1 et — 2 ; la solution générale est donc
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES d'orDRE SUPÉRIEUR 623
tF Cas. — L'équation (ii) a ses racines égales; soit ri la racine double ; la fonction e**** est déjà une solution ; on vérifie que la fonction M^** en est une autre, car si Ton substitue à la place de y et de ses dérivées cette valeur et ses dérivées
le résultat de substitution est
(rj + ar^ + b)xe'*' -h (2ri -f- a)e'«*,
et il est nul puisque n est racine double de Téquation (11).
On peut vérifier que ces deux solutions particulières e^«' et xe''*'' sont indépendantes ; on en conclut que la solution générale est
<i 3) y = Ce"** + Cxe»-**.
Exemple. — Soit Féquation différentielle
Téquation caractéristique a une racine double égale à 3 ; la solution générale est
3* Cas. — L'équation (ii) a ses racines imaginaires; soient «+ Si et a — ^i les deux racines imaginaires conjuguées de Téquation caractéristique, il leur correspond les deux solutions particulières e^* "^ ^* et ^(«-po*. Pour n'introduire dans le calcul que des quantités réelles, nous remplacerons les exponentielles à exposants imaginaires par leurs valeurs exprimées au moyen des lignes trigonométriques^ d'après les formules du n® 216; nous aurons de cette façon
c<* + s*")* = e**(cos px -4- * sin px) ,
«<•- w» = c**(cos px — i sin px) .
Comme dans le premier cas, la solution générale est alors égale à
y = Cic<* * w» -+- Ce<*~w* = (Ci -h C2)e** cos px -f- (Ci — (^)ie^ sin px ;
en représentant par C{ et Ci les deux quantités C| -h Q et (d — Ci)i, nous l'écrirons sous la forme
(14) y = C,'e«* cos px -+- Cle** sin px
où n'apparaissent que des fonctions réelles.
VocT. — Math. sup. 40
Exemple, — Soit Téquation
que nous avons déjà rencontrée au n° 399 ; Téquation caractéristique est r* -4- n* = 0 et a pour racines ±: ni ; la solution générale est
y = Qe»'* -4- C«e""« = Ci(cos nx-hi sin nx) -+- Cs(cos nx — i sin nx),
que nous pouvons mettre sous la forme
C{ cos 7UJ H- Ci sin nx.
C'est la forme primitive (i) de cette solution ; nous pouvons, suivant la manière dont sont données les conditions initiales, la remplacer par les formes (4) ou (5).
405. AppUcaUoii au mouvement oscillaloire amorti. — Considérons sur un axe Ox un mobile de masse m , attiré par le point 0 proportionnellement à sa distance à ce point, et éprouvant de la part du milieu une résistance proportionnelle à la vitesse ; si la force attrac-
dx tive est représentée par — mn^x et la résistance par — 2mb -^ » l'équation du mouvement du mobile est
m^^-mn*x-2mb-j^.
ou bien
Considérons d'une manière analogue une aiguille de galvanomètre, oscillant autour d'un axe vertical; soit MK' son moment d'inertie et a son angle d'écart à partir de sa position d'équilibre naturel. Supposons qu'elle soit soumise à un couple antagoniste proportionnel à l'écart et
de moment — Wa, et à un couple résistant de moment — A-^r proportionnel à la vitesse; l'équation du mouvement angulaire de laiguille est
ou bien, en posant jt^ = n* , rrp^ = 26 ,
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES d'oRDRE SUPÉRIEUR 627
Elle a la même forme que la précédente ; nous ne considérerons que réquation (15).
Supposons d'abord que la résistance proportionnelle à la vitesse soit nulle, ou que 6 = 0; Téquation a la forme (2), et sa solution a la forme (1), (4) ou (5); si Ton suppose que Fabscisse initiale soitxo, et que la vitesse initiale soit nulle, le mouvement a pour équation
x = Xo cos ni .
Le mobile oscille entre les points d'abscisse Xq et — Xo, de sorte que Tamplitude de son mouvement est 2x0 ; la durée d'une oscillation
simple est To =— ; le mouvement est périodique, la période étant
Considérons maintenant le cas général; Téquation caractéristique relative à (45) est
suivmt que b est inférieur, égal ou supérieur à n, les racines sont imagÎMires, égales, ou réelles et distinctes.
1» Cas. 6 <; n . — Les racines sont — bdzi //i* — 6* , et la solution générale, nùse sous la forme (14) est
X = Cîe-« cos }/n^ — b^ t -h Cie^" sin y/n* — 6M ;
si, comme précédemment, Tabscisse initiale du mobile est xq, et sa vitesse initiale nulle, Téquatioa du mouvement est
X = iTo e-" [cos ^/^^'^^^ t H^ — L= sin /fi« - 6» i\ la vitesse du mobile est à chaque instant
dx^ -?!??= e-« sin v/;i^^=^<.
dt \/l^^b^
Les maxima et minima de Tabscisse sont atteints lorsque la vitesse
est nulle, c'est-à-dire pour les valeurs du temps égales à k pre-
nant toutes les valeurs entières successives ; nous voyons que les oscillations sont isochrones, la durée de chacune étant T= , , valeur
V/n* — 6* supérieure à Tq. Quant aux abscisses correspondantes du mobile, que
l'on appelle élongaiions, elles sont données pour chaque valeur du nombre entier k par la formule
Nous voyons que le rapport de deux élongatîons consécutives est constant, et que 6T est égal au logarithme du rapport ^*~''
2* Cas. b = n. — Les racines de Féquation caractéristique sont égales à — n, et la solution générale est de la forme (13); avec les mêmes conditions initiales que précédemment, Téquation du mouvement est
x = xo(i +n^-"*.
3*Cas.&>n. — Les racines de Téquation caractéristique sont réelles, et égales à — b±^b* — /i*; ia solution générale a la forme (42). Avec les mêmes conditions initiales que précédemment, Téquation du mouvement est, tous calculs faits,
en introduisant les lignes hyperboliques (p9 218), elle a la forme suivante, analogue à celle du 1*' cas
x===xoe-"[cht/6* — ii«< + -7==^====shv/6*--iiM].
Dans les deux derniers cas, Tabscisse du mobile décroît et tend vers zéro quand t augmente indéfiniment.
406. Équattons linéaires et homogènes d'ordre qneleonque à coefficients constants. — Ce que nous venons de dire sur les équations différentielles linéaires et homogènes du second ordre à coefficients constants s'étend immédiatement aux équations de même nature et
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES d'oBDRE SUPÉRIEUR 629
d'ordre quelconque. Considérons Féquation (7) du n* 403 et supposons que Oo, 01, . . . a« soient des coefficients constants et réels; nous allons chercher une solution de la forme y^e*^; si nous substituons dans le premier memhre de (7) les valeurs de y et de ses dérivées
nous pouvons mettre e^ en facteur, et nous avons comme résultat
c^Coor" -+- «ir"-* -h ... -f- a,» ir -h a«).
Gomme ce produit doit être nul, et que rexponentîelie ne Test pas, il faut que le polynôme entre parenthèses soit égal à zéro ; nous en concluons que le nombre r doit satisfaire à Téquation
(16) /'(r) = aor" + air— *-+- ha.-.,r-+-a«= 0;
cette équation algébrique de degré n s'appelle équation caracléris^ iiqae de Téquation différentielle.
Si Téquation (16) a toutes ses racines distinctes, et si nous les désignons par ri, Ta, ... r,., nous obtenons n solutions particulières indépendantes, et nous en déduisons la solution générale
(17) y = Cle^»-+- (V** 4- . . . + C.C"* .
Si Téquation (16) a des racines multiples, les n solutions particulières précédentes ne sont plus distinctes ; nous opérerons alors de la manière suivante :
Supposons, par exemple, que Téquation caractéristique ait une racine ri multiple d'ordre p ; on vérifie que les p fonctions
sont des solutions de Téquation différentielle ; si Ton substitue en effet Tune d'elles à la place de y dans le premier membre de (5), les coefficients de e*"**, xe''»*, . . . dans le résultat sont /"(r,) et ses dérivées d'ordre inférieur à p ; celles-ci sont toutes nulles puisque ri est racine d'ordre p de multiplicité, par suite le résultat est nul. Les p fonctions précédentes sont de plus indépendantes.
Si, en général, les racines de l'équation caractéristique sont ri
d'ordre p, r, d'ordre 7, etc, la solution générale de Téquation est (18) y = (Ci -4- CïX -f- . - • -+- CpPcP-'y^"
Ce qui précède s'applique aussi bien aux racines imaginaires qu aux racines réelles de Téq nation caractéristique ; cependant, lorsque ceUe-ci possède des racines imaginaires, on remplace ordinairement les exponentielles correspondantes par des fonctions trigonométriques, comme nous Tavons indiqué dans le cas des équations du second ordre. Si a + ^i et a — pi sont deux racines imaginaires conjuguées, on remplace dans les formules (17) et (18) une somme telle que x«[C/ke(«+?'>* + C*e^— ^^'] par j:^e«*(Cicospa?-f-Cisinpa:).
Aux équations que nous venons d'étudier se ramènent celles de la forme
où a^yOïj ... a„ sont constants. En posant x = e\ Téquation qui définit y en fonction de t rentre dans le type (7) considéré précé^ demment.
407. Équations linéaires avec second membre. — On appelle équation différentielle linéaire non homogène une équation de la forme
OÙ entrent linéairement y et ses dérivées ; on a l'habitude de placer au second membre le terme indépendant de y;ao^ai,..,a^eib sont des fonctions de x ou des constantes.
Gomme dans le cas de l'équation du premier ordre (n*" 397), oq utilise la solution générale de l'équation privée de second membre pour intégrer Téquation totale. Une méthode générale est celle de la variation des constantes ; elle consiste à trouver d'abord la solution générale de l'équation sans second membre, solution qui est de la forme
y = C,y, -+- Cjy, -i- ... -4-C„yn, puis à y considérer Q, Cj, ... Ga comme des fonctions inconnues
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES d'oRDRE SUPÉRIEUR 631
de X, et à détenniDer enfin ces fonctions de façon que la valeur de y satisfasse à l'équation totale. Nous allons appliquer cette méthode à Texemple suivant : soit à intégrer Téquation
nous avons trouvé au n^ 404 la solution générale de Téquation sans second membre ; elle est
considérons Ci et Cs comme fonctions de x et prenons la dérivée
comme nous avons deux inconnues Q et Ga, nous pouvons les assujettir à une première condition ; écrivons que Tensemble des deux derniers termes de --f^ est nul, c'est-à-dire qu'on a dx
la valeur de -^ se trouve par cela même simplifiée, et en prenant encore la dérivée, nous avons
En transportant dans (20) y et ses dérivées, nous obtenons, toutes réductions faites, une équation qui ne renferme plus que les dérivées de Cl et Cs, et qui est
de (2i) et (22) nous tirons les valeurs des dérivées
rfa: ~ "^ ' dx ~ * '
et nous en déduisons
C,=je*»-4-Ci, C = — ye^' + C^,
632 ÉQUATIONS D1FFÉRE1«T1ELLE8
Ci et a étant des constantes ; en remplaçant Ci et C2 par ces valeurs, nous avons pour la solution générale de l'équation proposée
y = Cîc*-f-Cie-*'H-^e^.
408. Recherche directe d'une solution particulière. — Dans beaucoup de ca^ on simplifie l'intégration de Téquation totale en appliquant ce théorème :
On obtient la solution générale de Véquation avec second membre en ajoutant à une solution particulière de cette équation la solution générale de l'équation sans second membre.
Soit en effet yo une solution particulière de l'équation totale (19); posons y^^y^-^z et remplaçons y par cette valeur dans Téquation proposée ; elle se réduit à
par conséquent z doit être solution de Téquation sans second membre ; le théorème proposé s'en déduit immédiatement.
La recherche d'une solution particulière yè de l'équation totale est un problème facile dans le cas où le premier membre a ses coefficients constants et où le second membre a l'une des formes suivantes: P une constante ou un polynôme entier; 2® une exponentielle de la forme e*^; 3® une fonction trigonométrique telle que sin^x ou cospx;4* une combinaison des fonctions précédentes par voie d'addition et de multiplication ; en général une somme de termes de l'une ou l'autre des formes &a;*e«'cospx ou bafe^^m^^ b étant une constante, les nombres m, a, p pouvant être nuls ensemble ou séparément.
Remarquons d'abord que si le second membre de l'équation est une somme de plusieurs fonctions &i, 62, ... et si l'on connaît une solution particulière de chacune des équations où le second membre se réduirait à 6i, ou 62, etc, il suffit de faire la somme de ces solutions pour former une solution particulière de l'équation totale, comme on le vérifie immédiatement. Il résulte de là qu'il suffit d'examiner le cas où le second membre est un produit de l'une des formes te^e»» cos p* ou fcafe^sinpar.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES d'oRDRE SUPÉRIEUR 633
La méthode consiste à chercher une solution particulière constituée par une somme de termes de même forme, c*est-à-dire de la forme
yo=(A+fcï:H htr')e»''cospj;+(A'-4-&'a:H h /'«•)e^ sin for
et à calculer les coefficients inconnus par la méthode des coefficients indéterminés ; on remplace y par cette valeur, et Ton identifie les deux membres.
Dans les cas ordinaires, il suffit de prendre le plus grand exposant 7 de X dans y^ égal à l'exposant m donné ; mais si Féquation caractéristique de Téquation différentielle sans second membre a une racine égale à a + ^i , avec Tordre p de multiplicité, il est nécessaire de prendre q supérieure m et de choisir q = m-hp>
Comme exemple, considérons Téquation (20) et cherchons une solution particulière de la forme yo = he^', où h est un coefficient inconnu; en substituant, nous obtenons la relation
(25+5 — 2)AeS* = 3e«»;
nous en tirons h = -^ , et nous retrouvons ainsi la solution obtenue
dans le numéro précédent.
Gomme autre exemple, soit à intégrer Téquation
dx^ "* dx cherchons une solution particulière de la forme totale
y^=i h-\- kx-hlx^-^m CQs2x -hn sin 2x ; en substituant, nous devons avoir identiquement (A — 2& + 20 -h (A- — 4/> -h te* — (3m -h 4n) cos 2x
— (3n — 4m)sin2x = 1 -hx*-4- 2 sin 2x; nous en tirons
Comme Téquation caractéristique de Téquation sans second membre a une racine double égale à i , la solution générale de cette équation est (Cl -f- CiX)e' ; celle de Téquation donnée est alors
y = (Cl -f- CiX)e* -f- 7 -4- 4x H- x« -+- 2^ cos 2x — — sin 2j; .
■ 9 :i:i-4-y = i+a;*-f-2sin2x;
400. Réduction d'un système de deux équations différentielles simultanées du premier ordre à des équations renfermant chacune une seule fonction Inconnue. — Supposons, pour fixer les idées, que Ton considère deux fonctions y et z d'une même variable x, et que Ton donne deux équations entre la variable, les fonctions 1/ et 2 et leurs dérivées par rapport à x jusqu'à un certain ordre ; ce seront deux équations différentielles simultanées à deux fonctions inconnues. Nous allons ramener l'intégration de ce système à celle d'une ou de plusieurs équations différentielles ordinaires renfermant chacune une seule fonction inconnue. Ce que nous allons dire dans le cas de deux fonctions s'applique sans modification au cas d'un nombre quelconque d'équations différentielles simultanées renfermant le même nombre de fonctions inconnues.
Considérons d'abord le cas simple de deux équations renfermant seulement les dérivées premières de y et de s ; supposons-les résolues par rapport à ces dérivées, et mises sous la forme
nous allons éliminer z entre ces équations; pour cela, nous prendrons
dz la dérivée de la première et nous remplacerons ,- par sa valeur
ax
fournie par la seconde ; nous aurons ainsi la relation
Nous éliminerons alors z entre cette équation et celle qui donne
•^ ; nous obtiendrons ainsi une équation différentielle du second ordre
par rapport à la seule fonction y .
Supposons qu'on ait intégré cette équation et qu'on ait exprimé sa solution générale au moyen de x et de deux constantes arbitraires €i et Cs; de la première des équations (i), nous pourrons tirer la
valeur de z en fonction de ar, y et --r- ; en remplaçant y par la
solution trouvée, nous exprimerons z en fonction de x et des deux mêmes constantes Ci et Ca; nous obtiendrons finalement pour y et z des valeurs de la forme
On dit que ces valeurs forment la solution générale du système des •équations (!) ; on peut déterminer les deux constantes Q et Q de façon que y et s prennent des valeurs données t/o et z^ pour X = f 0 ; on dit alors que Ton impose à la solution particulière ainsi formée des conditions initiales données.
Géométriquement, les équations (2) représentent une famille de courbes gauches ; les équations (i) expriment deux relations qui existent, ^n chaque point de Tune quelconque de ces courbes, entre les coordonnées de ce point et les paramètres directeurs de la tangente à la courbe en ce point. Imposer les conditions initiales y =yo et 2 = z^ pour a: = Xq revient à chercher la courbe passant par un point (x^ , y^ , z^^} •de l'espace .
Exemple. — Soit à intégrer le système d'équations simultanées
dz En prenant la dérivée de la première, et remplaçant —7- par sa
-valeur tirée de la seconde, nous avons
-en remplaçant z par sa valeur tirée de la première
nous obtenons, pour déterminer y , Téquation du second ordre
rfx» ^ dx ^y-^ •
Nous Tavons intégrée au n® 407 et nous avons trouvé pour sa solution générale
en la portant dans Téquation (3), nous avons
410. Intégrales d'un système d'équations simultanées. — Soient y ti z une solution du système (1) définie par les équations (2) ; en résolvant ces dernières par rapport aux constantes Q et Ct, nous obtenons deux relations de la forme
(4) ii(j, y, z) =C|, t)(x, y, z)=Cï.
Les fonctions a et v de aT,y,z sont dites ïntéjrra/e^ du système (i); en général on appelle intégrale de ce système toute fonction w(x i y , z) qui se réduit à une constante lorsqu'on remplace y et z par la solution générale (2). On reconnaît qu'une fonction w est une intégrale à ce que la fonction
(5) u>[x,F(x,Ct,(i), *(x, ce,)]
ne dépend plus de la variable x et a la forme ^(Ci , Cs). Lorsqu'on connaît deux intégrales indépendantes telles que o et v ^ toute fonction arbitraire w=^W(u^ v) est encore une intégrale; inversement toute intégrale se met sous cette forme ; nous avons vu en effet que toute intégrale exprimée sous la forme (5) se réduit à V(Ci, Cs); elle est donc identique à W(a, v) d'après les équations (4).
La connaissance de deux intégrales indépendantes du système (1) permet de former la solution générale de ce système ; il suffit en effet d'égaler les intégrales à deux constantes d et Q pour définir les solutions 2^ et z en fonction de x^d et Cs. Il est parfois facile de former des combinaisons des équations données (i) dont les termes
soient différentielles totales par rapport à x, y , z ; ces combinaisons sont dites intégrables. Chaque fois que Ton intègre une telle combinaison, on obtient une intégrale du système.
Exemple. — Soit à intégrer le système d'équations simultanées
dx dv dz {6) = iL-=
De ces équations, nous tirons les deux combinaisons
rfa? -H rfy -f- rfz = 0 , 2 (a; (/a; H- y rfy + z dz) = 0 ,
dont les premiers membres sont des différentielles totales exactes ; leurs intégrales sont deux intégrales du système donné; en les égalant à des constantes, nous avons deux relations
<7) a:-f-y4-« = Ct, x* -f- y " -f- z» = Ct ,
qui définissent y ei z comme fonctions de x et de deux constantes arbitraires et donnent par suite la solution générale des équations (6) elles représentent une famille de cercles dont les plans sont parallèles et dont les centres sont sur une même droite issue de Torigine, de paramètres 1,1 et i.
411. Cas général. — Considérons maintenant le cas de deux équations d'ordre quelconque à deux fonctions inconnues y ti z de la variable x. Soit n Tordre le plus élevé des dérivées de y, et /i celui des dérivées de 'z ; supposons les équations données résolues par rapport aux dérivées d'ordre le plus élevé et mises sous la forme
<«> iS^-f[''^y^±''''''d^''' d^'-'-'d^O^
,^^ dPz ( dy d'^^y dz df^^z\
Nous allons éliminer z entre ces deux équations ; nous prendrons pour cela p fois successivement la dérivée de la première par rapport
d^z à X , en ayant soin chaque fois de remplacer -j — par sa valeur (9)
Nous formerons ainsi les dérivées
jA+iy c/"+»y c/"+''y
et leurs expressions renfémeront les dérivées de z jusqu'à Tordre /> — i au plus. En général, il ^t possible d*éiiininer, entre Téquation (8) et les p nouvelles équaKiNMS ainsi formées, les p quantités s , — » • • • » ^ ; en efTectuant o«t|» élimination, nous obtiendrons une équation renfermant x^ y et ses 4^ivées jusqu'à Tordre n -f-/) ; ce sera une équation différentielle ordinaire d'ordre a -hp par rapport à y .
Si Ton sait intégrer cette équation, sa solution généndlA est une fonction x dépendant de x et de n +p constantes arbitrons de la forme
(iO). i/=F(x,Q.Ct, ..., Cn^p);
d'autre part, les équations qui ont servi à éliminer z et ses dérivées permettent d'exprimer z au moyen de y et de quelques-unes des dérivées de cette dernière fonction ; il suffit alors de remplacer y et ses dérivées par les valeurs tirées de Téquation (10) pour déterminer z ; cette fonction dépendra de x et des n + p constantes qui entrent dans y , et sera de la forme
(it) - = *(x.C,,Ct C„+p).
Le procédé que nous venons d'indiquer fournit ainsi des valeurs de y et de z dépendant de n-hp constantes arbitraires; on dit qu'elles constituent la solution générale des équations (8) et (9), et Ton dit que Tordre de ce système d'équations est n-hp; on voit qu'il est égal à la somme des ordres des plus hautes dérivées de y et de z.
Dans certains cas exceptionnels, il n'est pas nécessaire, pour éliminer z entre les équations (8) et (9), de former p fois la dérivée de la première ; nous nous contenterons d'indiquer le résultat suivant : si Télimination de z et de ses dérivées est possible après avoir pris les P — 9 premières dérivées de Téquation (8), on obtient, pour déterminer y^ une équation différentielle d'ordre n+/i — q; mais il faut ensuite, pour déterminer z, intégrer une nouvelle équation d'ordre 7, dont les coefficients dépendent de la valeur trouvée pour y; la solution générale dépend encore de n -hp constantes, comme dans le cas précédent.
Lorsque Ton attribue aux constantes des valeurs numériques par-
ticulières, on obtient des solutions particulières du système d*équations différentielles simultanées. Il est possible de former une solution particulière telle que y et ses n — i premières dérivées, ainsi que z et ses p — 1 premières dérivées prennent des valeurs données y^^ yi^ • • t yi"~*^ ^0» ^» • • • » ^f~^^ pour uûe valeur donnée x^ <*« la variable. Il suffît en effet de former, en partant des équations (10) et
(11) qui donnent la solution générale du système, les valeurs de y et de ses n — i premières dérivées, ainsi que celles de z et de ses /i — i premières dérivées, et d'écrire qu'elles prennent pour a? = x^ les valeurs données; on a ainsi n+/) équations qui permettent de calculer les valeurs numériques des n +p constantes arbitraires entrant dans la solution.
Ces considérations s'appliquent à un nombre quelconque d'équations simultanées contenant un même nombre de fonctions inconnues d'une seule variable ; dans le cas général, l'ordre du système est égal à la somme des ordres des plus hautes dérivées qui y entrent; dans des cas exceptionnels, cet ordre peut s'abaisser. La solution générale contient un nombre de constantes arbitraires indépendantes égal à l'ordre du système.
Un exemple est fourni par les équations générales du mouvement d'un point mobile ; soit m la masse de ce point, or, y, z ses coordonnées par rapport à un système d'axes. La résultante des forces qui lui sont soumises peut dépendre de la position qu'il occupe, c'est-à-dire de
Xy y, z, puis de sa vitesse, c'est-à-dire des composantes -jr- » -JÇ- , -7-
de celle-ci, et enfin du temps; nous désignerons par X, Y, Z les projections de cette résultante sur les directions des axes. En écrivant que le produit de la masse par la projection de l'accélération sur Tun quelconque des axes de coordonnées est égal à la projection sur cet axe de la résultante des forces, nous obtenons un système de trois équations simultanées de la forme
d^x „/ dx dy dz \
(12) j '"5=Y(a:.î,,.,-g,-^,-^,<), d*z „/ dx dy dz A
Ce système est du sixième ordre ; sa solution générale fournît les expressions des coordonnées du mobile en fonction du temps et de 6 constantes arbitraires. Toute solution particulière est déterminée par 6 conditions initiales ; ordinairement on donne la position initiale et la vitesse initiale du mobile, c'est-à-dire les valeurs de x, y, z et de dx dy dz . ^
412. Intégrales d'un système quelconque. — On appelle intégrale d'un système quelconque d'équations simultanées une fonction renfermant la variable, les fonctions, et les dérivées de chacune de celles-ci d'ordre inférieur à l'ordre le plus élevé où elles paraissent dans les équations du système, cette fonction jouissant de la propriété de se réduire à une constante lorsqu'on substitue aux fonctions inconnues les valeurs qu'elles possèdent dans la solution générale.
Par exemple toute intégrale du système (8) et (9) est une fonction de la forme
( dy d^-^y dz dP-^z\
qui se réduit à une constante indépendante de x quand on remplace y et z et leurs dérivées par les valeurs (10) et (11) et leurs dérivées.
Quand on connaît la solution générale du système, on peut former n+/} intégrales particulières en résolvant par rapport aux n+p constantes Ci, Cs, . . . , Cn^p les équations (10) et (il), auxquelles on joint les (n — 1) dérivées de la première et lesjo — 1 dérivées de la seconde. Inversement, connaissant n+p intégrales indépendantes, en les égalant à n+p constantes, on a des équations qui fournissent non seulement la solution générale, mais les dérivées de cette solution.
La connaissance d'une ou de plusieurs intégrales permet de réduire l'ordre du système d'un nombre d'unités égal à celui des intégrales connues, car en les égalant à des constantes on peut diminuer du même nombre la somme des ordres des plus hautes dérivées inconnues qui entrent dans les équations données.
Dans le cas particulier du système des équations (12) de la dynamique, une intégrale de ce système est une fonction du temps, des coordonnées du mobile et des composantes de sa vitesse, qui reste
constante pendant le mouvement. Un cas particulièrement remarquable est celui où les composantes X, Y, Z de la force ne dépendent que des coordonnées x.y^z et sont de plus les dérivées d'une même fonction potentielle V(ic, y^ z) (p? 384) ; on peut alors former une intégrale du système de la façon suivante :
Multiplions les deux membres des équations (12) respectivement
dx dy dz par -T— I -^ » -Tj- et igoutons ; nous avons
^(dxdPxdy d^ dz d^z\ dx dy dz .
'^\^^F~^w^?''^w'dF)^^'dr^^'dr'^^'dT'
le premier membre est la demi-dérivée par rapport à < de la somme
qui représente le produit de la masse par le carré de la vitesse, et s'appelle force vive du mobile ; le second membre est la dérivée par rapport à i deFintégrale
fxdx-hYdy-i-Zdz
qui représente le travail de la force (X, Y, Z) pendant le déplacement du mobile. Dans le cas que nous examinons, elle est égale à la fonction potentielle V(x,y, z). La différence entre les intégrales des deux membres, c'est-à-dire
est une intégrale du système ; on rappelle intégrale des forces vives. Si Ton désigne par v la vitesse du mobile à un instant quelconque, lorsqu'il occupe la position (x^y^z), et par Vq sa vitesse à l'instant initial, lorsqu'il occupe la position (xo, i/o» «o)» on a, d'après ce qui précède, l'équation
«. m(v^ — vj) = V(x, y, z) — V(a?o, yo, «0-
VoGT. — Math. sup. 44
413. Formation des ôquations aux dérivées partielles da premier ordre. — Lorsque Ton considère une ou plusieurs fonctions de plusieurs variables indépendantes, toute relation entre les variables, les fonctions et leurs dérivées partielles s'appelle une équation aux dérivées partielles ; si Ton a une seule fonction, Tordre le plus élevé des dérivées partielles qui entrent dans Téquation s'appelle Tordre de cette équation. Nous nous limiterons au cas où Ton a une seule fonction z de deux variables x et j^ ; nous représenterons les dérivées partielles du premier ordre de z par p et q^ et celles du second par r, «, (, comme nous Ta vous déjà fait au n*' 321.
Une équation aux dérivées partielles du premier ordre prend naissance de plusieurs manières ; les deux principales sont les suivantes :
1« Cas* — Supposons que la fonction z dépende de deux coqstantes arbitraires d et U ; si, entre Téquation qui définit z, et les dérivées de cette équation par rapport à a: et par rapport à y, nous éliminons ces deux constantes, nous obtenons une relation entre a;, y, z,
— - =/) et -— = q ; c'est une équation du premier ordre à laquelle sa-
tisfont toutes les fonctions z quelles que soient les constantes Ci et C|. Soit par exemple la fonction
(1) i« = CiX« + Cty»;
ses dérivées partielles sont -— = 2Cia; et -— = 2Civ; Télimination
Qx ^y
de Q et €| oonduit à l'équation du premier ordre
(2) 2« = *-^-Hy^ = aïï-+-y5r.
Soit encore la fonction
(3) « = (a:-hCOCy-hU);
elle satisfait à Téquation du premier ordre
L'équation (2) est linéaire en p et 7, tandis que Téquation (4) ne r«st pas.
2« Cas. — Supposons que deux fonctions données de x, y et 2, que nous appelons u{x,y^z) et v(x,y,z), soient reliées Tuue à l'autre de façon que Tune soit une fonction arbitraire de Tautre v = cp(i/) ; nous allons montrer que la fonction implicite z de x et y ainsi définie satisfait à une équation aux dérivées partielles du premier ordre indépendante de la fonction arbitraire (p.
Écrivons que Ton a
et égalons les dérivées partielles des deux membres de cette équation par rapport à x et par rapport à y ; nous aurons
ôv bv^ ^z^ d^ /5a ^u 5z \
ôx ôz ôx diï \ôx î)z ôx/
^ Ô£^ rfy /5ii 5a ôz \ .
ôy ôz ôy da \ 5y ôz ôy /
en éliminant -^ entre ces deux dernières relations, ce qui se fait en du
les divisant membre à membre, nous aurons une équation indépendante de f ; tous calculs faits, elle est de la forme
(6) fë+o^»..,
ou bien
ôx ôy
644 ÉQUATIONS DIFFÉREMTIËLLEB
P, Q et R étant des fonctions de x, y et 2 définies par
ôy ôz ôy ô« ' y^z bx 5« ôx ' bx ôy dx dy *
L'élimination d*une fonction arbitraire conduit toijgours, comme nous le voyons, à une équation du premier ordre, linéaire par rapport aux dérivées p^q.
Exemples, — Les surfaces de révolution autour de Oz ont une équation de la forme
nous allons éliminer la fonction arbitraire q», en appliquant la méthode que nous venons d'indiquer ; ici, 11 est égal à x^ + y' et v est égal à z. Les dérivées partielles de la fonction z sont
ôz ^y g ôz rf<p g
bx'^d(x*^y*) ' î)y""(/(x*-f-y«) î''
en divisant ces égalités membre à membre, nous en déduisons la relation suivante indépendante de 9 :
^^^ ^l^"^§"'^' '''' y/i-xy = 0.
Cette équation du premier ordre est dite Téquation aux dérivées partielles des surfaces de révolution autour de Oz.
Les cônes ayant pour sommet Torigine sont représentés par une équation homogène en x, y , z que Ton peut écrire sous la forme iL = ç / — j ; rélimination de 9 conduit à Téquation
(9) /ïX4-yy==z.
Toute équation du premier ordre exprime une propriété du plan tangent commune à toutes les surfaces satisfaisant à cette équation ; remarquons en effet que le plan tangent en un point de la surface z — /"(x, y) = 0 a pour équation (n" 298)
(X x)/i-(Y-y)/-;H-(Z-z) = 0, ou bien
par suite, ce plan est déterminé par les coordonnées du point de contact et parles deux dérivées/) et q; toute relation entre ces dérivées et les variables a?, y, z exprime donc une propriété du plan tangent.
Par exemple, Téquation (8) exprime que le plan tangent en un point est perpendiculaire au plan passant par ce point et par l'axe Oz ; cette propriété est commune à toutes les surfaces de révolution ; Téquation
(9) exprime que tout plan tangent à un cône passe par le sommet de ce cdne.
414. Problème inverse. — Nous venons de voir qu'on forme une équation aux dérivées partielles du premier ordre, soit en éliminant deux constantes arbitraires, soit en éliminant une fonction arbitraire. Inversement, la solution d'une équation donnée peut renfermer soit deux constantes arbitraires : on rappelle alors solution ou intégrale cornplètCy soit une fonction arbitraire: on l'appelle solution ou intégrale générale ; en donnant aux constantes ou à la fonction des valeurs particulières, on obtient des solutions ou intégrales particulières. S'il existe d'autres solutions, elles sont dites singulières.
Le plus souvent, on cherche à déterminer une solution particulière en imposant à la surface qu'elle représente la condition de passer par une courbe donnée ; cela constitue une condition initiale. On démontre que, sauf dans des cas tout à fait spéciaux, il existe toujours une solution et une seule satisfaisant à une telle condition.
La distinction entre une intégrale complète et une intégrale générale n'est pas fondamentale, et l'on peut passer de l'une à l'autre facilement. Supposons que l'on connaisse une solution générale dépendant d'une fonction arbitraire ^ ; il suffit de donner à ^ une forme particulière, dans laquelle entrent deux constantes arbitraires, pour obtenir une intégrale complète.
Supposons inversement qu'on connaisse une solution d'une équation
(10) ^(aî,y,^,Jo,7) = 0
et que cette solution soit définie par une équation donnée
(il) F(a:,y,z,Q,C,) = 0
renfermant deux constantes ; d'après ce que nous avons dit, / résulte
de rélimination de Ci et G9 entre (11) et les équations démées
Neus allons chercher toutes les solutions que peut posséder Téquation (10) en employant la méthode de variation des constantes, c'est-àdire en cherebant quelles fonctions de a; et de y il faut mettre à la place de Ci et Cs dans F pour que z défini par Téquation (ii) satisfasse dans tous les cas à Téquation donnée (10).
Les valeurs de /» et 7 sont alors données par les relations
/ÔF ÔF \ . /^^ . ^^\ A (13) ^ / \ 1 --« /
/ÔF ÔF \ . /^^t . ôF^\ ^
et il faut écrire qu'elles satisfont à Téquation (10) ; mais celle-ci avait été obtenue en partant de (11) et (12); pour qu'elle soit encore satisfaite, il faut que les premières parenthèses dans les équations (13) soient nulles, et par conséquent que Ci et C% satisfassent aux conditions suivantes qui en résultent :
ôFôCi ôFôCï^Q
ôCi ôy ' ÔC2 ^y
ôFôCi . ^^^0
Ce système est satisfait:
1* Lorsque les quatre dérivées de Ci e Cs sont nulles, c'est-àdire lorsque C| et Cs sont constants; on retrouve Tintégrale complète.
2<* Lorsque les dérivées de F par rapport à Ci et Cs sont nulles; ces conditions déterminent Ci et Ct, et en les portant dans (il), on obtient une équation résultant de Télimination de Ci et Cs entre
Cette équation définit une solution z qui est singulière; la ma nière dont celle-ci se trouve déterminée rappelle celle que nous avons indiquée au n* 393 pour les équations différentielles ; elle est du reste
susceptible d'une interprétation ajoaiogue. Remarqvons en effet que Téquation (11) représente une famille de surfaces à deux paramètres; Tenveloppe de cette famille est précisément définie (p? 313) par les équations (15) ; l'intégrale singulière est donc déterminée par Tenveloppe des intégrales complètes.
Exemple, — L'équation analogue à celle de Qairaut (p? 398)
z=px-hqy-hf(j>,q)
a pour intégrale complète
z = C,a;-4-C^-h^(Ci,C);
cette équation représente une famille de plans dont Tenveloppe est la surface représentative de Tintégrale singulière.
3® Lorsque Ton établit entre Ci et Ci une relation particulière arbitraire
(16) c, = cp(CO;
nous avons alors
ôa? ^^'^^x dy ^^ *^ôy ^
et les relations (14) se réduisent à une seule qui est
En éliminant Ci et Cs entre les équations (11), (16), (17), nous obtiendrons une équation définissant z comme dépendant de x et de y, et d'une fonction arbitraire (p de ces variables ; ce sera la solution générale ; toutefois cette solution ne se présente pas toujours sous la forme simple que nous avons considérée dans Téquation (5).
On démontre que ces trois cas sont les seuls qui peuvent se présenter.
415. Intégration de Féquatlon linéaire du premier ordre. — Toute équation linéaire peut s'écrire sous la forme
ou bien i
on effectue ordinairement l'intégration de cette équation en cherchant une intégrale générale.
Dans certains cas simples, on aperçoit immédiatement cette inté-
ôz grale ; par exemple l'équation — = /"(x, y) a pour solution
« = y/'(^iy)<'aî-4-9(y),
9 étant une fonction arbitraire de y. Plus généralement, si z n'entre pas dans l'équation et si les dérivées p et 7 n'entrent que dans une combinaison linéaire Qt/) + P7, a et ^ étant des constantes, on change de variable en prenant ^x — 0Ly = n comme nouvelle variable à la place de y; z est alors une fonction de x et de n. L'équation à laquelle elle satisfait ne renferme pas la dérivée par
rapport à u et est de la forme /l («, a, -^ j = 0; en la résolvant par
rapporta—) elle rentre dans la même catégorie que la précédente.
Considérons l'équation générale (18); en utilisant, pour la commodité des raisonnements, un langage géométrique, cette équation exprime que le plan tangent à toute surface intégrale en un point (x, y, z), plan représenté par l'équation
est parallèle à la droite de paramètres directeurs P, Q, R; il est donc possible de tracer sur toute surface intégrale, passant par le point (xj 1/, z)y une courbe dont la tangente en ce point soit la droite précédente, c'est-à-dire satisfasse pour le point considéré au système d'équations
Ce système, considéré en lui-même, est un système d'équations différentielles simultanées à deux fonctions inconnues d'une variable ; nous avons vu dans le chapitre précédent comment on peut intégrer un tel système ; nous allons montrer que la connaissance de sa solution générale permet d'intégrer l'équation aux dérivées partielles (18).
La solution du système (19) est constituée par une famille de courbes, dont les équations ont la forme
(20) n(x,y,z) = Ct, «(a;,y.z) = C,
II et v étant deux intégrales du système ; si Ton constitue une surface au moyen de courbes successives de cette famille, elle sera une surface intégrale de Téquation (18), car en chacun de ses points le plan tangent contiendra la tangente à la courbe de la famille qui y passe et satisfera à la condition exprimée par Téquation (18).
Mais pour constituer une surface au moyen de courbes représentées par les équations (20), il suffit de donner à Q et Gs des valeurs successives dépendant Tune de Tautre, c'est-à-dire de façon que Ton ait entre Ci et C% une relation particulière arbitraire de la forme Cj = (p(C,); le lieu de la courbe (20) est alors la surface représentée par réquation
(2i) i<x, y , a) = 9[ii(x, y, z)] .
La valeur de z fournie par cette équation satisfait à l'équation donnée (18); elle dépend d'une fonction arbitraire 9. Du reste, on peut faire en sorte que la surface intégrale contienne une courbe donnée à Tavance ; il suffit pour cela de constituer cette surface par les lignes (20) qui s'appuient sur la ligne donnée. Nous concluons de là que Fintégrale générale de Téquation (18) est fournie par Féquation (21).
En résumé, pour intégrer Téquation donnée (18), il suffit d'intégrer le système d'équations différentielles simultanées (19), et d'exprimer qu'une intégrale de ce système est une fonction arbitraire d'une autre.
Les lignes (20) qui représentent la solution générale du système d'équations (19) sont appelées caractéristiques.
Exemple, — Soit à intégrer l'équation
le système d'équations simultanées analogue à (19) est
dx dy dz .
nous l'avons intégré au n^ ilO, et nous avons trouvé deux intégrales u^=x-^y -h Zy t; = a?* H- y * -h s* . En écrivant une équation de la forme
OÙ 9 est une fonction particulière arbitraixement clioîsie, on obtient réquation d'une surface intégrale de Téquation donnée; ^e est formée de cercles dont les centres sont sur la droite x = y = x, et dont les plans sont perpendiculaires à cette droite ; elle est donc de révolution autour de cette droite elle-même.
416. Exemples d'intégration d'équations non linéaires. — Lorsqu'on intègre une équation du premier ordre non linéaire, on cherche ordinairement une intégrale complète ; nous allons indiquer quelques eiiemples :
1° Si les variables x, y, z n*entrent pas dans Téquation et si celleci a la forme /*(/>, q) = 0, il suffit de chercher une solution de la forme z=zax-\-by-\-Cy où a, 6, c sont des constantes ; ces constantes sont seulement assujetties à la condition /(a,6) = 0, et il en reste deux arbitraires.
2* Si les variables x et y n'entrent pas, et si l'équation a la forme /"(z,/?, q) = 0, on cherche une solution dans laquelle p ti q sont liés par ui^e équation q = ap^ où a est une constante ; en introduisant cette condition d'une part dans l'équation donnée, d'autre part dans l'identité dz=pdx-\-qdy^ on a d'abord /"(«,/>,«/>) = 0, qui fournit p en fonction de z par exemple sous la forme jd == ^2, a), et l'on a ensuite
rfz = <p(z, a) (rfx + arfy) ,
d'où l'on tire
b étant une deuxième constante; on a ainsi une intégrale complète.
3® Si z n'entre pas et si les variables se séparent, l'équation peut être écrite sous la forme
/l(^iP) = A(yi7); on égale les deux membres à une même constante a ; on déduit de là p et q qui sont de la forme/) = (^i(Xy a), q = (p2(y, à) et en les portant dans l'identité dz =pdx'hqdy, on a
dz = (pi(x, a)dx-\-f^, a)dy, d'où on tire
k^ Dans le cas générai, nous nous contenterons d'indiquer la marche suivante d'intégration. Ëtant donnée Téquation
on forme le système d'équations différentielles simultanées dx dy dz — dp — dq ^
on en détermine uue intégrale ^x^y^z^p^q) indépendaate de F; on tire alors des équations F = 0 et 4> = a, où a est une constante, les valeurs de /> et 7 et on les porte dans la relation fondamentale dz=pdx-hqdy qui devient intégrable; en l'intégrant, on introduit une deuxième constante.
Si Ton connaît deux intégrales <b et V, on les égale à deux constantes a et 6, on tire des équations ainsi formées les valeurs dtp et q et on les porte dans Téquation F = 0 qui fournit alors z ; il faut toutefois s'assurer que dz est identique à pdx -h qdy, ce qui n'a pas toujours lieu en partant de deux intégrales quelconques ^ et W,
Exemple, — Si Ton considère l'équation (4) mise sous la forme
F(«» y» z,p,q)^z—pq = 0, on a à intégrer le système des équations
dx rfy dz ^P dq ,
deux d'entre elles : dq = i/or, dp = dy, fournissent les équations intégrales 7 = a; + a, /) = i/H-6, et on en déduit l'intégrale complète z = pq=i(x-{-a)(y-\-b). On vérifie bien que dz est identique à pdx-^-qdy.
