ÉquaUons aux dérivées partielles du second ordre. — Les
équations du second ordre peuvent, comme celles du premier ordre, prendre naissance de plusieurs façons; nous mentionnerons les suivantes :
i^ Par l'élimination de constantes arbitraires. Soit F = 0 une relation donnée entre x, y, z et des constantes arbitraires en nombre égal à trois, quatre ou cinq ; en éliminant ces constantes entre la relation donnée, ses deux dérivées premières et un nombre suffisant de
ses dérivées secondes, on parvient à une équation du second ordre ; c'est ainsi que la relation
donne par dérivation
et z satisfait à Téquation du second ordre
z^px^qy — sxy.
2** Par Vélimination de deux fonctions arbitraires. Soit par exemple la fonction z définie par Téquation
où /" et (p sont des fonctions arbitraires de x et de 1/ respectivement ; Télimination de ces fonctions et de leurs dérivées conduit à Téquation
Ôz ô'z
— = 05 OU AT = XS,
ôy d2;ôy
Soit encore le cas où z est défini par Tenveloppe d'une famille de surfaces à un paramètre, Téquation de ces surfaces renfermant deux fonctions arbitraires de ce paramètre ; pour fixer les idées, supposons que z soit défini par une surface développable, enveloppe d'un plan, et soit déterminé par les deux équations
(22) F = s-ax-/-(a)y-=p(a) = 0, |^ = 0;
en considérant a comme une fonction de x et de y définie par la seconde équation^ les dérivées de la première donnent /> == a, 7 = f{d), et on en déduit Téquation
.„«. ô«zô«z /î>*«V A . 1 A.
c'est Téquation aux dérivées partielles des surfaces développables.
L'intégration d'une équation aux dérivées partielles du Second ordre est un problème compliqué ; il peut être simplifié par la connaissance d'une équation auxiliaire du premier ordre dont toutes les inté-
grales satisfont à l'équation donnée ; une telle équation porte le nom ^intégrale intermédiaire du premier ordre. Par exemple Téquation
où ^ est une fonction arbitraire, est une intégrale intermédiaire de Téquation (23); c'est une équation de Clairaut généralisée que nous avons déjà considérée.
Lorsque Ton connaît une solution dépendant de cinq constantes, on rappelle solution ou intégrale complète ; lorsqu'on connaît une solution dépendant de deux fonctions arbitraires, on l'appelle ordinairement solution' ou intégrale générale. 11 faut remarquer que le passage de la première à la seconde n'est pas toiyours possible, comme dans le cas du premier ordre ; de plus le nombre des fonctions arbitraires ne renseigne pas toujours sur la généralité d'une solution. La seule manière de reconnaître qu'une solution est générale est de vérifier qu'on peut choisir les fonctions arbitraires de façon que la surface qu'elle représente: 1^ passe par une courbe donnée à l'avance; 2® ait tout le long de cette courbe une succession continue de plans tangents donnée à l'avance*
418. Exemples d'équations du '.second ordre. — 1^ Certaines équations ne renferment que les dérivées partielles par rapport à une variable ; on les traite comme des équations différentielles par rapport à cette variable, l'autre étant considérée comme constante, et l'on remplace les constantes d'intégration par des fonctions arbitraires de l'autre variable ; par exemple l'équation
peut être considérée comme linéaire et homogène du second ordre ; sa solution générale est de la forme
/* et 9 étant des fonctions arbitraires de y, Tj et r^ les racines de l'équation caractéristique r' -h A(y)r -h B(y) = 0.
2*» L'équation * = 0 ou — - = 0 a pour solution / et f étant des fonctions arbitraires l'une de x et l'autre de y.
654 ÉQUATIONS DIFFÉRBNTIEIXES
On peut ramener à la précédente, par un changement de variables indépendantes, beaucoup d'équations linéaires et homogènes ea r, #, /, à coefficients constants, c'est-à-dire de la forme
à ta place de a: et de y, on prend comme nouvelles variaUes les quantités
u = ouc-l-py, v = yx-\-^,
a, p, Y, $ étant des constantes; la fouction z de a et v satisfait à une équation analogue à (24), et Ton peut choisir les coefficients
a, p, Y, 3 de façon qu'elle se réduise à — r = 0 ; la solution est alors
de la forme z = f(u) -+- t^v).
Exemple. — Lorsqu'on étudie les vibrations d'une corde tendue, de longueur /, l'amplitude de l'écart z d'un point d'abscisse x est reliée au temps tetk l'abscisse x de ce point par une équation de la forme
^t^ ^ ôx«'
où a est une constante; il suffit de poser a; + a< = ti, x — ai:=v
pour ramener l'équation à T--r- = 0, de sorte que la solution est
z = f(x -ha()-h 9(aj — aQ»
/* et cp étant des fonctions arbitraires.
Ordinairement, on cherche une solution particulière de cette équation satisfaisant à certaines conditions aux limites ; si Ton suppose par exemple que les extrémités de la corde sont fixes, il faut que z soit nul, quel que soit t, pour a; = 0 et pour x=^l; il faut donc que /* et (p satisfassent aux identités
f{at) -h (p(— al) = 0, f{l -4- at) -f- ^l — al) = 0.
En changeant dans la dernière al en al -h Z, et comparant à la première, on trouve que Ton doit avoir f(al) == f(2l -+- at)^ c'est-à-dire que f(ai) doit avoir la période 2/, et il en est de même de (f(al); les deux fonctions /* et ^ sont donc développables en série de Fourier
(n*^ 347) pour toutes les valeurs de la variable ; nous soromes conduits de cette façon à exprimer Tintégrale deTéquation proposée sous la forme
z = EA« sm —j- cos — j h SB« sm — j— sm —y— »
m prenant les valeurs entières successives de un à Tinfini.
3® Lorsqu'on cherche à ramener Téquation (24) à la forme s = 0, et que les coefficients a, p, y, $ sont imaginaires, on peut diriger le oaleiil de façon à aboutir à la forme r + ^ == 0, c'est-à-dire
pour former des solutions de cette équation, il suffît de prendre une fonction arbitraire de la variable complexe x + ^y, i étant la quantité imaginaire fondamentale, et de séparer cette fonction en sa partie réelle et sa partie imaginaire. La partie réelle et le coefficient de i sont des solutions de Téquation proposée.
4"* Considérons une équation du second ordre linéaire et homogène à coefficients constants, de la forme
en généralisant la méthode employée dans le cas des équations différentielles (n^ 404), nous allons chercher une solution particulière de la forme z = e***P^,a et p étant constants; en remplaçant z par sa valeur, nous trouvons que a et p doivent satisfaire à Téquation caractéristique
(25) aa«-h26apH-cp«-h2rfa-h2ep4-/'=0.
 chaque système de valeurs de a et p satisfaisant à cette équation correspond une solution particulière ; si nous remarquons que le produit d'une solution par une constante arbitraire, et la somme de deux solutions sont encore des solutions, nous voyons que nous pouvons trouver une solution renfermant une infinité de constantes arbitraires, de la forme
z = C|C'**+^y -h Cte«^+Ptf' H ;
ajoutons que si ^ est remplacé par sa valeur en fonction de a dans
la forme générale e*' '*'^, les dérivées de tous ordres de cette expression par rapport à a sont encore des intégrales.
Lorsque Téquation caractéristique (25) se décompose en équations linéaires, de la forme
a(a — mp — /i)(a — m'p — n') = 0, la fonction
z = e^f(mx -h y) -I- e*'*o(m'a: -4- y),
où /* et 9 sont des fonctions arbitraires, est la solution générale de Téquation proposée.
Si les deux facteurs linéaires sont égaux, c'est-à-dire si Téquation caractéristique (25) représente une droite double, la solution générale est
z = e^f(mx -h y) -H e^x^^mx -h y),
/* et 9 étant encore des fonctions arbitraires. Exemple. — Considérons Téquation
que Ton rencontre quand on étudie la manière dont varie, avec le temps /, la concentration z d'une dissolution placée dans un cylindre ; x est la distance d*une section de ce cylindre à une des extrémités. En cherchant une solution de la forme z = Cc**+^', on trouve p = Aa*, et en prenant pour a la valeur {aî, où i est / — i, on obtient une solution de la forme
z = c'"****'(C cos jAX -h C sin jax);
en donnant à \k des valeurs successives, et faisant la somme des termes ainsi obtenus, on peut former une série représentant une solution de Téquation, et déterminer ses coefficients de façon à satisfaire à des conditions données aux limites.
Exercices sur les compléments d'algèbre*
i. Résoudre le système d*équations
3a:-h(m— l)y = 3; e)caminer les différents cas qui se présentent suivant les valeurs de m.
abc
