Etant donnée la droite représentée par Téquation

aî + y — 1=0,

trouver le lieu des points dont le carré de la distance à cette droite est égal au produit des distances du même point aux deux axes, et construire ce lieu.

45. Trouver le lieu des points d'un plan dont la somme des carrés des distances à n points donnés dans ce plan est constante.

46. Quelle relation doit-il exister entre les coefficients des équations de deux cercles, écrites sous la forme

a;«-|-y»-4-2ax

pour que ces cercles soient orthogonaux ? On écrira que le carré de la distance des centres est égal à la somme des carrés des rayons.

47. Ëtant donnés sur Taxe des x deux points A et A' symétriques par rapport à 0, trouver le lieu des points du plan dont le rapport des distances à A et A' est égal à ft ; ce lieu est une circonférence. Montrer que lorsque k varie, les circonférences obtenues coupent Taxe des y en deux points fixes imaginaires, et qu'elles sont orthogonales à toutes les circonférences passant par A et A'. Les points A et A' sont appelés les points limites du premier faisceau de circonférences.

48. Montrer que la projection d'une circonférence sur un plan qui ne lui est pas parallèle est une ellipse ; on supposera que le plan de projection passe par le centre du cercle, on prendra ce centre pour origine, l'axe des x dirigé suivant le diamètre du cercle situé dans le plan, l'axe des y suivant la projection du diamètre perpendiculaire à celui-là et l'on déterminera l'équation de la projection de la circonférence rapportée à ces axes. Déduire de là la valeur de l'aire de l'ellipse.

A9. Former l'équation de l'ellipse en coordonnées polaires en pre-

nant comme pôle le centre de la courbe. Montrer que si pi et ps sont deux rayons vecteurs rectangulaires de la courbe, on a

50. Quelle est la courbe dont les points ont des coordonnées représentées en fonction du paramètre (p par les équations

x= , y = 6tg<p?

cos <p ^ ^ ^

5i. Une sécante coupe une hyperbole en deux points A et B, et les asymptotes en deux points A' et B' ; démontrer que les milieux des segments AB et A'B' sont confondus, par suite, que AA' et BB' sont des segments égaux et de sens contraires. Déduire de là une construction par points d'une hyperbole dont on connaît les asymptotes et un point A, en faisant tourner une sécante autour de ce point et en construisant chaque fois le deuxième point de la courbe situé sur la sécante.

52. Exprinier en fonction de a et de Texcentricité e les quantités 6 et c dans le cas d'une ellipse et dans celui d'une hyperbole. Dans le dernier cas, déterminer en fonction de e le demi-angle des asymptotes.

58. Étant donnés dans l'espace deux points A et B de coordonnées (xi^yiyZi) et (x^^yz^Zi), les coordonnées du point C de la

droite AB tel que 7;^ = X ont pour valeurs

xi -^ Xx2 ^^ .Vi-f-\V2 ^ fi-f-Xzs.

on a ainsi, quaud X varie, l'expression des coordonnées des points successifs de AB. Déduire de là les coordonnées du milieu de AB.

54. Etant donnés dans l'espace trois points A, B, C de coordonnées («1,^1,^0, (3^,^2122), (aî8»yai ^ï), montrer que les coordonnées d'un point D du plan ABC ont pour valeurs

^ ^ l^Xj -h X^2 -f- XaXa ^ ^ ^i.Vi -4- hy^ -h X3.V3

Al H— A2 -f- Aj ' Al — |- A2 -f- A3

__ XiZi -h Xag» -4- X3Z3 .

Xi-f-Xs-hXa '

déduire de là l'équation du plan passant par les trois points A, B et C.