DÉRIVÉES

V^l— ar»

72. D'après Christoffel, l'indice de réfraction d'un rayon lumineux de longueur d'onde X est donné par la formule

tiq et \ étant des constantes. Calculer la dérivée de n par rapport à X. 78. Déterminer la dérivée d'ordre n de -^ , de sin ax et de

iog(i+ar). y^

74. Montrer que la dérivée n' d'un produit nv est donnée par la formule suivante, qu'on appelle formule de Leibniz:

y» = a<">o H- ~ u('-iV-|-. ^^^^) aC— av+ • • • -h ai7<"> ,

les coefficients successifs étant ceux du binôme.

75. Vérifier que les fonctions ^ cos bx et e'^ sin 6a; satisfont à la relation

76. Etudier les variations des fonctions suivantes, et construire les courbes représentatives :

x^-^px^-^q, (x— i)»(5 — x)*, x + ~ (a>Ooua<0),

j.» — 3x-f-2 2j;«— ^5aî-h2

a;2 52 ^i-Hx tg

Sx

(« -H i)« Sx* — iOo: H- 3 ' x» — 6* "^ V 1 -h x tg 2a;

X — sin2a:, 2sina;-f-cos 2x^ x^er'*, a;-t-log(«* — 1).

77. Ëtudier la variation du volume d'an cône d'apothème donné.

78. Ëtudjer la variation du volume et celle de la surface totale d'un cylindre ou d'un cône inscrits dans une sphère donnée.

79. Ëtudier la variation du volume, de la surface latérale et de la surface totale d'un cône circonscrit à une sphère donnée.

80. Déterminer les dimensions d'un litre cylindrique en métal à une seule base, sachant que la surface du métal est minimum.

81. Déterminer sur la droite joignant deux points où sont placées des sources lumineuses d'intensités données différentes le point dont l'éclairement est maximum.

82. On donne un petit segment rectiligne horizontal ; déterminer le point où il faut placer une source lumineuse : 1^ soit sur une droite donnée perpendiculaire à la direction du segment; 2^ soit sur une ellipse donnée dont le centre est le milieu du segment, pour que l'éclairement de ce segment soit maximum. On sait que cet éclairement est en raison inverse du carré de la distance de la source lumineuse au centre du segment et proportionnel au sinus de l'angle formé par le rayon lumineux aboutissant à ce centre avec la direction du segment éclairé.

83. Former les dérivées partielles du premier ordre des fonctions

x-hy A^ + V xy -«.

'" ^ arctg-; ^^ » —==^==f e^;

xy i—^y y/i-HX*-ht/«

pour la dernière fonction, former fx,s .

84. Déterminer les dérivées première et seconde des fonctions implicites y définies par les équations

x^ — ixy-hy^ — 1=0, x*-4-y' — 3aa;î/ = 0, sin ^ = 71 sin x , log ^x* -h y* = arc tg ^ •

85. Déterminer les dérivées partielles de la fonction z définie par l'équation

Ml ^ ?! 1=0.

a:* -h y * -h is* — a* a:* -i- y* -4- js* — 6* x* -f- y* H- z* — C'

86. Déterminer les maxima et les minima des fonctions implicites

y définies par les équations

y« — 2x1/ -h 2a;« — 2ar = 0, y» -h x» — 3aaîi/ = 0 .

87. Ëtant donnée la courbe du second ordre ayant pour centre lorigine et représentée par Téquation

Aa;« -f- 2Ba5y H- Ct/2 — 1 = 0,

déterminer les directions et les longueurs de ses axes en cherchant les points pour lesquels le carré de la distance au centre, c'est-à-dire la fonction p* = a;^ + y^ passe par un maximum ou un minimum.

88. Ëtant donnée dans Tespace la courbe d'intersection de Tellipsoîde

a* o* c* et du plan

ux -+- vy H- wz = 0

passant parle centre, déterminer les axes de cette section en cherchant les points pour lesquels la fonction p* = x* -h y* -+- z' passe par un maximum ou un minimum ; démontrer que les directions des axes sont les droites communes au plan et au cône dont Féquation est

et que les carrés des longueurs des demi-axes sont les racines de Téquation

fl'a* 6V cHjû^ __^

89. Ëtant donnée la surface du second ordre ayant pour centre Torigine et pour équation

Ax« -+- A'y* -4- A'z* H- 2By2 -h 2^'zx -f- 2Wxy —1=0,

déterminer les directions et les longueurs de ses axes en cherchant les points pour lesquels la fonction p' = x* h- y* -+- z* passe par un maximum ou un minimum.

90. Déterminer dans l'espace le point dont la somme des carrés des distances à des points fixes donnés est maximum ou minimum.

91. Un récipient a la forme d'un parallélépipède rectangle et sa surface se compose de l'ensemble de ses faces moins une ; déterminer ses

dimensioDs de façon que cette surface soit minimum pour un volume donné.

92. Déterminer dans le plan d*un triangle le point dont le produit des distances aux trois côtés est maximum.

98. Déterminer un parallélépipède rectangle inscrit dans un ellipsoïde, et dont le volume ou la surface totale soit maximum ou minimum.

94. Ëtant donnés deux nombres x et i/ = x + e dont la différence est très petite, quelle erreur commet-on lorsqu'on substitue à

v/a^ la moyenne arithmétique — ^-^ des deux nombres?

95. Avec quelle approximatioa connait-on la surface d'un rectangle dont les dimensions sont a = 75'" à 2"" près, et 6 = 32«"* à i*" près?

96. Ëvaluer une limite supérieure de Terreur dont est affectée la racine cubique d'un nombre approché ; déterminer le rayon d'une sphère dont le volume est 2™% 752 à !*"• près, le nombre ic étant pris égal à 3,1416; évaluer une limite supérieure de l'erreur commise.

97. Déterminer l'approximation avec laquelle on peut évaluer le côté 6 d'un triangle rectangle dont on connaît l'hypoténuse a = SS",? à 0» , 2 près et l'angle B = 36*» 28' à 5' près.

98. Avec quelle approximation connaît-on la durée d'oscillation d'un pendule simple dont la longueur est ^=1°', 578 à 0,002 près; le nombre g est égal à 9,81 à 0,005 près. Quelle valeur approchée suffit-il de prendre pour ir pour effectuer le calcul?

99. Calculer à un millimètre près les dimensions du litre, sachant qu'il a la forme d'un cylindre dont la hauteur est égale au diamètre.

100. Calculer à 1 millième près tg 15"* qui est égale à v/ t-