CHAPITRE VI

27. MlteillOM. — gériec4WiCMgMice«JmifBaU, — On appelle %éne une expression composée d^mie infinité de termes se snecédant H partir d'an terme initial diaprés une loi donnée, et réonis par le signe -*- .

On dit qa*one série est déterminée si Ton a le moyen de calculer chaque terme dè% que Ton connaît son rang ; en particulier, si Ton donne Texpression du terme de rang n en fonction de n, on dit que Ton donne le terme général de la série.

Par exemple, les séries

sont déterminées, et le terme général y est mis en évidence. Considérons une série écrite sous la forme générale

H) Di-hOi-f-Oi-f- • • • 4-a,-f- • ♦ • ,

ci formons les sommes constituées par le premier terme, les deux premiers termes, • . . , les n premiers termes, ... ; désignons-les

par

S, = Ui ,

Si = II, 4- iij ,

S„ = ll| -h «l2 -H • • • H- 0»-i 4- Qn ,

DES SÉRIES i7

Si la suite des nombres

(5) Si, Sj, Sa, . . . , Sn, . . .

a une limite, on dit que la série (4) est convergente et que cette limite

est la somme de la série ; si la suite (5) n'a pas de limite, soit parce

que ses termes augmentent au delà de tout nombre donné, soit parce

qu'ils oscillent sans tendre vers un seul nombre fixe, on dit que la série

(4) est divergente.

Par exemple, la série (i) est convergente, car la somme S„ des

n premiers termes est celle d'une progression géométrique et a pour

valeur

elle a pour limite i, et ce nombre est la somme de la série.

La série (2) est divergente, car la somme des n premiers termes augmente indéfiniment avec n ; la série (3) est aussi divergente, car la somme des n premiers termes est égale à 0 ou à i suivant que n est pair ou impair, et cette somme n'a pas de limite.

Les séries convergentes sont les plus importantes, et sont du reste les seules que Ton puisse introduire dans les calculs ; elles sont la généralisation des sommes arithmétiques ou algébriques formées d'un nombre fini de termes; nous indiquerons des règles qui permettent de décider dans beaucoup de cas si une série donnée est convergente ou non, et nous montrerons comment on peut calculer sa somme si elle est convergente.

28. Progression géométrique. — Pour chercher si une série est convergente, il faut, d'après la définition, chercher si la somme Su des n premiers termes a une limite ; il est rare que l'on puisse exprimer S. en fonction du rang n, et constater directement si cette somme a une limite et quelle est la valeur de cette limite. Le calcul n'est guère possible que dans le cas des progressions géométriques prolongées indéfiniment ; ce sont les séries les plus simples.

Considérons une progression géométrique prolongée indéfiniment dont le premier terme est a et la raison q,

a -^ aq -\- aq^ -\- • • • -f- ay*-* -}-•••;

48 COMPLÉMENTS d'aLGÊBRB

la somme S, des n premiers termes a pour valeur

Si q est en valeur absolue supérieur ou égal à Tunité, S. augmente indéfiniment avec n et la série est divergente ; si au contraire q est «n valeur absolue inférieur à Tunité, S„ a une limite qui est

•et la série est convergente ; sa somme est égale à S.

On ramène autant que possible Tétude des séries à celle des progressions géométriques, comme nous le verrons plus loin; nous commencerons par démontrer un premier théorème fondamental.

29. Théorème I. — Pour qu'une série soit convergente, il est né- -cessaire que son terme général ait pour limite zéro.

En effet, pour que la série (4) soit convergente, il est nécessaire que la suite (5) ait une limite déterminée ; deux termes consécutifs -quelconques S^^i et S» de cette suite doivent tendre vers cette limite quand n augmente, par suite leur différence, qui n'est autre que le terme «„, doit tendre vers zéro lorsque n augmente indéfiniment, d'après le théorème du n® 25 ; le théorème est ainsi démontré.

Les séries (2) et (3) ne remplissent pas la condition précédente et J'on a vu qu'elles sont divergentes; au contraire la série (1), qui est convergente, a pour terme général un nombre qui tend vers zéro. II faut remarquer toutefois que la condition énoncée dans le théorème précédent n'est pas suffisante et qu'il existe des séries qui ne sont rpas convergentes, bien que le terme général tende vers zéro.

80. Série harmonique. — L'exemple le plus connu de ce fait est -celui de la série

-t]ue Ton appelle série harmonique ; son terme général a pour limite .zéro ; nous allons démontrer qu'elle est cependant divergente.

Séparons en effet les termes en groupes successifs, le dernier terme

dechaqiie groupe ayant pour dénominateur une puissance de 2; si BOUS remarquons que dans chaque groupe un terme quelconque est supérieur au dernier, nous pouvons écrire les inégalités suivantes :

ou

ou

ou

ou

ÏÔ

nous voyons de cette façon que la somme des termes entrant dans les p

premiers groupes est supérieure à ^ et augmente indéfiniment avec />; la série est donc divergente.

3i. Remarques. — Si Ton supprime dans une série un ou plusieurs termes parmi les premiers, la série restante est convergente ou divergente en même temps que la première.

Supposons en effet que Ton supprime dans la série

«i-hUi-f- ••• -H«p+ '•• -htf„-f- •••

un certain nombre de termes parmi les premiers, et que le rang de ces termes ne dépasse pas le nombre p. Si Ton forme dans la série proposée et dans celle que Ton obtient après cette suppression les sommes des termes jusqu'à u^, n étant un nombre entier quelconque supérieur à p, ces sommes diffèrent Tune de l'autre d'une quantité fixe égale à la somme des termes supprimés; par suite, si Tune a une limite lorsque n augmente indéfiniment, il en est de même de l'autre. Les deux séries sont donc en même temps convergentes ou divergentes.

Cette remarque permet, dans la recherche de la convergence ou de la divergence d*une série donnée, de faire abstraction d'un nombre fini de termes pris parmi les premiers, ou de considérer seulement les termes dont le rang dépasse un nombre donné arbitraire.

Xous ferons encore la remarque suivante : En multipliant par un VocT. — Math. sup. 4

même nombre A. tous les termes d'une série, on forme une deuxième série qui est convergente ou divergente en même temps que la première ; en eiïet la somme des n premiers termes de la deuxième série est égale au produit par A de la somme des n premiers termes de la première; si Tune des sommes a une limite, l'autre somme a aussi une limite, et inversement.

32. Séries à termes positifs. — Nous commencerons par étudier les séries dont les termes ont tous le même signe ; nous pouvons supposer ces termes positifs ; tout ce que nous dirons de ces séries s'appliquera au cas où les termes sont tous négatifs.

Théorème II. — Si la somme des n premiers termes d'une série à termes positifs reste finie lorsque n augmente indéfiniment, la série est convergente.

En effet, les termes de la suite formée par les sommes successives

Si, Ss, • • • t S„, . . -

vont en croissant lorsque n augmente ; s'ils restent finis, ils sont inférieurs à un nombre fixe, par suite ils ont une limite (n** 24), et Ton en conclut que la série est convergente.

Ceci nous montre que si une série à termes positifs n'est pas convergente, la somme S„ ne peut rester finie, et doit augmenter indéfiniment avec n.

33. Comparaison des séries. — On étudie ordinairement la convergence d'une série dont la somme S» des n premiers termes n'est pas facile à déterminer, en comparant cette série à une autre dont les termes sont plus simples et en appliquant les théorèmes suivants :

Théorème III. — Si les termes d'une série à termes positifs sont, à partir d'un certain rang, inférieurs ou au plus égaux aux termes de même rang d'une autre série de même nature que l'on sait eue convergente, la série proposée est également convergente.

Si la propriété indiquée dans Ténoncé a lieu à partir d'un certain rang p, nous pouvons appliquer la remarque du n® 31 et faire abstraction dans les deux séries des p premiers termes ; nous sommes

ainsi ramenés à démontrer le théorème dans le cas où tous les termes d'une série à termes positifs sont, à partir du premier, inférieurs ou au plus égaux à ceux d'une autre série de même nature que Ton sait être convergente.

Désignons respectivement par Sn et S'„ les sommes des n premiers termes dans les deux séries ; d'après les hypothèses faites, S« est toujours inférieure ou au plus égale à S'», et, d'après la convergence de la deuxième série, S'„ est constamment inférieure à la somme S' de cette série ; nou^ concluous de là que S„ reste fini, et, d'après le théorème II, que la première série est convergente ; sa somme est inférieure ou au plus égale à S'.

Exemples. — Les séries ,-. sin*a sin'2x sin^Sa sin*na

-sont convergentes, car le terme de rang n de chacune d'elles est au

plus égal à ^ f et la série dont ce dernier nombre est le terme général

-est une progression géométrique convergente.

On verrait de même que si les termes d'une série à termes positifs sont, à partir d'un certain rang, supérieurs ou au moins égaux aux termes de même rang d'une autre série de même nature que l'on sait être divergente, la série proposée est également divergente.

Corollaire* — Si, u„ et v„ désignant les termes de même rang

n de deux séries à termes positifs, le rapport ~ reste à partir d'un

-certain rang compris entre deux nombres fixes non nuls A et B, (A<;B), les deux séries sont en même temps convergentes ou divergénies.

Il suffit pour le démontrer de remarquer que u„ reste compris entre Avn et Bv^ et d'appliquer le théorème précédent.

Exemple. — La série dont le terme général est:

52 COMPLÉMENTS d'âLGÈBRE

est divergente, car si Ton prend pour v„ le terme général de la série harmonique qui est divergente, on a

Pn 3n ,

ce rapport reste compris entre ^ ^^ X^ '^ ^^"^ donnée est donc

divergente.