Règle -it. . — Cette règle résidte du théorème suivant

Théorème IV. — Si dans une série à termes positifs

le rapport -^^^ d'un terme au précédent est, à partir d'un certain

rang, inférieur ou au plus égal à un nombre donné k plus petit que I , la série est convergente ; si ce rapport est, à partir d'un certain rang,, supérieur à Vunité, la série est divergente.

Supposons qu'à partir d'un certain rang p les rapports

Wp + l

Op-f.2

in nombre k

plus petit

Up = Up,

Op+i <kup,

Wp + S <ft«p+8

<k*tt^,

les termes de la série proposée sont, à partir du rang /?, au plus égaux à ceux d'une progression géométrique décroissante de raison A*, qui est convergente ; cette série est donc elle-même convergente (Th. III). Supposons maintenant que le rapport d'un terme au précédent soit, à partir du rang p, supérieur à Tunité ; tous les termes à partir de «^ sont au moins égaux au terme Op, et ils ne tendent pas vers zéro; la série est donc divergente (Th. I).

Pour appliquer ce théorème, on cherche ordinairement si le rapport -2^ a une limite pour n infini ; si cette limite existe et est iin

nombre / inférieur à Tunité, on peut affirmer que la série est convergente. Diaprés ce que Ton a dit au n® 23 sur les limites, on peut en effet affirmer qu'à partir d'un certain rang, le rapport d'un terme au précédent est [inférieur à un nombre / + e qui diffère de / d'aussi peu qu'on le veut, et l'on: peut toujours prendre ce nombre /-+- e inférieur à l'unité; en le prenant pour valeur de A, on se trouve dans les conditions du théorème précédent et la série est convergente.

Si la limite / est supérieure à l'unité, le rapport d'un terme au précédent est, à partir d'un certain rang, supérieur à un, et la série est divergente.

Si la limite / est égale à l'unité, on ne peut en général rien affirmer sur la convergence ou la divergence de la série.

Comme exemple, la série suivante, où a est un nombre quelconque positif,

est toujours convergente, car le rapport -^^ a pour valeur

Un ni n

et a pour limite zéro.

La série

(9)i-4-i.a-hi.2.a«-+-1.2.3.a5H i-(,i— l)!a--*-f-/iIa"-|-. ...

est au contraire toujours divergente, car le rapport d'un terme au pré- <rédent a pour valeur na et augmente indéfiniment avec n. La série

12 3 n n-hl

est telle que l'on a

ce rapport a pour limite a pour n infini ; la série est convergente si

54 COMPLÉMENTS D^ÂLGÈBRE

a est <1, et divergente si a est >!; elle est aussi divergente pour a = i , puisqu'elle se réduit à la série harmonique.

35» Règle v/u». — Cette règle résulte du théorème suivant :

Théorème V. — Si dans ane série à termes positifs

Y Un est, à partir d'un certain rang^ inférieur ou au plus égal à un nombre donné k plus petit que i, la série est convergente; si ^^esty à partir d'un certain rang, supérieur à l'unité, la série est divergente^

Si, à partir d'un certain rang, v/û» est au plus égal à un nombre A<i, a„ est inférieur à A", qui est le terme général d'une progression géométrique décroissante et convergente ; la série est donc aussi convergente (Th. III).

Si au contraire v^. est supérieur à Tunité, o» est aussi supérieur à Funité, et la série est divergente.

On applique ordinairement ce théorème en cherchant si v/ô„ a une limite; on voit, comme au n^ 34, que si cette limite existe et est plus petite que 1, la série est convergente : si elle est plus grande que i^ la série est divergente, et si elle est égale à i, on ne peut en général rien affirmer sur la convergence ou la divergence de la série.

36. Série dont le terme général est — • — Considérons la série * * * 4

où a est un exposant donné arbitraire ; nous allons démontrer qu'e//e est divergente si a est inférieur ou égal à \y et convergente si a est supérieur à i.

Si a est < i, — est supérieur à — » par suite les termes de la série

(il) sont supérieurs aux termes de même rang de la série harmonique ; celle-ci étant divergente (n* 30), I9 série proposée Test aussi.

Si a est > 1, formons avec les termes de la série (il) des groupes successifs, le premier terme de chacun d'eux ayant un rang égal à une

puissance de 2; si nous remarquons que, dans chaque groupe, un terme quelconque est au plus égal au premier, nous pouvons écrire

ou

ou

OU

Nous voyons que les termes de la série (il) jusqu'à un rang quelconque ont une somme inférieure à celle d'un certain nombre de termes de la série

celle-ci est une progression géométrique dont la raison -^^ est inférieure à !, et elle est convergente; la série proposée est donc aussi convergente, et sa somme est au plus égale à celle de la progression précédente.

Exemples: La série de terme général -| est convergente; la série

dont le terme général est r-^; -,, a, 6, c, d étant des nom-

bres fixes quelconques (6 ^ o), est aussi convergente, car le rapport de

son terme général au terme général -^ de la précédente a une limite

déterminée et non nulle quand n augmente indéfiniment ; ce rapport restedonc à partir d'un certain rang compris entre deux nombres fixes, et les deux séries sont convergentes en même temps (n^ 33).

37. Séries à termes quelconques. — Soit [i2) Hj-j-Oj-t- . . . -|-.||^4 ...

une série dont les termes, pris à partir d'un rang quelconque, ne sont pas tous de même signe ; cette série renferme donc une infinité de termes positifs et une infinité de termes négatifs. Le procédé le plus simple pour chercher si une telle série est convergente consiste à former la série dont les termes successifs sont les valeurs absolues des termes de

S6 COMPLÉMENTS d' ALGÈBRE

la série donnée, et à chercher d'après les règles précédentes si cette série à termes tous positifs est convergente : on applique ensuite le théorème suivant :

Théorème VI. — Si la série des valeurs absolues des termes d'une série donnée est convergente^ cette série est elle-même convergente.

Pour le démontrer, désignons par S„ la somme des n premiers termes de la série donnée (12); elle se compose de termes positifs dont nous désignerons la somme par P„ , et de termes négatifs dont nous représenterons la somme des valeurs absolues par Q„ ; nous aurons

S„ = Pn-Qn,

tandis que la somme des termes correspondants de la série des valeurs absolues sera égale à P„ -h Q„ .

Lorsque n augmente, P„ et Q^ croissent ou au moins ne décroissent jamais; comme P„-f-Q„ a pour limite la somme de la série des valeurs absolues et tend vers cette limite par valeurs croissantes, P„ et Q„ restent inférieurs à des nombres fixes. D'après le principe du n** 24, ces deux nombres ont des limites ; si nous désignons ces limites par P et Q, la somme S» a une limite égale à P — Q; la série (12) est donc convergente et a pour somme P — Q-

Exemples : Les séries dont les teimes généraux sont respectivement

(— !)" sinng (— !)"

sont convergentes ; la série (8) est convergente pour toute valeur positive ou négative de a ; la série (9) est toujours divergente car le rapport de deux termes consécutifs de cette série est, à partir d'un certain rang, plus grand que Funité en valeur absolue, et le terme général augmente indéfiniment ; la série (10) est convergente pour a compris entre — 1 et Ht 1.

88. Séries absolument convergentes. — On dit qu'une série est absolument convergente si la série des valeurs absolues de ses termes est convergente. Une telle série jouit des mêmes propriétés qu'une somme d'un nombre fini de termes, comme le montrent les théorèmes suivants :

Théorème VII. — En changeant (Tune manière quelconque Vordre des termes cTune série absolument convergente, on forme une autre série absolument convergente ayant même somme que la première.

Supposons que la série (12) soit absolument convergente, et dési* fnons par

(13) ui-M/J-h ... -\-u'„,-h •••

une nouvelle série constituée par les termes de la première pris dans nin ordre quelconque ; nous supposons toutefois que tous les termes pris jusqu'à un rang déterminé n dans la série donnée se retrouvent avec un rang fini dans la nouvelle série et inversement ; autrement dit à chaque nQqa))re n correspondent. des nombres n' et n-\-p tels que tous les termes de la série (12) jusqu'à u^ se trouvent parmi les n' premiers termes de (13), et que les n' premiers termes de la deuxième «érie se trouvent parmi les n-\-p premiers termes de la première, les nombres n et n-hp croissant indéfiniment avec n'.

Les lettres S«, P„, Q„ ayant les mêmes significations que dans le numéro précédent, et les lettres S^ , Pi/ , Qi/ ayant une signification analogue pour la série (13), nous pouvons écrire

Pn<P;/^P«^p, Qn<Qn^<Qn^p\

lorsque /i' augmente indéfiniment, n et /i+jo augmentent également; P, et Pn+p tendent vers une même limite P ; de même Q„ et Qn+p tendent vers une même limite Q ; nous en concluons que F'n/ et Q»/ ont des limites respectivement égales à P et Q ; nous en déduisons :

!• Que Si/ = Pi/ — Qi/ a une limite égale à P — Q, c'est-à-dire que la série (13) est convergente et a même somme que (12); 2« que Pi' + Qi^ a aussi une limite, c'est-à-dire que la série (13) est absolument convergente.

. Les séries non absolument convergentes ne jouissent pas de la propriété précédente ; nous nous contenterons de mentionner ce fait <|ue Ton peut, en changeant Tordre de succession des termes^ changer la somme d'une telle série et même la rendre divergente.

30. Séries alternées. — Le théorème VI fournit une condition suffisante pour la convergence d'une série à termes quelconques, mais cette condition n'est pas nécessaire, comme nous le verrons plus loin. Les

58 COMPLÉMENTS d'âLGÈBRE

séries les plus importantes après les séries à termes tous de même signe sont celles dont les termes sont alternativement positifs et négatifs, et que Ton appelle séries alternées; pour un grand nombre d'entre elles, on peut appliquer le théorème suivant :

Théorème YIII. — Si les termes (Pane série alternée vont constamment en décroissant en valeur absolue et tendent vers zéro, la série est convergente.

Nous pouvons supposer sans inconvénient que le premier terme est positif; nous écrirons la série, en mettant en évidence le signe des termes, sous la forme

(i4) a, — Uî-hWj — 04 -H ••• H-( — l)"""*o«-f- •••

Nous emploierons une représentation géométrique pour démontrer le théorème. Sur une droite indéfinie (fig. i), portons à partir d'un

0 A, A4 Aja ^tufi Aia| A., Aj

Fig. I

point 0 une longueur OAi mesurée par Oi, puis en sens contraire AiAs = 112 1 puis dans le sens primitif AsAs = 03, et ainsi de suite ; la somme S„ des n premiers termes de la série (14) est mesurée par OA..

Gomme les nombres iii, 1/2, • • • vont en décroissant, A9 est entre 0 et Al, As entre A2 et Ai, etc., et chaque point est situé entre les deux précédents dans la suite 0, A, , As, A, , ...

Nous voyons que les sommes Sa, S4, . . . , 82», ... sont représentées par OA:, OAi, . . . , OAt., ... et augmentent en restant inférieures à Si ; elles ont donc une limite (n® 24) ; de même les sommes S,, S3, . . . , Sifl^i, . . . , sont représentées par 0A|, 0A«, . . . , 0A2n^i, ... et diminuent en restant positives; elles ont aussi une limite. Ces deux limites sont égales, car la différence entre S«i,^, et S211 est égale à ii2„+i et tend vers zéro ; nous en concluons que la série est convergente.

Le raisonnement précédent montre que les points Ai, At, ... , Asn, Asn+ii • • • ont un point limite A tel que OA soit égal à la^omme de la série.

Exemple. — La série (15) i«|. + |.^|+ ... H(-.i)«-ii+ ...

satisfait aux conditions du théorème, elle est donc convergente ; cependant la série des valeurs absolues de ses termes est divergente, car elle est la série harmonique (n"" 30).

40. Calcul numérique de la somme d'une série convergente. — Il est rare que Ton puisse déterminer exactement la somme d'une série convergente, en dehors du cas particulier des progressions géométriques ; le plus souvent, on ne peut calculer qu'une valeur approchée de cette somme.

11 est vrai que les méthodes que nous allons indiquer permettent le plus souvent d'obtenir cette somme avec une approximation aussi grande qu'on le veut; on peut, de cette façon, former, si on le désire, une suite

de valeurs approchées ^ tti > rTr^^ foi' — V^^^i ^^ ^^ somme cherchée

sera la limite de cette suite de la même manière que V^ est la limite de ses valeurs approchées avec 1,-2, 3, ... chiffres décimaux. Toutefois la formation d'une telle suite est plutôt théorique que pratique, et Ton se contente dans les applications numériques d'une seule valeur approchée de la somme, obtenue avec une approximation fixée à l'avance. Étant donnée la série convergente

la méthode communément employée pour trouver une valeur approchée de sa somme consiste à conserver seulement un certain nombre de termes pris à partir du premier et à négliger les suivants, qui sont relativement petits, puisque le terme général tend vers zéro ; de plus, on remplace les termes conservés par leurs valeurs décimales approchées à un certain degré d'approximation. En supposant que l'on s'arrête à Ui», et que l'on substitue à Ui, U2, . . . , a» les valeurs approchées ii|. Oit « •• 9 Un > on prend la somme

comme valeur approchée de la somme S de la série.

L'erreur ainsi commise sur S se compose : 1** de l'ensemble des

60 COMPLÉMENTS d'aLGÈBRE

termes négligés, que Ton appelle ordinairement le reste de la série, et qui est

• • • Rii = w„+i -f-o„,^8-f- • • •;

2* des erreurs que Ton commet sur Ui, ki^, . . . , u^ en leur substituant les valeurs ui, 172, . . . , ii;[. La détermination exacte de ces erreurs est -en général impossible, surtout celle de la première, mais on peut trouver une limite supérieure de leur somme, et cette limite est la seule <]uantité qu'il importe de connaître.

Généralement, Ton se donne à Tavance le degré d'approximation avec lequel on veut calculer une valeur approchée de S ; on détermine alors le rang n du terme auquel on doit s'arrêter, ensuite Tapproximalion avec laquelle on doit calculer les termes conservés pour que Terreur totale commise soit inférieure à la limite que Ton s'est imposée.

Des deux sortes d'erreurs que nous avons mentionnées, la seconde, provenant de la substitution à Oi , Us , . . . , Qn de valeurs décimales approchées, est du domaine de l'arithmétique et nous n'insisterons pas «ur sa détermination ; c'est ia première erreur, c'est-à-dire la valeur de R„ ou une limite supérieure de cette valeur, qu'il nous importe le plus de connaître actuellement.

Dans le cas où la série a ses termes de même signe, par exemple tous positifs, le procédé le plus pratique pour calculer une limite supérieure de R„ consiste à chercher une progression géométrique décroissante

dont les termes soient égaux ou supérieurs à ceux dont se compose le reste R„ de la série ; ce reste sera alors au plus égal à la somme de cette progression. Par exemple, le reste R„ des séries (6) et (7)(n*» 33) est inférieur à

*~2 Si l'on n'aperçoit pas immédiatement une telle progression, on peut utiliser le rapport -^^* , ou bien v^ii„ , pour en former une ; supposons

que le rapport d'un terme au précédent soit, à partir du rang n -h 1, inférieur à un nombre A< 1 ; nous voyons, comme au n* 34, que l'on a

Wi.*i4-tf„+2-4- • • • <iJ„+i(l-4-A:4-A*-h • • • )'

et noas en déduisons, en faisant la somme indiquée au second membre,.

Pour donner un exemple, supposons que Ton veuille déterminer une valeur approchée à ^^^près de la somme de la série

celle série est convergente, car le rapport

Un 8a

a pour limite le nombre -^ qui est inférieur à Tunité.

En négligeant les termes à partir du rang n, le reste de la série est n-hl . n-4-2 ,

gi.*! ^ 8«*a

comme dans cette somme le rapport d'un terme quelconque au précé-

dent est au plus égal à celui des deux premiers, c'est-à-dire à ^, ^. ,.

nous voyons, en répétant un raisonnement fait précédemment, que Rn est inférieur au nombre

Pourn=: 4, ce dernier nombre est inférieur à i^ , et il en est de même

de Rft a fortiori ; il suffira alors de conserver les termes iii , Ui, a^ et n^ et, comme le premier est connu exactement, de calculer une valeur approchée de trois autres à près ; l'erreur totale sera alors inférieure à

-^ï777ïïîn = înnÂn' et a /bWiori .

Prenons la somme des valeurs approchées par défaut des quatre premiers termes avec 4 chiffres décimaux :

lïî = 0,125

Di = 0,0312 iii = 0.0058 ni = 0,000 9

c'est une valeur approchée par défaut de la somme de la série à 5 dixmillièmes près ; cette somme est donc comprise entre 0,162 9 et 0,1634.

Lorsque les termes d*une série décroissent rapidement, et que Tétude du reste à priori n'est pas facile, on se contente souvent de calculer les termes successifs à partir du premier avec un ou deux chiffres décimaux de plus que ceux qui sont nécessaires pour rapproximation demandée ; on s'arrête quand le calcul ainsi dirigé ne fournit plus de chiffre significatif, et Ton fait la somme des termes calculés. On estime que le reste, qui est comparable au premier terme négligé, est inférieur à Terreur permise, et Ton se dispense de le calculer ; il est bon cependant, dans un calcul précis, d'évaluer une limite supérieure du reste et de vérifier que Terreur totale ne dépasse pas celle qui est imposée à Tavance.

Dans Texemple précédent, en calculant les ternies successifs avec 4 chiffres décimaux, on a d'abord pour ni, 1/2, ai, al les valeurs déjà données, puis pour ui la valeur 0,0001, et ué n'intervient plus; la somme des termes conservés est 0,163 0 et Ton prend 0,163 pour la valeur demandée.

Lorsque les termes d'une série ne sont pas tous de même signe, mais» que cette série est absolument convergente, on est certain que le reste R„ est au plus égal au reste correspondant de la série des valeurs absolues ; on peut en général calculer, par les procédés que nous venons d'indiquer, une limite supérieure de ce dernier reste, et ce sera une limite supérieure de R».

Si la série n'est pas absolument convergente, le calcul est moins simple ; dans le cas cependant où la série est alternée et satisfait aux conditions du théorème VIII on a le résultat suivant :

Le reste R» a /e même signe que le premier terme négligé, et sa valeur absolue est au plus égale à celle de ce terme.

On voit en effet sur la figure que si Ton s'arrête au terme Uu-i^

R, est représenté par Aj„iA; il est négatif et inférieur en valeur absolue à AsM-iAs^f c'est-à-dire à 0211; si Ton s*arréte au contraire à II2J,, Rk est positif et inférieur à AsnAsa^i, c'est-à-dire à Oin^ii ce qui démontre la règle.

41. MMiode de Sttrllng et de M. Andoyer. — Lorsque les termes d'une série convergente décroissent lentement, en particulier lorsque la valeur absolue du rapport d'un terme au précédent a pour limite luaité, les méthodes précédentes conduisent à des calculs trop longs ou impraticables; c'est ce qui a lieu par exemple pour la série (15) ; il faut alors aller jusqu'au lOO*" terme pour être certain que R^ est inférieur à un centième. C'est aussi ce qui a lieu pour la série (il), dans laquelle le rapport d'un terme au précédent a pour limite l'unité ; on ne peut donc comparer les termes du reste à ceux d'une progression géométrique simple.

La méthode que nous allons exposer consiste non pas à rendre le reste R. inférieur à l'approximation donnée, mais à trouver deux valeurs approchées de ce reste, Tune par excès, l'autre par défaut ; on peut alors prendre pour n une valeur assez petite, ce qui simplifie le calcul de S,, .

A la série donnée, de terme général iin, nous ferons correspondre

une autre série dont le terme général ni est comparable à — ^ » /> étant

un entier arbitraire ; pour ne pas compliquer l'écriture, nous prendrons pour p le nombre 3, mais le raisonnement s'étendrait facilement au cas où p aurait d'autres valeurs.

Posons

ilî = 11, -h <2llj,

«2= M» l%Ui-htzOzy

Oi = U« — <nW« + ^.. + |W„H.i , On^-i = U|, + i ^n + lUfi + l -h ^ni-2l'n-»-2f

/i, <j, ... /«» • • • étant des nombres encore inconnus, mais tels que le produit t^u^ ait pour limite zéro pour n infini. La série de terme général u^ est convergente, car on a

S« = Sn -h L-^lOn+l

6i COMPLÉMENTS d'âLGÈBAE

et, d'après les hypothèses faites, S'^ a une limite égale à celle de S„ ; le reste R^ de la nouvelle série a pour valeur

R» = Ru — ^n+iOit^-i ; on en déduit

(i6) R« = Ri-h^*io«+i;

c>st cette égalité qui sert à déterminer R« . La formule qui donne if^ s'écrit

nous désignerons par T„ la parenthèse du second membre; nous: allons profiter de Tindétermination des quantités l pour faire en sorteque /i'Ta ait une limite / donnée à Tavance, pour n infini ; nous> distinguerons deux cas pour développer le calcul.

1" Cas : La limite de -^^^ n'est pas égale à -f- i. Nous poserons, alors, pour toute valeur de n,

a, b, c, d étant des constantes, puis nous calculerons ces constantes, par la condition qu'on ait pour n croissant indéfiniment :

(19) limT„ = 0, UmfiT, = 0, lim7i*T„ = 0, lim7i»T„ = /;

ce choix de tn^i satisfait bien à la condition que lim (f^u^ = 0, car Un a pour limite zéro.

Cela posé, les termes u'n décroissent rapidement; supposons n choisi de telle sorte que R,^ ait le même signe que le premier terme

négligé H"+,, et que ce signe soit celui de — ^ dont u'^^^ difiere

très peu. Supposons que l'on donne à / successivement deux valeurs^ de signes contraires, et qu'on calcule les valeurs correspondantes de /„^iii,.^i; comme Ril a dans l'un des cas une valeur positive, dans l'autre une valeur négative, les deux valeurs de <„+iii„+i seront, d'après la formule (16), des valeurs approchées par défaut et par excès de R„. 11 est inutile de calculer les termes t/i, o^, ... u'^ de la nouvelle série ; il suffit de déterminer directement S^ avec une approxi-

mation suffisante et de lui ajouter les valeurs approchées de R« pour avoir des valeurs approchées de la somme de la série.

Exemple: Soit à trouver la somme de la série alternée (15); le rapport d'un terme au précédent a pour valeur

«« n-f-i' avec la valeur (18) de /„+i, nous avons

L n — i {n — 1)* [n — 1)'J n+lL n n} n'J les conditions (19) nous donnent successivement

Gioisissons pour n la valeur 10, de sorte que an+i=F=— ; en

donnant à Ma valeur -r-t R^ est positif, et ^ous avons

'— =2^4Ô~4ÔÔ = 4ÔÔ' '-'«-« = 0.0475;

le dernier nombre est une valeur de R» approchée par défaut. En donnant à / la valeur — — » Ri est négatif, et nous avons

'--'== 2 ^4Ô""4ÔÔ^4ÔÔÔ^iÔÔÔ' <-^i««^t = 0,0475227 ... ;

le dernier nombre est une valeur de R,, approchée par excès. Comme nous avons d'autre part directement

Sio = 0,6456349 ,

nous en concluons

Z' Cas : La limite de -^^^ est égale à -h 1 ; il est nécessaire que

On

nu^ ait pour limite zéro, car sinon la série donnée serait divergente en

même temps que la série harmonique. A la place de la valeur (18) nous

VoGT. — Math. sup. 5

66 COMPLÉMENTS d'âLGÈBRE

choisirons pour tn+i la valeur

et nous déterminerons encore les constantes a, b, c, d par les conditions (19) ; ce choix de /„+i satisfait bien à la condition que ^„u„ ait pour limite zéro ; nous achèverons alors le calcul comme précédemment.

Exemple : Soit à trouver la somme de la série

le rapport d'un terme au précédent a pour valeur

Wi.-n y»' .

Un [n-hiy'

avec la valeur (20) de /„+i, nous avons T.= l-[a(»-l) + J + ^H-j^ji,]

les conditions (19) nous donnent successivement

Choisissons pour n la valeur 9, de sorte que ''«-»-i = 77^î en don-nant à / la valeur -^^ R^ est positif ; nous avons

le dernier nombre est une valeur approchée de R^ par défaut. Ea

donnant à / la valeur — -r-> nous avons

f„,, = 9-f-|-*-^ = ^; U,ii«^i = 0,105185...;

le dernier nombre est une valeur approchée de R^ par exoès. Comme nous avons d'autre part directement

89 = 1,539767. . . , nous en concluons

Dans la méthode que nous venons d'exposer, l'approximation n'est connue qu'à la fin du calcul; si elle est insuffisante, il suffit de prendre pour n une valeur plus grande, ou bien d'appliquer la méthode à un exposant p supérieur à 3.