Vérifier la formule

| = 4arctg|— arctg^ig et en déduire la valeur de -k .

107. On donne un arc de cercle AB dont la corde est ésale à 21

f et dont la flèche est f^ et Ton pose -7- = ^; démontrer que la valeur

de Tare AB est donnée par la série

arcAB = 2/(l + ^x«-3?j.» + ^x );

montrer que si Ton prend, comme valeur approchée de Tare AB , VoGT. — Math. sup. 43

Texpression 2 \//* -f- /* + "07' et si on la développe en série suivant

les puissances croissantes de x, la différence entre la valeur exacte et la valeur approchée de Tare est divisible par x^ .

i08. Former le tableau des différences successives de la suite des carrés des nombres entiers, ainsi que de la suite des cubes de ces nombres.

109. Appliquer la formule d'interpolation de Lagrange et celle de Newton à la détermination d'une fonction qui prend les mêmes valeurs

que COS.T pour x= — — > —1 0, -f--7-» -*-t" Même ques-

tion en remplaçant cos x par sin x .

liO. La pression de la vapeur d'eau en mm. de mercure aux envi> rons de 100^ est donnée par le tableau suivant:

appliquer les diverses formules d'interpolation au calcul de la pression pour une température comprise entre 99,5 et 100,5.

111. Déterminer l'ordre infinitésimal et la partie principale des fonctions suivantes, où x est infiniment petit principal:

i — cosx, \gx — sino:, 2sinx — sin2x — x', ^ — /sinx,

^"*-^ .r~L / t. \ ^ 2-hx M /à . \ 2x ^ab {a-b = x), ^-Jiri' *^6(*-^*)-:rr2-

112. Un cercle et une parabole étant représentés par les équations

x* + y*— 2Ri/ = 0, x«— 2/)y =0,

on considère x comme infiniment petit principal ; évaluer l'ordre infinitésimal et la partie principale de la différence entre les ordonnées des deux courbes correspondant à la même valeur de x ; comment doit-on choisir R pour que l'ordre infinitésimal soit maximum ?

113. Déterminer les dérivées et les différentielles des fonctions implicites étudiées dans l'exercice 84, ainsi que des fonctions y et : définies par les équations

x' -H y* -f- «* -h yz -H SX -h xy = a* , . X -h y -h 5 = 6.

EXERCICES SUR LES DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES 67îi