EXERCICES SUR LA THÉORIE DES ÉQUATIONS
125. Ëtant donnée une équation algébrique, exprimer en fonction de ses coefficients la somme des carrés de ses racines, ainsi que celle de leurs cubes, de leurs inverses, des carrés de leurs inverses. Former Téquation qui a pour racines les carrés des racines, ou les inverses des racines de Téquation donnée ; appliquer à Téquation du troisième degré.
i26. Ëtant donnée une équation algébrique de degré m, former réquation qui admet pour racines les racines de cette équation augmentées d un nombre h ; peut-on choisir h pour que le coefficient du terme de degré m — ! dans la nouvelle équation soit nul ? Appliquer à réquation du quatrième degré.
i27. Pour quelles valeurs de a Téquation X* — 4a;« 4- 4ax — 1=0
a-t-elle une racine double? Déterminer pour ces valeurs de a les quatre racines de Téquation.
128. Ëtant donnée la courbe représentée par Téquation v^ = x^, trouver la relation qni doit exister entre A et m pour que la droite représentée par y = mx -h h soit tangente à la courbe ; on écrira que deux des points de rencontre de la droite et de la courbe sont confondus.
120. Déterminer les dimensions d'un cône de révolution dont on donne le volume et Tapothème ; discuter.
130. Déterminer les dimensions d'une chaudière formée d'un cylindre de révolution terminé par deux demi-sphères de même rayon que le cylindre, connaissant le volume et la surface totale; discuter.
181. Couper le volume d'un hémisphère en deux parties équivalentes par un plan parallèle à la base ; résoudre numériquement l'équation dont dépend le rapport entre la hauteur de Tune de ces parties et le rayon de Thémisphère.
182. Une sphère homogène de rayon R et de densité d flotte sur un liquide de densité d' ; déterminer la hauteur de la calotte plongée dans le liquide.
ar»-ha:— ! =0, a;» s^-s gQx -h 108 = 0 . 184. Démontrer que l'équation
où A, B, C, ... L sont des nombres de même signe, a toutes ses racines réelles et séparées par les nombres, a^b^c, ... /.
135. Ëtant donnée une équation algébrique /(a;) = 0, de degré /2, dont le premier coefficient est positif, on forme les dérivées successives f'(x), f\x), . . . f^'"~%x), la dernière étant un polynôme du premier degré ; on calcule le plus petit nombre entier xi qui rend /'<'• -*>(«) positive, puis on substitue dans /'<»-"*>(x) les nombres entiers à partir de Xi, jusqu'à ce qu*on trouve un nombre Xt égal ou supérieur à X, rendant /'^"~*>(x) positive; on substitue de même dans f(n-i}Q£^ les nombres entiers à partir de x» jusqu'à ce que le résultat soit positif, et ainsi de suite jusqu'à la fonction f(x) elle-même; montrer que pour toute valeur de x égale ou supérieure au dernier nombre obtenu x„, f(x) est positive et non nulle, de sorte que x^ est une limite supérieure des racines réelles et positives de Téquation ; cette limite a été donnée par Newton.
136. Séparer et calculer numériquement les racines réelles des équations
(3) eT3i^ = ^' W x=i,8(l-f-logx),
(5) (1,0077)* — 9,12x= 12000, (6) x — cosx = 0,
(7) X — 2sinx = 0, (8) arctgx = — ;
on a à résoudre la troisième lorsque Ton cherche le point de contact d'une chainette et d'une tangente à cette courbe issue de l'origine ; la quatritoe et la cinquième se présentent lorsque l'on cherche, avec des données numériques particulières, le degré de détente d'une machine à vapeur ou la température du foyer d'une chaudière, et la sixième se présente lorsque Ton demande de couper la surface d'un demi-cercle en deux parties équivalentes par une parallèle au diamètre.
