Déterminer l'enveloppe d'une droite

xsincp — ycosç = cos \ où 9 est un paramètre variable.

<)84 EXERaCES

168. Déterminer plus généralement Teuveloppc d'une droite représentée par l'équation

X sin 9 — y cos 5> = f{^) ;

montrer que la dérivée de cette équation représente la normale à Tenveloppe au point de contact de la droite donnée ; calculer les coordonnées <l'un point de Tenveloppe, le rayon de courbure et les coordonnées du •centre de courbure en ce point en fonction du paramètre 9.

169. On considère sur une courbe donnée un certain sens de parcours, et Ton compte les arcs de la courbe positivement s'ils sont décrits dans ce sens, négativement s*ils sont décrits dans le sens opposé ; en un point de la courbe, de coordonnées x, y, on mène la demi-tangente dans le sens choisi et Ton désigne par a rangle qu'elle fait avec Ox ; montrer que les différentielles de x et y sont toujours liées à la différentielle de Tare par les formules

dx = ds cos a, dy = ds sin a.

170. Déterminer les coordonnées du centre de courbure et le rayon de courbure en un point d'une ellipse en fonction des coordonnées de ce point ou en fonction du paramètre angulaire j ; examiner le cas particulier où le point donné est l'un des sommets ae la courbe ; montrer que si A et B sont les sommets de Tellipse situés sur Ox et O1/ , et C le dernier sommet du rectangle construit sur OA et 06, la perpendiculaire abaissée de C sur AB rencontre les axes aux centres de courbure des points A et B.

171. Déterminer le centre et le rayon de courbure en un point

d'une parabole ; montrer que le rayon de courbure est égal à — , N dé-

P signant la longueur de la normale au point considéré comptée jusqu'à

1 axe et p le paramètre de la courbe ; déterminer la développée de la parabole.

172. Quelle est la caustique par réflexion d'une parabole pour les rayons parallèles à l'axe ? pour les rayons perpendiculaires à l'axe ?

173. Etant donnée une courbe C et un point lumineux L, on considère le rayon réfléchi ayant pour point d'incidence un point M de la courbe ; soit Q le symétrique du point L par rapport à la tangente en M à la courbe G et soit C le lieu du point Q lorsque M varie ; montrer que le rayon réfléchi en M est normal au point Q à la courbe C. Pour simplifier le raisonnement, on pourra supposer le point L à l'origine et la courbe C définie comme l'enveloppe d'une droite représentée par l'équation du n® i68; il résulte de là que la caustique par réflexion de la courbe C pour les rayons issus de L est la développée de la courbe C.

EXERaC£S SL-m LES APPLICATIONS GÉOMÉnUQCES