EXERCICES SCR LES APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

section des quadriques S et S' représentées par f=0, o- Si cp est décomposable en un produit de deux facteurs, c'est-à si S' se décompose en deux plans, démontrer que les quadriques S' sont tangentes Tune à l'autre aux points de rencontre de S < la droite d'intersection de ces deux plans; les surfaces S et S*^ dites alors bitangentes. Si cp est le carré d'une fonction linéaire, c à- dire si S' se réduit à un plan double, démontrer que S et S' tangentes en tous les points de rencontre de S et de ce plan ; les faces sont alors dites circonscrites le long de ce plan ; déduire de 11 Téquation d'une quadrique circonscrite à S est de la forme /"-f-XP*

186. Une quadrique est circonscrite à une sphère le long d'un P ; démontrer que toute section plane de cette quadrique par un tangent à la sphère est une conique ayant pour foyer le point de tact du plan et de la sphère, et pour directrice la droite d'interse du plan sécant et du plan P de contact de 16 sphère et de la sut

Dans le cas où la surface est un cône de révolution, on reti le théorème de Dandelin sur les sections planes de ce cône.

187. Démontrer qu'un hyperboloïde à une nappe est coupé p plan tangent à son cône asymptote suivant deux droites parallèles génératrice de contact du plan avec le cône.

188. Trouver les propriétés des diamètres et des plans diamé d'un paraboloîde.

189. On considère trois diamètres conjugués quelconques ellipsoïde et le parallélépipède construit sur ces trois diamètres ; d( trer : i® que la somme des carrés des arêtes de ce parallélépipèi constante ; 2*^ que la somme des carrés des surfaces de ses face constante; 3° que son volume est constant. On démontrera d'abord proposition en supposant qu'un diamètre reste fixe et que les deux <varient dans le plan diamétral conjugué ; on passera de là au cas rai en comparant deux systèmes quelconques de trois diamètres à d'; systèmes ayant entre eux ou avec ceux-là un diamètre commun.

190. Déterminer les angles d'un triangle sphérique connaisse trois côtés, et rendre calculables par logarithmes les formules do

cos —, sin — , tg ^. Déduire de là l'expression du volumi 2 â A

parallélépipède quelconque connaissant les longueurs des arêtes

angles des faces de ce parallélépipède.