EXERCICES SUR LE CALCCL INTÉGRAL

(5) r e-^dx, (6] r x^^e-'dx (/i>0}

ont UD sens ; déterminer la valeur de la première ; trouver la valeur de la seconde sous forme d'un développement en série ordonné suivant les puissances croissantes de k; montrer que la troisième se ramène

à la deuxième en posant x = sin o, et la quatrième à la troisième

{ en posant a: == 7— - ^^ sixième s*appeUe intégrale eulérienne de

seconde espèce et se représente par T(ji) ; démontrer en intégrant par parties que Ton a T(n -+- 1 ) = n r(/i), et que si n est entier, T{n -h 1) est égal au produit i.2.3 ... n.

ao6. Calculer les coefficients des séries trigonométriques qui représentent entre — ?c et +^, 1^ la fonction x^, 2^ une fonction égale à — i entre — « et 0 et à h- 1 entre 0 et «.

a07. Effectuer la quadrature et la rectification de la parabole, de la chaînette [n^ 241), de la cycloîde (n^ 267), de la développée de Tellipse (n"" 294), de la cardioîde (n"» 269), de la lemniscate (n^ 253) ; pour cette dernière courbe, le calcul de Tare résuite d'un développement en série.

208. Trouver Taire comprise entre les courbes y^ = 2px, ay* = x^.

aM. Rectifier la courbe y = a:*, 92* = 16x'.

2iO. Démontrer que Taire de la surface d'un cylindre parallèle à Oz comprise entre le plan des xy et une courbe tracée sur le cylindre

est représentée par une intégrale de la forme jzds, s étant Tare de

la courbe de base. Évaluer de la même manière Taire de la surface d'un cône comprise entre le sommet et une courbe tracée sur le cône, au moyen d'une intégrale en coordonnées polaires.

2it. Deux cylindres de révolution égaux ont leurs axes rectangulaires et concourants ; trouver le volume et la surface du solide commun.

212. Un segment de cercle a pour corde le côté du triangle équilatéral inscrit ; déterminer Taire et le volume du solide de révolution engendré par ce segment tournant autour de sa corde.