Déterminer Taire et le volume du tore

214. Déterminer le moment d'inertie d'une sphère, d'un tore, d'un cône droit par rapport à leur axe de révolution.

215. Un fluide élastique se détend dans un cylindre en passant du volume Vq au volume v\ évaluer le travail effectué pendant la détente, i"* lorsque le fluide satisfait à la relation de Van der Waals (n^ 259), 2^ lorsque la détente satisfait à la relation pv^ = c^*, f étant un exposant constant.

216. Une barre homogène OA de section constante négligeable et dont la masse de l'unité de longueui est égale à jjl est placée le long de Taxe Ox; chacun des éléments infiniment petits de cette barre exerce sur un point extérieur M de masse m une attraction proportionnelle au produit des masses et inversement proportionnelle au carré de la distance ; déterminer l'attraction de la barre sur le point M et calculer les composantes de cette attraction parallèles aux axes ; examiner le cas où la barre a une longueur infinie.

217. Trouver le moment d'inertie d'une surface plane par rapport à une droite de son plan, d'un cercle par rapport à son diamètre, d'un demi-cercle par rapport à la parallèle à son diamètre passant par son centre de gravité, d'un rectangle par rapport à l'un de ses côtés.

218. Un liquide s'écoule par un tuyau cylindrique de telle sorte que la vitesse de chaque filet soit v = Vq — fcr*, Vq étant la vitesse le long de l'axe, r la distance du filet considéré à Taxe et k une constante donnée ; trouver le débit du tuyau connaissant son rayon et la vitesse vq.

219. Déterminer le centre de gravité d'un arc de cercle, de la surface d'un demi-cercle, du volume d'une demi-sphère.

220. Démontrer que le volume d'un tronc de cylindre quelconque limité par des faces planes est égal au produit de l'aire de la section droite par la longueur de la droite joignant les centres de gravité des deux bases.

221. Trouver le volume compris entre le plan des xy, la surface du paraboloïde de révolution dont l'équation est 2z = x^-h y* et la surface d'un cylindre parallèle à Oz ayant pour base, soit: i^ un rectangle ayant pour centre l'ongine et dont les côtés sont parallèles aux axes Ox et Oj/, 2° l'aire comprise dans l'angle des coordonnées positives entre les axes Ox, Oy et l'hyperbole dont l'équation est xy-hx-hy — 1 = 0, 3** l'aire comprise à l'intérieur de la circonférence dont l'équation en coordonnées polaires est p = 2R cos 6 ; dans ce dernier cas, on emploiera les coordonnées polaires, et l'on déterminera Faire de la portion du paraboloïde intérieure au cylindre.

au iro-

EXERaCES SVR LE CALCUL INTÉGRAL 693

222. On multiplie chaque élénent infiniment petit d'une aire plane par la distance d*un de ses points à un point fixe du plan de cette aire, et Ton forme la limite de la somme de ces produits. Evaluer cette limite 1* dans le cas d'un cercle, le point fixe étant sur la circonférence, 2*" dans le cas d un rectangle, le point û\e étant un sommet.

223. Ëvaluer au moyen des coordonnées polaires, R, 8, ^ une intégrale étendue à une portion de sphère de rayon R ayant son centre à Torigine. On évaluera l'élément d'aire dfj comme le quadrilatère a^-fi du n® 373. Application à l'intégrale double de cos^ 6ifo étendue à la sphère entière.