Intégrer les différentielles totales

226. Etant données trois fonctions P, Q, R de trois variables X, y, 2, à quelle condition doivent-elles satisfaire pour que l'on puisse trouver un facteur intégrant fi, c'est-à-dire une fonction (a telle que (& Ç?dx -4- Qrfy H- Rrfz) soit différentielle totale ?

227. Evaluer le travail pour un déplacement dans un champ de forces tel que la force s'exerçant en un point M soit dirigée vers un centre fixe 0, et soit une fonction f(r) de la distance r du point M à ce centre. Cas de l'attraction en raison inverse du carré. de la distance.

228. Evaluer l'intégrale curviligne fx^dy — y^dx prise le long

d'une circonférence ayant pour centre Torigine, dans le sens direct ; transformer cette intégrale curviligne en intégrale double.

229. Evaluer l'intégrale curviligne (y — :8>fa -t- (z — x>/y H- (x — y )rfs

prise le long des côtés successifs d'un triangle ABC dont les sommets sont sur les axes de coordonnées ; transformer cette intégrale curviligne en intégrale de surface.

280. Un contour fermé est parcouru dans un sens déterminé ; en considérant chaque élément infiniment petit de ce contour comme un vecteur, déterminer le moment résultant par rapport à un point de l'espace de tous les vecteurs ainsi placés sur le contour; l'évaluer au moyen d'intégrales curvilignes, puis au moyen d'intégrales doubles, et montrer qu'il est indépendant du point choisi.

Exercices sur les équations différentielles.

tix 281. Intégrer les équations obtenues en égalant -r- à l'une des fonçât

tions suivantes :

ces équations se présentent en chimie dans l'étude des vitesses des réactions.

232. Intégrer les équations différentielles du premier ordre (x — iy)dx -h (6y — x)dy = 0,

c ^ = (2/ — a)(6 — yX 0 — ^')rfj^ -*"^y = ^^»

dx ^ ' y dx 21 \d^)

288. Trouver une courbe telle que l'ordonnée à l'origine de la tangente en un point soit égale à m fois l'ordonnée du point de contact.

284. Ëtant donnée une famille de courbes ou de surfaces dépendant d'un paramètre variable, on appelle trajectoire orthogonale une ligne qui coupe orthogonalement toutes les courbes ou toutes les surfaces de cette famille. Si Ton a une famille de courbes planes représentées par l'équation f(x, y, a) = 0, le coefficient angulaire de la tangente à la trajectoire orthogonale en un point doit satisfaire à la condition

dx ^A'

et en éliminant a entre les deux équations, on a l'équation différentielle de la trajectoire ; en intégrant cette dernière équation, on a une famille de trajectoires dépendant d'un paramètre.

Chercher les trajectoires orthogonales des paraboles y* — 2px = 0 où p varie et des cercles x^-\-y^ — 2ax = 0où a varie.