n(/i-4-l) 1.2.3 ... (fi4-l){/i-f

nous obtiendrons une limite supérieure de H en remplaçant, dans les dénominateurs, les nombres /i-l-2, fi-i-3, ...par n-i-1, de sorte que nous aurons

^^1.2.3 ... n(in-i)L*"*"ïr4n""^(ii-*-i)»"^ J"

Les termes qui entrent dans la parenthèse sont ceux d'une pro-

LA 8ÉKIE C ET LA FONCTION e*

gression géométrique dont la somme est

nous avons donc R <

1.2.3 ... n n' nous écrirons, en désignant par 6 un nombre inférieur à 1,

48. Calcul de e. — Nous allons d'abord démontrer que le nombre e est irrationnel.

Supposons qu'il n'en soit pas ainsi, et que e soit égal à une

fraction irréductible — ; mettons en évidence la somme des n -i- i n

premiers termes et le reste correspondant, et écrivons

Multiplions les deux membres par i . 2 . 3 ... n ; nous obtiendrons partout des produits entiers, sauf au dernier terme, et nous aurons une égalité de la forme

n OÙ M et M' sont des entiers; une telle égalité est impossible, car — est

une fraction non nulle et inférieure à l'unité ; e ne peut donc être égal à une fraction ; il est par suite irrationnel.

Nous allons calculer une valeur approchée de e avec un certain nombre de chiffres décimaux exacts, par exemple deux. Nous devons prendre n assez grand pour que Terreur commise en négligeant le reste R, jointe à celle que l'on obtient en substituant aux premiers, termes des valeurs décimales approchées, donne une somme inférieure à un centième.

Or, si nous prenons n = 5, nous avons, d'après (2), R < ^rrjr ; d'autre

part la somme des termes jusqu'à n = 5 est

Les trois premiers sont exactement convertibles en nombres décimaux, mais il n'en est plus de même des trois autres ; en calculant ces derniers avec, trois chiffres décimaux exacts par défaut, nous commettons sur chacun d'eux une erreur inférieure à un millième et sur leur somme une erreur au plus égale à trois millièmes. L'erreur totale commise sur la somme de la série est alors inférieure à

«t elle est bien inférieure à un centième.

Nous aurons donc la valeur cherchée en calculant les six premiers termes de la série e à un millième près par défaut ; la somme de ces valeurs est

nous sommes certains que le nombre e est compris entre 2,715 et 2,720. Sa valeur avec cinq chiffres décimaux exacts par défaut est

44. Fonction c*. — On appelle fonction exponentielle une expression de la forme a', où a est un nombre positif, et x une variable qui peut prendre des valeurs quelconques. Les valeurs de la fonction a' pour les valeurs de x entières ou fractionnaires, positives ou négatives, résultent des définitions données dans le chapitre IV ; ses valeurs pour X irrationnel seront définies plus loin.

La fonction exponentielle qui joue le rôle le plus important en analyse est celle pour laquelle a est égal au nombre e précédemment défini ; c'est la fonction e'.

Le calcul de sa valeur pour x entier ou fractionnaire, positif ou négatif, nécessite l'élévation à une puissance ou l'extraction de la racine d'un nombre irrationnel, et le résultat ne peut jamais être obtenu exactement. Nous allons remplacer ce calcul par celui de la somme d une série, ce qui est beaucoup plus pratique, car il suffit de