LA SÉRIE C ET LA FONCTION
déterminer un petit nombre de termes pour obtenir une valeur très approchée de cette somme.
Nous démontrerons plus loin que la valeur de e*, pour x entier ou fractionnaire, positif ou négatif, est égale à la somme de la série suivante que nous représenterons provisoirement par E {x)
Cette série est convergente et même absolument convergente quelle que soit la valeur de x ; si nous désignons en effet par a, la valeur absolue de x^ la série des valeurs absolues des termes de la série (3) est la série (8) du numéro 34 et nous avons démontré qu'elle est toujours convergente.
Pour calculer une valeur approchée de e*, on néglige les termes dont le rang dépasse un certain nombre convenablement choisi, et Ton fait la somme des valeurs approchées de ceux que Ton conserve. Supposons qu'on s'arrête au terme qui renferme x" ; le reste correspondant de la série est
^^1.2.3 ... n{n-M)"^i.2.3 ... «(fi-4- l)(/i + 2)"^ ""
Si x est positif, ce reste est inférieur à la somme obtenue en remplaçant n -4- 2 , n + 3 , ... par n -4- 1 dans les dénominateurs, c'est-à-dire inférieur à
i.2.3 ... n(/i-+.l)L*"^;m"^(n-hl)»"^ "■ J'
si, de plus, 71 est assez grand pour que fi 4- 1 soit supérieur à «, la parenthèse est une progression géométrique convergente, et a pour
somme ■ On peut donc écrire, en désignant par 6 un nombre
positif inférieur à l'unité,
Si X est négatif et égal à — x', la valeur absolue de R est inférieure à la somme des valeurs absolues de ses termes, et cette dernière somme est égale à celle que l'on obtiendrait en remplaçant x par x' dans le calcul précédent. La valeur absolue de R est donc égale à une
72 COMPLÉMENTS D*ALGÈORE
expression de la forme
i.2.3 ... /i nH-i— x"
où 6' est un nombre inférieur à Tunité ; finalement Ton peut écrire dans le cas de x négatif, en remplaçant x' par — x,
6 étant un nombre positif ou négatif, inférieur à Tunité en valeur absolue.
45. Propriétés de la fonction E (x). — Les propriétés delà somme de la série (3) découlent du théorème fondamental suivant :
En désignant par x et y des nombres quelconques, on a
Nous voulons démontrer que le produit des valeurs des deux séries
est égal à celle de la série
E(x-hy) = H -Ji-Hl__|J-H ^A__2i-.+ .,.
Considérons dans la première les termes dont le degré est inférieur ou égal à n ; leur ensemble forme un polynôme de degré n que nous désignerons par Pn(^) i et la valeur de ce polynôme a pour limite la somme E(x) de la série lorsque n augmente indéfiniment.
Prenons de même dans la seconde série les termes dont le degré est inférieur ou égal à n ; leur ensemble est le polynôme Pi,(y)* Formons alors le produit des deux pol}iiomes Pa(x) et P„(y) en Tordonnant suivant les puissances croissantes de x et de y.
Nous voyons déjà que le terme constant est égal à i ; les termes
du premier degré sont x -f-y ; ceux du second sont -j — 5 -^- t 1 "*~ io
, .. i.fi 11 i.J^
ce qui peut s'écrire sous la forme ^—3 — ^ • Nous voyons ainsi apparaître
LA SÉRIE e ET LA FONCTION C* 75
les premiers termes de la série E{x-{-y); nous allons montrer que Tensemble des termes du produit dont le degré est un nombre p égal ou inférieur à n est identique au terme de degré /> de la série E{x-hy)^ Ces termes du produit sont en effet
açP ay*-* y af^^ y*
*.2...p"^| .2 ... (/)— l)*T"^i.2 ... (/) — 2)Tr2
en les écrivant sous la forme
j^a/> -|, £ a:P-iy 4-i^(^ ^ ^) a^-2y« ^ ^.ypj,
on Toit que la parenthèse est le développement de (x H- yf d'après la fonnule du binôme, et que Tensemble des termes considérés est égal à
ce que nous voulions établir.
Ainsi donc, le développement du produit Pn(x) . P„(y) renferme
tous les termes de degré inférieur ou égal à n entrant dans la série
^(^-+-y)» c'est-à-dire tous les termes du polynôme Pi.(x-l-y); mais
il en renferme encore d'autres dont le degré est compris entre n + 1 et
2n inclusivement ; ces termes sont de la forme
xf y«'
^^ i.2...(y'l.2nT7''
où q et q' sont aux plus égaux à n, mais où q-hq' est un nombre supérieur à n. Nous représenterons Tensemble de ces termes par Q,. et nous poserons
(8) P«W.Pn(y) = P„(x-f-y) + Q;
nous allons montrer maintenant que Q tend vers zéro quand n augmente indéfiniment.
Remarquons en effet, comme nous Tavons déjà fait précédemment,, que si p désigne le degré q-\-q' du produit (7), ce produit peut ètre^ écrit sous la forme
et est précisément Tun des termes du développement de v^ ^^
d'après la formule du binôme. Tous les termes qui composent Q se
trouvent ainsi, avec leurs coefficients, parmi ceux du développement
de la somme
le développement total de cette somme contenant, outre les termes de Q, des produits de la forme (7) dans lesquels q ou q' sont supérieurs à n.
Lorsque x et y sont positifs, la valeur de Q est sûrement inférieure à celle de la somme (9); lorsque x et y ne sont pas de méuie signe, cette conclusion n'est plus toujours exacte ; mais nous pouvons toujours affirmer que la valeur absolue de Q est inférieure à la somme des valeurs absolues des termes qui composent le développement de la somme (9). Si nous représentons, pour plus de commodité, par x\ y\ et Q' les valeurs absolues de x, y et Q, nous avons Tinégalité
Mais le second membre de cette inégalité est la différence entre les deux polynômes Pin{x'-{-y^) et Pn(ar'-f-y'); lorsque n augmente indéfiniment, ces deux polynômes ont l'un et Tautre pour limite la somme de la série E(ar'-f-y'), par suite leur différence tend vers zéro; il en est donc de même de la valeur absolue de Q, ce que nous voulions établir.
Si alors nous faisons croître n indéfiniment dans les deux membres de Tégalité (8), P„(x), Pn(y) et P„(a7 -h ,y) ont respectivement pour limites E(x), E{y) et E(x-i-y), et Q a pour limite zéro ; nous avons donc à la limite
46. Identité de E(x) et de e"". — Le théorème que nous venons de démontrer va nous faire voir que la valeur de la série (3) pour X rationnel est identique à la puissance d'exposant x du nombre e.
D'abord, pour a: = 0 la série prend la valeur 1 et pour x = 1
LA SÉRIE e ET LA FONCTION C* 73
elle prend la valeur e; si nous faisons ensuite dans Tégalité (6), X = y, nous avons
et en multipliant ensuite plusieurs fois par E{x) les deux membres, nous arrivons de proche en proche à Tégalité
E(x) . E(x) E(x) = E(mx),
m étant le nombre des facteurs du premier membre.
En faisant alors x=i, nous voyons que E(m), dans le cas de m entier, est égal au produit de m facteurs égaux à E(i) ou à e, c'est-à-dire à la puissance m* du nombre e.
Si nous remplaçons maintenant x par une fraction ordinaire positive ^1 et si nous formons le produit de q facteurs égaux à E( — ), ce produit est égal à Elq^) = E{p) = eP\ nous avons donc
Kf)'-". -- if)-
pour toute valeur rationnelle positive de x, nous avons donc E(x)=6'. Si nous faisons enfin y = — x dans la formule (6), nous avons
E(x) . E(- x) = E(0) = 1 , d'où E(— x) = E(x)-' = e"'.
Nous avons ainsi montré Tidentité de la série E(x) et de la puissance e*, lorsque x est rationnel, positif ou négatif.
Lorsque x est un nombre irrationnel, nous appellerons, par définition, valeur de e* la valeur de la série E(x).
47. Variation de la fonction e*. — Lorsque x est positif, tous les termes de la série E(x) sont positifs et augmentent avec x ; nous en concluons que e* est supérieur à Tunité et augmente avec l'exposant ; la fonction augmente du reste indéfiniment en même temps que x.
Lorsque x est négatif, et égal à — x', x' étant positif, nous avons
nous en concluons que e^ est inférieur à Tunité, diminue avec l'exposant et a pour limite zéro lorsque x s'approche de — oo .
76 COMPLÉMENTS D^ALGÈBBE
Donnons à x deux valeurs voisines x et x + A^ la différence de& valeurs correspondantes de la fonction est
nous allons montrer que cette différence tend vers zéro en même temps, que h.
Nous avons en effet Tégalité
(,0) e*-l = -* + ^2-H ... +^3il-,-R.
et nous avons vu (n* 44) que R a Tune des valeurs
