Logarithme népérien. — Si nous posons
il résulte des propriétés de e' qu'à tout nombre positif X correspond ua nombre positif ou négatif x et un seul; on l'appelle le logarithme népérien de X, et on le désigne par la notation
X = log X ;
LA SÉRIE e ET LA PONCTION C* 77
on emploie quelquefois le symbole logn ou la lettre L pour désigner le logarithme népérien.
Un nombre X supérieur à Tunité a un logarithme positif; un nombre inférieur à Tunité a un logarithme négatif; le nombre i a pour logarithme 0, et le nombre e a pour logaritlime i . Un nombre très petit a un logarithme négatif très grand en valeur absolue, et Ton dit qu'à la limite le logarithme de 0 est — oo .
40. Remarques relatives à e". — i"* Si, dans la fonction e^, ou donne à la variable une suite infinie de valeurs j-i , ots, . . . , a;„, ... ayant pour limite x, la suite
(il) e", e-*, ..., e-n, ...
des valeurs correspondantes de la fonction a pour limite e""; ce fait résulte de ce que la différence e* — e*« est égale à e*(i — e*«~*) et tend vers zéro lorsque x^ — x tend vers zéro.
Nous pouvons tirer de là la conclusion suivante : la valeur de e* pour X irrationnel, valeur que nous avons définie comme étant celle de la série E(a;), peut encore être définie comme étant la limite d'une -suite infinie telle que (11), dans laquelle Xi, 0^2, . . . sont des valeurs rationnelles approchées de x, ayant x pour limite.
2^ Nous aurons à utiliser Tégalité suivante
lorsque x et y sont tous deux rationnels, positifs ou négatifs, cette égalité résulte des propriétés des exposants démontrées au chapitre IV ; nous allons faire voir qu'elle a encore lieu pour des valeurs quelcohques, rationnelles ou non, de x et de y. Nous nous appuyerons pour cela sur ridentité qui existe, pour toute valeur de x, entre Texponentielle -€* et la série E(x).
Supposons d^abord que, x étant quelconque, y soit un nombre
positif rationnel ^ ; pour vérifier Tégalité
il suffit, les deux membres étant positifs, de vérifier que les puissances ^^ des deux membres sont égales, ou bien que {e*Y est égal à e^' ;
78 COMPLÉMENTS d'aLGÈBBE
comme Tégalité E(xy=E{px) a été démontrée au n** 46 pour toute valeur entière de p, celle que nous avions en vue se trouve aussi démontrée.
Si y est un nombre rationnel négatif, égal à — y^ les deux membres de régalité (12) sont les inverses de (c*y et de c^'; ces deux quantités étant égales, les deux premières le sont aussi.
Supposons enfin que y soit irrationnel ; soit
yiiVi^ • • • ym • • •
une suite infinie de nombres rationnels ayant y pour limite ; nous admettrons, comme résultant d'une définition, que la puissance d*exposant y d*un nombre quelconque est la limite des puissances de ce nombre avec les exposants yi, y», . . .; par suite la valeur de {c'y est la limite de la suite
(13) («')''•, (e-)^s ... {e-yn, ....
Mais les termes de cette suite sont égaux à ceux de la suivante
les exposants dans cette deuxième suite ayant pour limite xy, cette suite elle-même a pour limite e'^ d'après la remarque faite plus hau t . Nous concluons de là que la suite (13) a une limite égale à e^, et que par conséquent {c'y est égal à e^^ dans tous les cas.
60. Limite de — 7 — — Il résulte du calcul que nous avons fait
précédemment pour obtenir la formule (10) que Ton a
1 1.2 1 .2 ... « 1.2 ... n in-l±A'
les termes du second membre sont en nombre limité, et ont, sauf le premier, pour limite zéro quand h tend vers zéro; on en conclut que la limite du premier membre est Tunité quand h tend vers zéro.
51. Limite de (1 H- a) * quand oc tend vers zéro. — Nous allons montrer que cette limite est égale au nombre e.
Désignons par h le logarithme népérien de 1 + a ; nous avons 1 -t- « = e*, et nous en tirons a = e* — 1 ; d'après ce que nous avons
LA SÉRIE € ET LA FONCTION C* 7î>
VU aux n*^* 47 et 50, oc tend vers zéro en même temps que A et -^
h a pour limite Tunité; il en est de même de son inverse — En rempla-
çant l4-a par e*, (1 H- a) * est égal à (e*) * , et d'après une re-
marque faite n<* 49, cette quantité est égale à e * ; nous avons donc
en passant à la limite, l'exposant du second membre a pour limite i, et nous avons bien
lim (i -f- a) • = c.
Si nous posons a = — i m augmente indéfiniment quand a tend m
vers zéro ; nous pouvons énoncer le résultat précédent sous cette forme :
La limite de l{-\ J quand m augmente indéfiniment est
égale à e.
Cherchons comme application la limite de (i + a)^ en supposant que 8 et p dépendent d'une même quantité variable et prenn^it simultanément une suite de valeurs telles que « ait pour limite zéro pendant que p augmente indéfiniment; en écrivant
00 voit que la parenthèse a pour limite e ; si le produit a^ a une limite, l'expression considérée aura pour limite e^^<"*^
Exemple. — Cherchons la limite pour n infini de
nous écrivons cette expression sous la forme
ici, a est égal à ^ ,» ^ à n*, et le produit a^ a pour limite 2, de
sorte que la liaiite de l'expression est e*.
