CHAPITRE VIII FONCTION EXPONENTIELLE ET LOGARITHMES

52. Fonction a^. — Ainsi que nous Favons dit au n^ 44, on appelle fonction exponentielle une expression de la forme a*^ a étant un nombre positif et x un nombre quelconque positif ou négatif. Sa valeur pour X entier ou fractionnaire est définie dans la théorie élémentaire «des exposants (Ch. IV) ; sa valeur pour x irrationnel est définie comme la limite d'une suite a's a'% ... a'n, ... dans laquelle les exposants xi, «2, . . . , x„, ... sont des nombres rationnels ayant pour limite x.

De même que nous avons remplacé le calcul de e* par celui de la série £(0:), nous allons ramener le calcul de a* à celui d'une certaine série en rattachant la fonction exponentielle générale à la fonction e^.

Désignons par a le logarithme népérien du nombre a\ nous avons

^uel que soit ar, positif ou négatif, rationnel ou irrationnel, les puissances d'exposant x des deux membres de cette égalité sont égales entre elles ; par suite a* est égal à (e«)* ; mais nous avons vu (n® 49) •<iue (e*)* est égal à e** ; nous avons donc dans tous les cas

En nous servant de la représentation de e^ par une série, nous pouvons écrire

i ^12 "^ ^1.2 ... /i^ *ou bien, en remplaçant a par log a^

. xloga a?* log* a «"loe^a