FONCTION EXPONENTIELLE ET LOGARITHMES

Si Ton utilise cette série pour le calcul numérique d'une valeur approchée de a"", des formules telles que (4) et (5) du n° 44 fournissent la valeur du reste lorsqu'on s'arrête au terme de degré n.

53. Propriétés et variation de a^. — Nous savons que Ton a pour toute valeur rationnelle de x et de y les égalités

Pour démontrer qu'elles ont lieu pour des valeurs quelconques des exposants, il suffit de remplacer a" par e'*, a désignant le logarithme népérien de a, et de même a^ par e^*, puis d'appliquer les théorèmes du chapitre précédent; nous n'insisterons pas sur cette démonstration.

Dans l'étude de la variation de fonction exponentielle, il y a lieu de distinguer deux cas suivant que a est supérieur ou inférieur à l'unité. Lorsque a est plus grand que i, son logarithme népérien est positif, et dans l'égalité

l'exposant xloga de x sl toujours le même signe que x; au contraire, lorsque a est plus petit que i, son logarithme népérien est négatif, et a* log a a toujours le signe contraire de celui de x. Eu nous servant des résultats obtenus au n® 47 dans l'étude de la variation de e', nous pouvons énoncer les résultats suivants :

Lorsque a est plus grand que i , la fonction exponentielle a"" croit d'une manière continue lorsque l'exposant croît d'une manière con* tinue ; elle varie de 0 à i lorsque x varie de — oo à 0, et elle varie de 1 à -h 00 lorsque x varie de 0 à H- oo .

Lorsque a est plus petit que 1, la fonction exponentielle a' décroit d'une manière continue lorsque l'exposant croit d'une manière continue; elle varie de -f-oo à i lorsque x varie de — oo àO, et elle varie de 1 à 0 lorsque x varie de 0 à -h oo .

54. Définition générale des logarithmes. — D'après ce qui précède, la relation

fait correspondre à tout nombre x positif ou négatif un nombre posi- VoGT. — Math. sup. 6

82 COMPLÉMENTS d'aLGÈBRE

tif X, et inversement, à tout nombre positif X correspond un nombre positif ou négatif x et un seul ; ce nombre est appelé logarithme de X dans le système de base a, et on le désigne par la notation

a; = log«X;

les logarithmes népériens sont ceux dont la base est le nombre e.

Si la base a est > i , les nombres X >* 1 ont des logarithmes positifs, et les nombres X <C 1 ont des logarithmes négatifs ; c^est le •contraire si la base est <1. Dans tous les cas, le logarithme de 1 estO, <et le logarithme de la base a est i.

55. Propriétés des logarithmes. — Le logarithme d'un produit •de plusieurs facteurs est égal à la somme des logarithmes de ces facieurs.

Le logarithme du quotient de deux nombres est égal à la différence des logarithmes de ces nombres.

Le logarithme d'une puissance quelconque d'un nombre est égal •au produit du logarithme de ce nombre par l'exposant de la puissance.

Soient en effet des nombres Xi,X2,X| dont les logarithmes sont ^1) ^3 ) ^s ; nous avons par définition

Xi = a*«, Xj = a*«, X| = a*».

Nous déduisons de là, en appliquant les propriétés de la fonction exponentielle (n<* 53), les relations suivantes :

XiX2X3 = a*«+*«^*»,

La première exprime que le logarithme du produit X|XaX| est le nombre o^i + a^s + a;!, c'est-à-dire la somme des logarithmes des fac-

teurs ; la deuxième exprime que le logarithme du quotient ^ est la

différence Xi — x^ des logarithmes du dividende et du diviseur ; enfin la dernière exprime que le logarithme de la puissance m* de Xi est égal au produit du logarithme X| de ce nombre par Texposant m, et cela quelle que soit la valeur de cet exposant.