FONCTION EXPONENTIELLE ET LOGARITHMES

56. Comparaison des divers systèmes de logarithmes. — Soit X un nombre quelconque, et x son logarithme dans le système de base a ; les égalités

nous montrent que le logarithme népérien de ce nombre X est égal à jc log a ; nous avons donc, en conservant toujours la notation log pour indiquer les logarithmes népériens,

log X = X log a = loga X . log a.

Cette relation permet de ramener le calcul des logarithmes des nombres dans un système quelconque à celui des logarithmes népériens; ce sont en effet ceux-ci qui ont servi primitivement pour la con- -stniction des tables de logarithmes, et on en a déduit après coup les autres tables. Les logarithmes dans un système quelconque s'obtiennent «n multipliant les logarithmes népériens par un même facteur constant.

Si nous considérons deux systèmes quelconques de logarithmes, de bases a et 6, nous avons pour un nombre quelconque X

log X = loga X . log a , logX = log6X.log6;

nous en déduisons

loggX ^ log 6 logftX loga'

<;e qui nous conduit à ce théorème :

Les logarithmes des nombres dans deux systèmes différents sont proportionnels.

Les logarithmes habituellement employés pour les calculs numériques sont à base 10; ils sont reliés aux logarithmes népériens par la relation

logX = log,oX.loglO.

Le nombre log 10 a pour valeur 2,302 6 à 1 dix-millième près, de :sorte que Ton a

logX=r2,30261og,oX.

Lorsqu'on ne possède pas la valeur de log 10, on peut la retrouver

I 84 COMPLÉMENTS d'aLOÈBRE

au moyen des tables de logarithmes usuels ou décimaux en remarquant I que Ton a

d^où, en prenant les logarithmes décimaux des deux membres,

i = logi0.log ,oe;

le nombre log 10 est Tinverse du logarithme décimal du nombre e ; le nombre e est égal à 2,718 28 ... ; son logarithme a pour valeur 0,434294 . . . , et rinverse de ce logarithme est 2,302 6 . . . Le nombre 0,434 294 . . . s'appelle quelquefois module des logarithmes décimaux.