DEUXIÈME PARTIE

57. Grandeurs mesurables. — Lorsqu'une grandeur A est comparable à une grandeur de même espèce U prise comme unité, le rapport de A à son unité U est un nombre qui est appelé la mesure de la grandeur A; les longueurs, les poids, les intervalles de temps, etc., «ont des grandeurs mesurables.

U existe d'autres grandeurs que Ton ne peut comparer directement à une unité, mais dont la variation est intimement liée à celle d'une autre grandeur que Ton peut mesurer ; par exemple, la température ne peut être mesurée directement, mais sa variation correspond à celle du volume d'une masse de gaz ou d'une masse de mercure, et chaque état de la température est caractérisé par un nombre lu sur l'échelle thermométrique ; nous dirons par extension que les grandeurs de cette espèce sont encore mesurables.

Les grandeurs mesurables jouissent ainsi de cette propriété qu'à chacun de leurs états correspond un nombre qui en est la mesure directe ou indirecte; ce sont les seules grandeurs que l'on peut soumettre au calcul, et nous les considérerons seules désormais. Toute relation entre des grandeurs dépendant les unes des autres, par

exemple, entre les éléments d'une même figure géométrique, ou bien entre le volume et la pression d'une masse gazeuse, etc., se traduit par une formule, c'est-à-dire par une égalité ou une inégalité entre les résultats de certains calculs arithmétiques ou algébriques effectués sur les mesures de ces grandeurs.

58. Grandeurs fondamentales et grandeurs dérivées. — Choix des unités. — Les différentes grandeurs que Ton étudie ne sont pas indépendantes, et Ton est amené à faire entre elles une distinction ; on considère d'une part les grandeurs fondamentales, qui ne sont pas réductibles les unes aux autres, telles que la longueur, le temps, etc., et les grandeurs dérivées qui sont réductibles aux premières. En géométrie, les surfaces et les volumes sont des grandeurs dérivées des longueurs. En mécanique et en physique, la longueur, la masse et le temps sont des grandeurs fondamentales ; la vitesse, la force, la puissance sont des grandeurs dérivées.

La liaison qui existe entre une grandeur dérivée et les grandeurs fondamentales dont elle dépend s'exprime par ce que l'on appelle une équation de dimensions.

En géométrie, par exemple, une surface S est équivalente au carré construit sur une longueur L; si cette longueur devient m fois plus grande, S devient m' fois plus grand ; on exprime ce fait par la relation [S] = [L'] qui est l'équation de dimensions de la surface ; de même l'équation de dimensions d'un volume est [V] = [L']. En mécanique, L, M et T désignant une longueur, une masse et un temps, la vitesse, l'accélération et la force sont des grandeurs dérivées des précédentes, ayant respectivement pour dimensions [LT-*], [LT-*], [MLT-*].

Les unités adoptées pour mesurer les grandeurs soit fondamentales, soit dérivées peuvent être choisies séparément d'une manière arbitraire. Le système le plus simple que l'on puisse concevoir est celui où les unités dérivées sont liées aux unités fondamentales par les équations de dimensions elles-mêmes ; dans un pareil système, que l'on appelle absolu, la formule qui relie les mesures d'une grandeur dérivée et des grandeurs fondamentales dont elle dépend, ces mesures étant effectuées à l'aide des unités correspondantes, ne diffère pas de l'équation de dimensions. Si l'on prend par exemple comme unité de

surface le carré construit sur Funité de longueur, et si Ton désigne par s et l les mesures d'un carré et de son côté, on a * = /'.

Dans un système non absolu d'unités, la relation qui existe entre les mesures d'une grandeur dérivée et des grandeurs fondamentales dont elle dépend diffère de Téquation de dimensions par Tintroduction d'un facteur numérique dans un des deux membres.

59. Mesures des angles. — Dans le système absolu, l'unité d'angle^ que Fou appelle radian, est l'angle au centre d'un arc égal à l'unité de longueur dans une circonférence dont le rayon est égal à cette unité. On a alors entre les mesures d'un angle au centre quelconque et de Tare qu'il intercepte dans une circonférence quelconque la relation

, j. mesure arc

mesure angle en radians

mesure rayon

la mesure de quatre angles droits est 2ir, celle de l'angle droit est -^ .

Si l'on prend la seconde comme unité d'angle, 27c radians valent 360x60x60 secondes ; on en conclut que l'on a

1 radian = 360x60x60 g^^ondes = 206 264,8 secondes ;

Aie

si Ton prend le grade comme unité d'angle, 2ic radians valent 400 grades ; on en conclut que Ton a

1 radian = —- grades = 63,662 grades,

aTT

Remarque. — En trigonométrie, les arcs sont mesurés en prenant comme unité de longueur le rayon de la circonférence ; l'unité d'arc est celui qui est intercepté par un angle au centre égal à un radian.

Pour la commodité des calculs, les arcs sont évalués dans les. tables de logarithmes en degrés, minutes et secondes ou en grades, mais il ne faut pas oublier que toute relation entre un arc et ses lignes trigonométriques suppose ces grandeurs mesurées en prenant le rayon

comme unité ; Tare de n secondes a alors pour mesure --^,^. ^ , et

200 Jb4,o

7'arc de n grades a pour mesure gg-^-

60. Changement d'unités. — Nous allons résoudre le problème général suivant :

Étant donnée la mesure d'une grandeur évaluée au moyen de certaines unités^ déterminer la mesure de la même grandeur évaluée au moyen d'autres unités liées d'une manière connue aux premières.

Supposons d'abord qu une grandeur A, qu'elle soit fondamentale ou dérivée, soit mesurée au moyen d'une unité de même espèce Ao et ait pour mesure le nombre a ; nous nous proposons de trouver le nombre a' qui la mesure au moyen d'une autre unité A^.

Le nombre a' est égal au rapport des deux grandeurs A et Ao ; d'après un tbéorème connu, il est égal au quotient des nombres qui mesurent ces deux grandeurs au moyen de l'unité Ao ; nous pouvons donc écrire

En écrivant cette égalité sous la forme

nous pouvons dire que le rapport des mesures d'une même grandeur au moyen de deux unités est égal au rapport inverse des unités.

Dans les applications, on remplace souvent l'égalité arithmétique

(1) par la suivante

(2) A = aAo = a'Ai

que Ton appelle une égalité physique et qui exprime comment la grandeur A est composée au moyen des unités Ao et Aq ; on opère sur les lettres qui entrent dans cette égalité comme sur des nombres et à la fin du calcul il n'entre plus dans les formules que des rapports entre les grandeurs, rapports qui sont des nombres arithmétiques.

Pour donner un exemple, considérons la surface S d'un triangle sphérique d'angles A, B, G ; lorsqu'on prend l'angle droit comme unité d'angle et le triangle trirectangle comme unité de surface, les mesures 5, a, 6, c de la surface et des angles sont liées par la

formule

nous nous proposons de trouver la formule qui relie la mesure s' du triangle en mètres carrés, aux mesures a', b\ c' des angles en radians ; nous désignerons par r la mesure du rayon de la sphère en mètres.

Si T désigne le triangle trirectangle, M^ le mètre carré, Tégalité physique relative à la surface est

S = jT = *'M^

comme T vaut le huitième de la sphère, sa mesure en mètres carrés est

•^^nr', nous avons donc

T = 4^7tr«MS d'où s • i:rr« = $'.

De même si D désigne Tangle droit, R le radian, Tégalité physique relative à un angle tel que A est

A = aD = a'K eomme la mesure de D en radians est -^9 nous avons

D=^R, d'où a-^ = a'.

ma A

En évaluant au moyen des formules précédentes ^, a et de même A et c au moyen de s\ a\ h\ d et les portant dans la formule donnée, nous obtenons la formule cherchée qui est

61. Cas des grandeurs dérivées. — Supposons qu'une grandeur <férivée A ne soit pas mesurée directement, mais dépende de plusieurs grandeurs par exemple d'une longueur L, d'une masse M et d'un temps T, que l'on mesure au moyen d'unités Lo, Mo, Tq; soient /, m, t les mesures de L, M, T. Nous supposons que le nombre a qui mesure A est fourni par une formule monôme telle que

OÙ a, p, Y, sont des exposants donnés, entrant dans Téquation de dimensions de A, et où [a est un coefficient numérique donné égal à l'unité si le système est absolu.

Supposons maintenant que Ton évalue L, M, T au moyen de nouvelles unités Li, Mo, To, et que la mesure a! de A soit liée aux nouvelles mesures f , m', /' de L, M, T, par la formule

^ pouvant différer de fji ; nous allons chercher la relation qui existe entre a et a'.

En divisant les deux égalités membre à membre, nous avons

d'après ce que nous avons vu précédemment, les rapports -7-9 — 9 -7-

sont égaux aux rapports inverses des unités; nous avons donc la relation cherchée sous la forme suivante :

a fx Vu/ V»ii/ U/ "

Comme exemple, cherchons la relation qui existe entre les mesures d'une même puissance en chevaux-vapeur et en kilowatts.

La puissance, dont Téquation de dimensions est [P] = [L*MT~'], a pour mesure en chevaux-vapeur

/> = ^Pmr.

/, m, t étant les mesures d'une longueur en mètres, d'une masse en fonction du kilogramme-poids, et d'un temps en secondes ; en kilowatts, elle a pour mesure

/', m\ V étant les mesures en centimètres, gramme-masses et secondes. Nous avons

Comme les rapports des unités sont

VNITÉ8 ET HOMOGÉNÉITÉ 91

nous avons

JL = 10-».75 . 9,806 7 = 0,735 5.

Si /) == I , un cheval-vapeur a pour mesure jd' = 0,735 5 kilowatt ; si /)' = i, un kilowatt a pour mesure p = 1,359 6 cheval- vapeur.

62. Homogénéité des formules. — Toute relation entre des grandeurs dépendant les unes des autres est exprimée par une formule renfermant les mesures de ces grandeurs. Pour donner à une telle formule toute la généralité possible et la faire servir à tous les cas, on laisse les unités arbitraires, c'est-à-dire indépendantes des grandeurs considérées, et Ton représente par des lettres les mesures de ces dernières. La manière dont ces lettres entrent dans une formule n'est pas arbitraire ; elle doit satisfaire à certaines conditions que nous allons indiquer et que Ton appelle conditions d'homogénéité.

Plaçons-nous d'abord dans le cas où toutes les grandeurs considérées sont de même espèce et évaluées au moyen d'une même unité de cette espèce ; nous prendrons comme exemple, pour fixer les idées, une relation entre des longueurs. Soient A, B, C, X, Y des longueurs connues ou inconnues dont les mesures au moyen d'une même unité Lo sont a, 6, c, x, y; supposons qu'il existe entre ces longueurs une relation traduite par une égalité de la forme

(3) /"(a, 6, c, ar, y) = g{a, 6, c, x, y),

f et g étant des expressions contenant les lettres placées entre parenthèses, réunies par des signes d'opérations ou de calculs.

D'après la nature même des raisonnements employés pour établir la relation qui existe entre les longueurs, cette relation doit être indépendante de l'unité choisie, et elle sera également traduite par une formule de même forme que la précédente entre les mesures des longueurs effectuées au moyen d'une autre unité Lq. Si a', 6', c', x', y' sont ces nouvelles mesures, nous devons avoir l'égalité

Mais nous avons vu que Ton a entre les mesures les relations

a 6 c a: y Lo'

«i nous représentons par k le rapport des unités Lo et U, les nouvelles mesures sont égales aux premières multipliées par k ; en remplaçant dans Téquation (4) a', b\ c\ x\ y' par ka, kb, kc^ fer, ky, elle devient

(5) fi^^y **» *^i fc*:, ky) = g[ka, kb, A*c, kx, ky).

Les équations (3) et (5) doivent être en même temps satisfaites, et cela quelle que soit la valeur de k\ il en résulte que cette lettre doit disparaître identiquement de Téquation (5) ou entrer dans un facteur commun aux deux membres, de façon que la division par ce facteur commun redonne Téquation (3).

Ainsi donc, toute relation telle que (3) entre les mesures de grandeurs de même espèce doit satisfaire à la condition de ne pas changer lorsqu'on multiplie toutes ces mesures par un même facteur arbitraire k; c'est ce qu'on appelle la condition d'homogénéité.

Par exemple, la formule a* = 6* -f- c*, qui existe entre les mesures des côtés d'un triangle rectangle, satisfait bien à la condition précédente, car si l'on y remplace a, 6, c, par Xra, kb^ kc, on obtient une relation dont on peut diviser les deux membres par fc', et l'on retrouve de cette façon l'équation primitive.

Lorsqu'une formule n'est pas homogène, c'est une preuve qu'elle est inexacte, ou bien qu'une des lignes de la figure a été prise pour unité. Si par exemple un triangle rectangle a pour hypoténuse l'unité de longueur, la formule qui relie les mesures des autres côtés est i* -4- c* = 1 ; on évite remploi de telles formules qui ne sont pas assez générales.

On dit qu'une expression composée au moyen de plusieurs lettres a, 6, c, X, y y réunies par les symboles de l'algèbre : addition, soustraction, multiplication, division, élévation aux puissances, extraction de racines, est homogène si en y remplaçant ces lettres respectivement par kuy kb, kc, /rx, /et/, on obtient une nouvelle expression qui est égale au produit de la première par une certaine puissance de k ; le degré de cette puissance est appelé degré cP homogénéité ; par

exemple, les expressions

.i«-c« îi+ûf, v^^+/y

op' — a*

sont homogènes et de degrés respectifs 2,0, — ^ *

Si une relation entre des grandeurs de même espèce est traduite par une formule telle que (3) dont les deux membres sont composés algébriquement comme nous venons de le dire, les deux membres f et g doivent être respectivement homogènes et du même degré d'homogénéité, car sinon la lettre k ne pourrait pas disparaître de la relation (5).

La notion d'homogénéité s*entend aux expressions quelconques,, algébriques ou transcendantes ; par exemple, les expressions

sin-j-, log îi

sont homogènes et de degré zéro, car si Ton multiplie a, 6, x, y par un nombre ky on forme de nouvelles expressions qui ne diffèrent pas des premières. Les seuls cas où Ton ait à utiliser des expressions, transcendantes dans des relations entre les mesures de plusieurs grandeurs sont ceux où le signe transcendant porte sur une quantité algébrique et homogène de degré zéro.

63. Homogénéité dans le cas des grandeurs dérivées. — - Plaçonsnous dans le cas où Ton établit une relation entre des grandeurs d'espèces différentes, fondamentales ou dérivées ; supposons, pour fixer les idées, que les grandeurs fondamentales dont dépendent toutes les. autres soient une longueur L , une masse M et un temps T , et que Ton considère trois grandeurs A , B , C , dérivées des précédentes ; soient

[A] = [L«M?Tt], [B] = [L*'M?Tt'], [C] = [L-'Wlt'']

les équations de dimensions de A, B, C.

Leurs mesures a, by c sont déterminées au moyen des mesures ly m, i de L, M et T par des formules de la forme

a = fi/*m?/T , b = jji7*'m?7T' , c = ^'^mP^lT où fA, ,<a' et {ji' sont des facteurs numériques donnés.

Lorsqu'on change les unités de longueur, de masse et de temps sans changer ^,[tf et fi', les nouvelles mesures de A,B,C sont liées aux premières, comme nous Favons vu aun® 61, par la formule

a \Lo/ \Mo/ \lo/

et par deux autres analogues pour 6' et c'. Si nous représentons

par h'i, ki et k^ les rapports 1-7 ' •n?' ô^» nous avons

a' == ak^k^Jcl , b' = bk^'k^'kl' , c' = ck^k^^k-^ .

D'après un raisonnement analogue à celui que nous avons fait (n" 62), toute relation entre les grandeurs A, B, C, exprimée par une formule telle que

doit être indépendante des unités choisies ; si Ton y remplace a, b, c par a', b', c' et ces dernières quantités par les expressions précédentes^ la formule obtenue,

(7) f[ak\k^Jih bk^'k^ki; , c*r A-fA-r)

= 9 («fcîA'îAj , ftfcr'^r ^r » ckrk^kx) ,

doit être identique à la première quelles que soient les valeurs de A-j , fcs, A-3; ces paramètres doivent disparaître identiquement ou entrer dans un facteur commun aux deux membres.

Si /* et <jr sont des expressions algébriques, les deux membres de Téquation (7) ne peuvent différer des membres correspondants de réquation (6) que par un facteur de la forme k^* k^* /rj**, et les exposants doivent être les mêmes dans les deux membres \ f ^^ g sont alors dits homogènes par rapport aux grandeurs fondamentales et de degrés d'homogénéité respectivement égaux à mj, m^, m% par rapport à ces grandeurs.

On peut vérifier Thomogénéité d'une formule de la façon simple suivante : on remplace la mesure de chaque grandeur par Texpression des dimensions de cette grandeur, et Ton évalue de proche en proche les dimensions des différents termes ; les deux membres doivent avoir les mêmes dimensions et des exposants égaux ; ces exposants sont précisément les degrés d'homogénéité.

Considérons par exemple la formule du pendule simple,

-^fI^

les dimensions du temps, de la longueur et de raccélération sont respectivement [T], [L], [LT-*]; Tz est un coefficient numérique, de sorte que les deux membres ont la même dimension [T] ; la formule est donc bien homogène.